高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳

1、- - 绵阳市开元中学高2014级高三复习二项式定理知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名： _ 一知识梳理1.二项式定理 ： （a+b）c错误 !an+c错误 !a+c错误 !a-rbr+c错误 !bn(nn*)这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a)n的二项展开式 . 其中的系数 c错误 !(r=,1，n)叫二项式系数式中的 c错误 !an-br叫二项展开式的通项 ,用 tr+1表示,即通项 t1=c错误 !arb.2.二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n. （)字母 a 按降幂排列，从第一项开

2、始，次数由n 逐项减 1 直到零 ;字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到. (4)二项式的系数从c错误 !，c错误 !,一直到错误 !,c错误 !. .二项式系数的性质(1)对称性 :与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即rn rnncc(2）增减性与最大值：二项式系数coal(k，n),当 k错误 !时，二项式系数逐渐增大 .由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时 ,中间一项2nnc 取得最大值；当 是奇数时 ,中间两项1122nnnncc取得最大值（3)各二项式系数和： c错误 !+c错误 !c错误 !+c错误 ! c错误 !=2；c错误 !+错误 !c错

3、误 !=c错误 !c错误 !+c错误 !+2n-1. 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项tr1=c错误 !br,注意(a+b）n与（b)虽然相同 ,但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题 ,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念 ,前者只指 cr，n，而后者是字母外的部分 .前者只与 n 和 r 有关，恒为正，后者还与a，b 有关,可正可负一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明， 也可根据次数 ,项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续. 两种应用()通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系

4、数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式;可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等三条性质(1)对称性 ;（2）增减性； (3)各项二项式系数的和；二. 题型示例【题型一】求 ()nxy展开特定项例 1：(1x)n(其中*且 n6）的展开式中 5与 x6的系数相等 ,则 n() ab.7 c.8 .9 解：由条件得 c错误 !35=c错误 !36，错误 !错误 !3, 3(n5)=6，n=.故选 b.例 2:(错误 !)错误 !错误 !的展开式中 x2的系数为 _.（用数字作答 ) 解:错误 ! 错误 !展开式的通项公式为tr+1=c错误 !错误 !错误 ! 错误 !

5、错误 !=33842281rrrrc xy，令32r=2,解得=4,此时2r-4=2，所以展开式中x2y2的系数为 ( )4oa(4，8)= 7故填0.【题型二】求 ()()mnabxy展开特定项例 1：在(1x)+（1x）6+(1x)7+(1x）8的展开式中 ,含 x3的项的系数是 ( ）a.74 ?b.21? c.7? d.11 解析 展开式中含 x3项的系数为 c错误 !(-1)3+c错误 !(1）3c错误 !（1）3c错误 !()3=2. 【题型三】求 ()()mnabxy展开特定项例： (错误 !)已知(1ax)(x）的展开式中 x的系数为 5，则=() a.-4 .-3 c.2.-

6、1 - - 解：(1+ax）(1+x）5的展开式中x2项为 c错误 !x2+x c错误 !x=2ax2(10+5). x2的系数为 5， 105a5，a=-.故选 d.例 2：(24 浙江卷)在(x)6(）4的展开式中，记xmyn项的系数为 f（m，n),则 f（3,0)f(2,1）+f(1，)+f(0，3)=( ）a.45 ?b6? c.0 .20 解析在(1x)6的展开式中，xm的系数为 c错误 !,在(1y）的展开式中，y的系数为 c错误 !,故(，n）=c错误 !错误 !.从而 f(3，)c错误 !=2，f(2,1)=c错误 !错误 !=60，f(1,2)=c1 c24， f(0,3)

