数学物理方法第四章1

1、第四章第四章 解析函数解析函数的的幂幂级数级数表示表示4.1 函数项级数的基本性质函数项级数的基本性质 定义定义 复数项无穷级数复数项无穷级数 设有复数列设有复数列 其中其中 则则 称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数. 前前n项和项和 称为级数的部分和称为级数的部分和.nw, 0,1,2,nnnwuivn0120nnnwwwww011nnswww 若部分和复数列若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和收敛，而这极限值称为该级数的和, 即即 记作记作级数收敛级数收敛 ns0nnwlimnnss0nnsw级数发散级数发散 ns0nnw若

2、部分和数列若部分和数列无有限的极限，则称无有限的极限，则称级数发散级数发散 lim0nnw收敛的收敛的必要条件必要条件是是0nnw级数级数 考察考察级数级数11i2nnn的敛散性的敛散性.11nn112nn11nn解： 由定理知，只需讨论级数的实部级数 和虚部级数和虚部级数的敛散性的敛散性. . 因为级数因为级数发散，故原级数发散发散，故原级数发散.绝对收敛绝对收敛 若级数若级数 0nnw0nnw收敛，称原级数收敛，称原级数为绝对收敛级数为绝对收敛级数.0nnw0nnw0nnw条件收敛条件收敛 若复数项级数收敛，但级数发散，则称原级数为条件收敛级数为条件收敛级数. .0nnw0nnw说明说明：

3、 级数级数的各项均为非负实数，因此的各项均为非负实数，因此为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则，为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则，如如比较判别法比较判别法，比值判别法比值判别法或或根式判别法根式判别法等判断等判断其收敛性其收敛性.0nnw0nnw 若级数若级数收敛，则级数收敛，则级数必收敛；必收敛；即为调和级数，故发散即为调和级数，故发散.00( 1)1|i|nnnnn是收敛的，但由于是收敛的，但由于00( 1)( 1)iinnnnnn例如级数例如级数但反之不一定成立但反之不一定成立.nnnwuiv0|,nnu另外，若有另外，若有 ，则则 2200000|+ |nnnnnn

4、nnnnnvwuvuv因此又可以得到下面的定理因此又可以得到下面的定理:0nnv0nnu0nnw级数级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与虚数项级数与虚数项级数都绝对收敛都绝对收敛. 绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改变其绝对收敛性与和变其绝对收敛性与和.定理定理 s lsl0000()()nnnkn knnnk 00,nnnnsl若已知两绝对收敛级数若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积则两级数的柯西乘积 也绝对收敛，且收敛于：也绝对收敛，且收敛于：例例 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还判定下列级数的敛

5、散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？是绝对收敛？0( 1)12nnnin1( 1)nnn112nn1( 1)nnn解：解：因因，都收敛，故原级数收敛，但因都收敛，故原级数收敛，但因为条件收敛，所以原级数为条件收敛为条件收敛，所以原级数为条件收敛. 是定义在区域是定义在区域d上的复变函数上的复变函数 序列，则称表达式序列，则称表达式二、二、 复变函数项级数复变函数项级数定义定义 复变函数项级数复变函数项级数设设( ),(0,1,2,.)nfzn 0120( )( )( )( )( )nnnfzfzf zfzfz为复变函数项级数为复变函数项级数.该级数前该级数前n项和项和0( )( )nnkkszfz称为级数的称为级数的部分和部分和.一致收敛一致收敛4.2 幂级数与解析函数幂级数与解析函数一、一、 幂级数概念幂级数概念20120nnnnnc zcc zc zc z或(2)另一部分另一部分 用反证法证明用反证法证明收敛圆收敛圆 收敛半径收敛半径三、三、 收敛半径的求法收敛半径的求法通过对幂级数的学习，我们已经知道一个通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数析函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：现在我们来研究与此相反的问题，