高考理科数学概率题型归纳与练习含答案

1、1 / 16 专题三：高考理科数学概率与数学期望一离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量x的分布列或概率分布如下：x1x2xnxp1p2pnp1. 其中，120,1,2,.,.1inpin ppp，则称1122.nnx px px p为随机变量x的均值或x的数学期望，记为()e x或数学期望()e x=1122.nnx px px p性质（1）( )e cc； （ 2）()()e axbae xb （, ,a b c为常数）2. 2221122()(). ()nnxpxpxp， （其中120,1,2,.,.1inpin ppp）刻画了随机变量x与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离

2、散型随机变量x的方差，记为()d x或2方差2221122()(). ()nndxxpxpxp2方差公式也可用公式22221()()niiid xx pexex计算3随机变量x的方差也称为x的概率分布的方差，x的方差()d x的算术平方根称为x的标准差，即()d x 1. 设 x 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求ex，dx 。x 1 0 1 2 / 16 p 95二超几何分布对一般情形，一批产品共n件，其中有m件不合格品，随机取出的n件产品中，不合格品数x的分布如下表所示：x012lp0nmnmnnc cc11nmnmnnc cc22nmnmnnc ccln lmnmnnc cc其中

3、min( ,)ln m一般地，若一个随机变量x的分布列为()rn rmnmnnc cp xrc，其中0r，1，2，3，l，min( ,)ln m，则称x服从 超几何分布 ，记为( ,)xh n mn:，并将()rnrmnmnnc cp xrc记为( ; ,)h r n m n1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率（2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：由 22 节例 1 可知，随机变量x的概率分布如表所示：x 0 1 2 3 4 5 3 / 1

4、6 p 258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()0123451.66672375123751237512375123751237513e x答：x的数学期望约为1.6667说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()rnrnmnmnrnr c cme xncngg2.在 10 件产品中，有3 件一等品， 4 件二等品， 3 件三等品。从这10 件产品中任取3 件，求： （i）取出的3 件产品中一等品件数x 的分布列和数学期望；（ii）取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数

5、的概率。三二项分布1n次独立重复试验一般地， 由n次试验构成， 且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即a与a，每次试验中( )0p ap。我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验。（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。（2）n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率()p xk(1)kknknc pp。2二项分布若随机变量x的分布列为()p xkkknknc p q， 其中01.1,0,1,2, , ,pp qknl则称x服从参数为, n p的二项分布，记作( ,)x

6、b n p:。1一盒零件中有9 个正品和3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数x的概率分布。4 / 16 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6 个交通岗， 假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1) 设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；(2) 设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3. 甲乙两人各进行3 次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32. （1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目

7、标2 次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率 . 【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理） ）已知箱中装有4 个白球和5 个黑球 , 且规定 : 取出一个白球的2分, 取出一个黑球的1 分. 现从该箱中任取( 无放回 , 且每球取到的机会均等)3 个球 ,记随机变量x为取出 3 球所得分数之和. ( ) 求x的分布列 ; ( ) 求x的数学期望e(x). 2 （2012 年高考（重庆理） ）( 本小题满分13 分,( ) 小问 5 分,( ) 小问 8 分.) 甲、 乙两人轮流投篮, 每人每次投一球,. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结束.

8、设甲每次投篮投中的概率为13, 乙每次投篮投中的概率为12, 且各次投篮互不影响. 5 / 16 ( ) 求甲获胜的概率; ( ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3设篮球队a与b进行比赛， 每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,a b在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望3 （2012年高考（辽宁理） ）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况 , 随机抽取了100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图; 将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”. ( ) 根据已知条

9、件完成下面的2 2列联表 ,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关 ? 6 / 16 ( ) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1 名观众 , 抽取 3 次 , 记被抽取的3 名观众中的“体育迷”人数为x. 若每次抽取的结果是相互独立的, 求x的分布列 , 期望()e x和方差()d x. 5. （ 2007 陕西理） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （）求该选手被淘汰的概率；（）该选

10、手在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）6. 一批产品共10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种7 / 16 abc60情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布. (1) 每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中. 7. （2007?山东）设b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）（i）求方程x2+bx+c=0 有实根的概率；（ii）求 的分布列和数学期望；8

11、. （本题满分12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动. 活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在a区域返券60 元；停在 b区域返券30 元；停在c 区域不返券 . 例如：消费218 元， 可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和. （i ）若某位顾客消费128 元，求返券金额不低于30 元的概率；（ii ）若某位顾客恰好消费280 元，并按规则参与 了活动，他获得返券的金额记为x（元） ，求随机变量x的分布列和数学期望. 9. (本题满分12 分) 中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于

12、2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8 名8 / 16 湖北理工学院湖北师范学院9 9 650 72 1 15 16 17 18 19 89 12589 346 01 和 12 名志愿者，将这20 名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）若身高在 175cm以上 （包括 175cm ） 定义为“高个子”， 身高在 175cm以下 （不包括175cm）定义为“非高个子” ，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“

13、高个子”和“非高个子”中抽取5 人，再从这5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有 “高个子” 中选 3 名志愿者， 用表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。10.某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数x 依次为 1,2， ，8，其中 x5为标准 a，x3为标准 b，已知甲厂执行标准a 生产该产品，产品的零售价为6 元 /件；乙厂执行标准 b 生产该产品，产品的零售价为4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（i）已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：1x5 6 7 8 p 04 a b 01 且

14、 x1的数字期望ex1=6，求 a，b 的值；（ii ）为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望 . 9 / 16 11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关， 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50 辆，统计书数据如下：将频率视为