7、=错误 !4，所以f(3，0)（2，1)f(1，2)(，3)120,故选c.例:已知数列 na是等差数列 , 且6710aa，则在1212()()()xaxaxa的展开式中，11x的系数为 _. 解:11x的系数为121267()6()60aaaaa。【题型四】求 ()nxyz展开特定项例 1:求错误 ! 错误 !(x0)的展开式经整理后的常数项.解法一：错误 !错误 !在0 时可化为错误 ! 错误 !，因而 t1=cr10错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !，则5 时为常数项 ,即 c错误 !错误 ! 错误 !错误 !解法二 :所给的式子为三项式，采用两个计数原理求解.分三类： 5 个式子均

8、取 r（)，则 c错误 ! 错误 ! 错误 !=4错误 !;取一个错误 !,一个错误 !，三个错误 !,则 c错误 ! 错误 !c错误 !错误 ! 错误 !=2错误 !;取两个 f（x，2)，两个错误 !，一个错误 !，则 c错误 ! 错误 ! 错误 !c错误 !错误 !=错误 !.所以,常数项为 4 220r(2)错误 !=错误 !点拨: 三项式的展开式问题，通常可用解法一化为二项式问题，或用解法二化为计数问题.例 2：若将10)(zyx展开为多项式 ,经过合并同类项后它的项数为（）. a11b33c.5d6 解:展开后， 每一项都形如abcx y z , 其中10abc, 该方程非负整数解

9、的对数为210 266c。例 3:2015课标全国卷 (x+xy)5的展开式中 ,x2的系数为 ( ）10 20 c0d60 解析易知r+1=c错误 !(xx)5-r,令 r=2，则 t=c错误 !（x2x）32，对于二项式 (x2+x)3，由 tt+1=c错误 !(x2）3-txtc错误 !t，令 t=，所以 x5y的系数为 c错误 !c错误 !=30【题型五】二项式展开逆向问题例 1：(错误 !）若 c错误 !+3c错误 !+3c错误 ! 3n2c错误 !+3n-185，则 n 的值为 () a.3b.4.5 d.6 解：由 c错误 !3c错误 !n-错误 !+3n-错误 ! （13)n1

10、=85,解得 n.故选.【题型六】赋值法求系数(和)问题例 1:已知(-x）=a+a1x+2+a7x7.求： （)a1+2+a7; （2）a+a5a7; (3)0+a2+a4+a6; ()错误 !+错误 !+错误 !+错误 !.解:令 x，则 a0+1+2+a3+a456a=1.令-1，则 a01aa3a4-a5+a-a=7.（1)a0=错误 !=1, a1a2aa7=-2.(2)() 2,得 a1+a+a57-1372=1094.(3)(+) ,得 a+ a+a6错误 !=103.()(1-2x）7的展开式中 ,a0,a，4，6大于零，而 a1,a3,5,7小于零，错误 !+错误 !错误 !

11、+错误 !=（0+a2+a4a6)(a+a5a7), 所求即为(亦即),其值为 218.点拨: “赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如( +)， （ax+bxc)m(，cr)的式子求其展开式各项系数之和，只需令=1 即可;对形如 (axby)n（，br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=1 即可.若 f（x）=+a1+a2x2+anx,则（）展开式中各项系数之和为f(）,奇数项系数之和为 a0+a2+a4+f(1)f（1） ，)，偶数项系数之和为a13a5=错误 !.例 2：设错误 ! 错误 !a0+a1xa2x2 2nx2,则(a0+a4 +2n）2

12、-(1+a5 an1)2=_ _.解:设 f （x） 错误 ! 错误 !， 则(a0a2+a+a2n)-(a3+a5+a2n-1)2=(a0a2+a4+a2a1-3an)（a0a2+a4a21a3a5+2-1)(-1) f(1)=错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !错误 ! 错误 !=错误 ! 错误 !.例 3：已知(+1)2(x）201=1(x2)a(x+)2+a016（+2)206,则a12错误 !f(a,2)a0162016的值为 _. 解:依题意令x=-f(3,2)，得错误 ! 错误 ! 错误 ! 错误 !0a1错误 !a2错误 ! 错误 !+a2016错误 ! 错误 !,令 x=得

