高考数学《向量》专题复习(专题训练)

1、. . . . . . 高考 向量 专题复习1.向量的有关概念：（ 1）向量的定义 ：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量， 记作 ：0. （ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。任意向量的单位化：与ab共线的单位向量是abab. （ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。（ 5）平行向量又叫共线向量， 记作 ：ab. 向量)0(aa与b共线 ， 则有且仅有唯一一个实数， 使ab； 规定 ：零向量和任何向量平行； 两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（ 因为有0

2、)； 相等向量一定是共线向量， 但共线向量不一定相等；（ 6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（ 1）设),(11yxa，),(22yxb， 则),(2121yyxxba；（ 2）设),(11yxa，),(22yxb， 则),(2121yyxxba；（ 3）设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy， 则ab=),(1212yyxx；（ 4）设),(11yxa，),(22yxb， 向量平行ba/1221yxyx；（ 5）设两个非零向量),(11yxa，),(22yxb， 则2121yyxxba，所以002121yyxxbaba；（ 6）若),(

3、yxa， 则22yxa；（ 7）定比分点 ：设点p是直线21, pp上异于21, pp的任意一点 ， 若存在一个实数， 使21pppp， 则叫做点p分有向线段21pp所成的比 ，p点叫做有向线段21pp的以定比为的定比分点 ；当p分有向线段21pp所成的比为，则点p分有向线段21pp所成的比为. . . . . . 1. 注 意 ： 设111(,)p xy、222(,)p xy，( , )p x y分 有 向 线 段21pp所 成 的 比 为，则121211xxxyyy，在使用定比分点的坐标公式时，应 明确( , )x y，11(,)xy、22(,)xy的意义 ，即分别为分点 ， 起点 ， 终

4、点的坐标 。在具体计算时应根据题设条件， 灵活地确定起点， 分点和终点 ，并根据这些点确定对应的定比.当1时， 就得到线段12p p的中点公式121222xxxyyy. 的符号与分点p的位置之间的关系：当p点在线段21pp上时0；当p点在线段21pp的延长线上时1；当p点在线段21pp的反向延长线上时10；3.平面向量的数量积：（ 1 ） 两 个 向 量 的 夹 角 ： 对 于 非 零 向 量a、b，作aoa，bob，aob0称为向量a、b的夹角 。（ 2） 平面向量的数量积： 如果两个非零向量a、b，它们的夹角为，我们把数量cosba叫做a与b的数量积 （或内积或点积），记作 ：ba， 即c

5、osbaba. 零向量与任一向量的数量积是0， 注意 ：向量的数量积是一个实数， 不再是一个向量。（ 3）b在a上的投影为cosb， 投影是一个实数， 不一定大于0.（ 5）向量数量积的应用：设两个非零向量a、b， 其夹角为， 则babacos，当0baba时，为直角 ；. . . . . . 当0ba时，为锐角或ba,同向 ；注意 ：0ba是为锐角的 _条件 ；当0ba时，为钝角或ba,反向 ；注意 ：0ba是为钝角的 _条件 ；（ 6）向量三角不等式：bababa当ba,同向baba，baba；当ba,反向baba，baba；当ba,不共线bababa；（ 4）ba的几何意义 ： 数量积b

6、a等于a与b在a上的投影的乘积。. . . . . . 4.平面向量的分解定理（ 1）平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数1、2， 使2211eea成立 ， 我们把 不共线的向量1e、2e叫做这一平面内所有向量的一组基底。（ 2 ） o为 平 面 任 意 一 点 ，a 、 b、 c为 平 面 另 外 三 点 ，则a 、 b、 c 三 点 共 线ocoboa21且121. 5.空间向量空间向量是由平面向量拓展而来的， 它是三维空间里具有大小和方向的量， 它的坐标表示有x， y， z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或

7、相似， 故在学习空间向量时， 可进行类比学习 。如 ，若 mp、 ma、 mb三个向量共面，则mbymaxmp.同时 ，对于空间任意一点o， 存在oboanommmbymaxomop， 其中nm_例 1.下列命题 ： 若 a 与 b 共线 ， 则存在唯一的实数， 使 b= a； 若向量 a、b 所在的直线为异面直线， 则向量 a、b 一定不共面 ； 向量 a、b、c 共面 ， 则它们所在直线也共面； 若a、b、c三点不共线 ，o是平面abc外一点 ， 若 om=13oa+13ob+13oc， 则点m一定在平面abc上， 且在abc内部 ； 若ba/， 且cb/， 则ca/；若0ba， 则它们的