15、概率，解答下列问题：（i）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（ii）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1x，生产一辆乙品牌轿车的利润为2x，分别求1x，2x的分布列；（iii ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制， 只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。巩固练习答案1.【 解析 】本题主要考察分布列, 数学期望等知识点. ( ) x的可能取值有:3,4,5,6. 35395(3)42cp xc; 21543920(4)42c cp xc; 12543915(5)42c

16、 cp xc; 34392(6)42cp xc. 故, 所求x的分布列为x 3 4 5 6 p 542201042211554214214221 ( ) 所求x的数学期望e(x) 为: e(x)=6413()3ii p xi. 【答案 】( ) 见解析 ;( ) 133. 10 / 16 2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率, 考查运用概率知识解决实际问题的能力, 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响, 注意应用相互独立事件同时发生的概率公式. 解: 设,kkab分别表示甲、乙在第k次投篮投中 , 则13kp a,12kp b, 1,2,3k(1) 记“甲

17、获胜”为事件c,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,111211223p cp ap a b ap a b a b a111211223p ap ap bp ap ap bp ap bp a221211211332332311113392727(2)的所有可能为:1,2,3由独立性知 :111121213323pp ap a b2211211222112122323329pp a b ap a b a b2211222113329pp a b a b综上知 ,有分布列1 2 3 p232919从而 ,221131233999e( 次) 3. 解： （ 1）事件“4

18、x”表示，a胜4场或b胜4场（即b负4场或a负4场） ，且两两互斥4400044411112(4)()()()()222216p xcc；（2）事件“5x”表示，a在第 5 场中取胜且前4场中胜 3 场，或b在第 5 场中取胜且前4场中胜 3 场（即第 5 场a负且4场中a负了 3 场） ，且这两者又是互斥的，所以334 3114 1441111114(5)() ( )() ( )22222216p xcc11 / 16 （3）类似地，事件“6x” 、 “7x”的概率分别为335 3225 2551111115(6)() ( )() ( )22222216p xcc，336 3336 3661

19、111115(7)() ( )() ( )22222216p xcc比赛场数的分布列为x4 5 6 7 p216416516516故比赛的期望为2455()45675.812516161616e x（场）这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6 场才能分出胜负4.【答案及解析】(i) 由频率颁布直方图可知, 在抽取的100 人中 ,“体育迷” 有 25 人, 从而 22 列联表如下: 由 22 列联表中数据代入公式计算, 得: 因为 3.0303.841,所以 , 没有理由认为“体育迷”与性别有关. (ii)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25, 将频率视为概率, 即

20、从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14, 由题意 , , 从而 x的分布列为 : 12 / 16 【点评】 本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、 离散型随机变量的分布列, 期望()e x和方差()d x, 考查分析解决问题的能力、运算求解能力 , 难度适中 . 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 5.（）解法一：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1 2 3)ia i，则14()5p a，23()5p a，32()5p a，该选手被淘汰的概率112223112123()()() ()() ()()pp aa aa a ap ap a p ap a p a p a1

21、42433101555555125（）解法二：记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1 2 3)ia i，则14()5p a，23()5p a，32()5p a该选手被淘汰的概率1231231()1() ()()pp a a ap a p ap a4321011555125（）的可能值为12 3， ，11(1)()5pp a，1212428(2)()()()5525pp a ap a p a，12124312(3)()()()5525pp a ap a p a的分布列为1 2 3 p1582512251812571235252525e6.（1）x 的所有可能值为1，2，3，4。x 的分布

22、列为p(x=1)=7/10 ，p(x=2)=3/10 7/9=7/30 ，p(x=3)=3/10 2/9 7/8=7/120 ，p(x=4)=3/10 2/9 1/8=1/120 。13 / 16 （2）x 的所有可能值为1，2，3，4。x 的分布列为p(x=k)=137().1010k，k=1 ，2， 3，（3）x 的所有可能值为1，2，3，4。x 的分布列为p(x=1)=7/10 ，p(x=2)=3/10 8/10=6/25 ，p(x=3)=3/10 2/10 9/10=27/500 ，p(x=4)=3/10 2/10 1/10=3/500 。7.解：（ i）由题意知，本题是一个等可能事件

23、的概率，试验发生包含的基本事件总数为6 6=36 ，满足条件的事件是使方程有实根，则=b2-4c0 ，即b2c下面针对于 c 的取值进行讨论当 c=1 时， b=2 ，3，4，5，6；当 c=2 时， b=3 ，4，5，6；当 c=3 时， b=4 ，5，6；当 c=4 时， b=4 ，5，6；当 c=5 时， b=5 ，6；当 c=6 时， b=5 ，6，目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，因此方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为1936（ii）由题意知用随机变量表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数得到=0 ，1，2 根据第一问做出的结果得到则p(=0)=1736，p(=1)

24、=236=118，p(=2)=1736，的分布列为的数学期望e=01736+1118+21736=1，8. 设指针落在a,b,c 区域分别记为事件a,b,c. 则111( ),(),()632p ap bp c. 3分（）若返券金额不低于30 元，则指针落在a或 b区域 . 111()()632pp ap b4分即消费 128 元的顾客，返券金额不低于30 元的概率是12. 14 / 16 （）由题意得，该顾客可转动转盘2 次. 随机变量x的可能值为0，30，60，90， 120. 5分111(0);224111(30)2;23311115(60)2;263318111(90)2;369111(120).6636p xp xp xp xp x 10 分所以，随机变量x的分布列为：p0 30 60 90 120 x141351819136其数学期望115110306090120404318936ex 12 分9、解： （ 1）根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高的中位数为：5 .1682169168. 2 分（2）由茎叶 图可知，“高个子”有8 人， “非高个子”有12 人，按照分层抽样抽取的5 人中“高个子”为85220人， “非高个子”为125320人；则至少有1 人为高个子的概率p12325710cc