13、0,则错误 !错误 !错误 !+错误 !=错误 ! 错误 !.【题型七】平移后系数问题- - 例 1:若将函数 f（x)=x5表示为 f()a0a1（1x)a（1x）2+a（1x)5, 其中 a0,1，a2， a5为实数，则 3_.解法一 :令 x+1y，(y-1）a0a1y+a2y2+ay5，故 a3=错误 !(-1)=1.解法二： 由等式两边对应项系数相等.即:错误 !解得 a31.解法三 :对等式 :f(x)x5aa1(1+x)+a2(1x）2+5(1+x)5两边连续对 x 求导三次得：60 x2a32a4(1x)+a5(1+x)2,再运用赋值法，令x=-1 得：6=6a3，即3=0故填

14、10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例 1:错误 ! 错误 !的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为 _解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得=9，错误 ! 错误 !展开式的第四项为t4错误 ! (错误 !)6错误 ! 错误 !错误 !.例 2：把(1）9的展开式按 的升幂排列，系数最大的项是第_项?a4 ?b5 ?.6 ?.7 解析(1)9展开式中第 r+1 项的系数为 c错误 !(1），易知当 r=4 时，系数最大，即第 5 项系数最大，选b.例： （1+)的展开式中第项与第项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .解：6=c错误 !(x)5，

15、=c错误 !（2x）6,依题意有c错误 ! 25错误 ! 26，解得 =8.所以(1)8的展开式中 ,二项式系数最大的项为t5=错误 ! (2x）4 10设第项系数最大，则有错误 !解得 r6.所以5 或 r=6，所以系数最大的项为t6=1 72x5或 t1 726.点拨：(1）求二项式系数最大项 :如果 n 是偶数 ,则中间一项错误 !的二项式系数最大 ;如果 n 是奇数，则中间两项 (第12项与第错误 !1 项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求（a+bx)n(a， br)的展开式系数最大的项 ,一般是采用待定系数法 ,列出不等式组错误 !从而解出 ,即得展开式系数最大

16、的项. 【题型九】两边求导法求特定数列和例 1： 若(2x3）5a0+a1xa2xa3+ax4+x5， 则 a1+2a23a34a4+5a=_解析 原等式两边求导得 (23）4 (2x-3) a+22x3ax2+4a4x5a5x4,令上式中 =1,得1+a+3a3+a45510. 【题型十】整除问题例:设 az,且 01,若 52 012+a 能被 1整除 ,则 a( ）a0 b1 c.11 d12 解析512 12a(521)2 02+a=c错误 ! 522 01-错误 ! 52 11c错误 !52 (-1)2 01+c错误 ! (）2 02+, coal(0, 01） 522 12-c错误

17、 !011c错误 !52 ()2 1能被整除且1012a 能被 1整除 , c错误 ! (-1)2 0a1+a 也能被 3 整除.因此可取值 2例 2:已知 m是一个给定的正整数，如果两个整数a，b 除以 m 所得的余数相同，则称a 与b 对模 m 同余，记作 ab(mod m),例如：51 （mod 4).若 2215r(md 7)， 则 r 可能等于 ( ) a21b.014 c.1d.216 解:22015=237148671=4(1)6714(761+c错误 !70+c错误 !7+1）.因此21除以 7 的余数为 .经验证，只有 203 除以 7 所得的余数为 4故选 a三. 自我检测1、(错误 !）“n5”是“错误 ! 错误 !(nn*)的展开式中含有常数项”的( ）a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件、 已知 c错误 !2c错误 !+22c错误 !23c错误 !+2nc错误 !=79， 则 c错误 !+c错误 !c错误 ! c错误 !等于() a63 .4 c31 d.33、组合式错误 !2c错误 !4c错误 !-8错误 !+(-2)nc错误 !的值等于() a.(-1)n?b1 ?cndn1 4、若(+x2）=a0a1x+a2x2+ax12,则 a+4 12=_. 、已知 (1+x)0=0+a1（ x）+a2（1