8、夹角为锐角；其中正确的命题有_（ 填序号 ）例 2.已知向量a， b 夹角为 3， |b|=2 ， 对任意xr， 有|b+xa| |a-b| ， 则|tb-a|+|tb-a2|（tr）的最小值是 _ . . . . . . 例 3.如图 ， 在等腰三角形abc中， 已知 |ab|=|ac|=1 ， a=120 ，e、f分别是ab、ac上的点 ， 且 ae= ab， af= ac， 且 ， （0， 1），且 +4 =1 ，若线段ef、bc的中点分别为m、n， 则 mn 的最小值为_例 4.已知平面向量a， b， c 满足 |a|=2 ， |b|=1 ， a?b=-1 ， 且 a-c 与 b-c

9、的夹角为 4，则 |c|的最大值为 _ 变式训练 ：1.已知向量a= （-1， -2），b= （1， ）， 若 a， b 的夹角为钝角， 则 的取值范围是_ 2.在abc中， |ab|=5 ， |ac|=6 ， 若b=2c， 则向量 bc 在 ba 上的投影是 _ 3.如图 ， 在abc中， 已知 bac= 3， |ab|=2 ， |ac|=3 ， 点d为边bc上一点 ， 满足ac+2ab=3ad， 点e是ad上一点 ， 满足 ae=2ed ， 则|be|=_ 4.在平面四边形abcd中，点e，f分别是边ad，bc的中点 ， 且ab=1 ， ef=2，cd=3 若 ad ?bc=15 ， 则

10、ac? bd 的值为_. . . . . . 5.向量 a， b 的夹角为120 ，|a|=|b|=2 ， |c|=4 ， 则|a+b-c| 的最大值为 _ . . . . . . 6.已知 o 是面 上一定点 ，a，b，c是平面 上abc的三个顶点 ， b、c分别是边ac、ab的对角 。以下命题正确的是_（ 填序号 ） 动点p满足 op=oa+pb+pc ， 则abc的外心一定在满足条件的p点集合中 ； 动点p满足 op=oa +（ab|ab|+ac|ac| ）（0），则abc的内心一定在满足条件的p点集合中 ； 动点p满足op=oa +（ ab|ab|sinb+ac|ac|sinc ）（0

11、），则abc的重心一定在满足条件的p点集合中 ； 动点p满足 op=oa +（ab|ab|cosb+ac|ac|cosc ）（0），则abc的垂心一定在满足条件的p点集合中 ； 动点p满足op=ob+oc2 +（ab|ab|cosb+ac|ac|cosc）（0），则abc的外心一定在满足条件的p点集合中 ；7. 已 知o是 锐 角 三 角 形 abc的 外 接 圆 的 圆 心 ，且 a=6，若cosbsincab+coscsinbac=2mao，则m=_ 8.（2017 全国 ）已知 abc是边长为 2 的等边三角形，p为平面abc内一点 ， 则 pa?（ pb+pc）的最小值是 _ 9.在o

12、mn中 ，点a在om上 ，点b在on上 ，且ab/mn，2oa=om，若op=xoa+yob， 则终点p落在四边形abnm内（含边界 ）时， y+x+2x+1的取值范围为_ 10.如图 ，在直角坐标系中， abc 是以 （2，1）为圆心 ， 1 为半径的圆的内接正三角形 ， abc 可绕圆心旋转，m 、 n分别是边ac、 ab 的中点 ，onom的取值范围是_ . . . . . . . . . . . . 11.如图 ， 已知点p（ 2， 0）， 且正方形abcd内接于 o：x2+y2=1，m、n分别为边ab、bc的中点 当正方形abcd绕圆心o旋转时 ， pm ?on 的取值范围为_ 12

13、.如图 ， 矩形ortm内放置 5 个边长均为3 的小正方形 ， 其中a，b，c，d在矩形的边上 ， 且e为ad的中点 ， 则（ ae-bc）?bd= _ 13.（2017 浙江 ）如图 ， 已知平面四边形abcd， abbc， ab=bc=ad=2， cd=3 ， ac与 bd 交于点 o， 记 i1=oboa， i2=ocob， i3=odoc， 则（）a.i1i2i3b.i1i3i2c.i3i1i2d.i2i1i314.在坐标系xoy中， o 点坐标为 （ 0， 0）， 点 a（3， 4），点 b（-4， 3），点 p 在aob 的角平分线上 ， 且 op 长度为25， 则点 p 坐标为 _ 15. （ 2017浙江 ） 已知 向量a，b满足1a，2b，则abab的最小值是， 最大值是16.如图 ， 三个边长为2 的等边三角形有一条边在同一条直线上， 边 b3c3上有 10 个不同的点p1，p2，p10，记im=)10, 3, 2, 1(2iapabi，则m1+m2+ +m10的 值 为. . . . . . _ 17.已知向量0、0满足 |0|=1 ，|0|=2 ， 若对任意单位向量0，均有 |0?0|+|0?0|0， 则当0 0取最小值时 ， 向量0与0的夹角为 _（ 用反三角表示 ）18.正十二边形a1a2a12内