2022年全国硕士研究生招生考试数学一301预测卷3和答案解析

1、2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）预测卷（三）（科目代码：301）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,

2、每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符 合题目要求的.1.设函数/(z)对任意的工£(-8,+8)，均满足"1+?)="(工)，且/(0)=6,其中。,6为 非零常数,则A. /(J7)在N = 1处不可导.B. /("在工=1处可导，且/(D = a.C. /(x)在才=1处可导，且/(I) = b.D. /(x)在 z = 1 处可导，且/(I) = ab.2.若函数/(t) = / 一色生有三个间断点,则常数k的取值范围为 x 3x + kA. k<0.B. &>4.C. 1 < < 4.

3、D. 0 V / V 4.3 .设函数 y = /Cr)满足方程(z+ IT" + (x+l)2>+l = 0,且 f(0) = 0,则在区间(一 1,1)内 A.函数fCr)单调增加且其图形是凹的.B.函数/Cr)单调减少且其图形是凹的.C.函数/(h)单调增加且其图形是凸的.D.函数/Gr)单调减少且其图形是凸的.OOOO004 .若塞级数»，(7+1)"在z = 2处条件收敛，则募级数2>”(工一1尸与X &(1 + 2)"在 n= In ”=1"Z = 3处的敛散性分别为A.绝对收敛，条件收敛.B.发散，绝对收敛.C

4、.条件收敛,发散.D.绝对收敛,发散.5 .设A是4阶实对称矩阵,满足/=A,且A的正、负惯性指数均为1,则A. E - A的秩为2.B. 2E + A为正定矩阵.C.方程组Ar = 0解空间的维数为1. D. | E + A | = 1.6 .若A为阶矩阵，满足*一A 2E = O,则A. A为对称矩阵.B. A为正定矩阵.C. A可相似对角化.D. A合同于对角矩阵.7 .设向量组ai ,窃2，。3与向量组因，。，03，%的秩均为2,向量组6，。2，«3，。5的秩为3,则下列选 项正确的是A. a；能由向量组a, .a2 .as线性表示,场能由向量组ai .a?线性表示.B. a

5、1不能由向量组a，a；线性表示,a；不能由向量组a .佻,囱线性表示.C. a,能由向量组a, -a-.a：t线性表示,as不能由向.量组at ,a2 ,a：；线性表示.D. a.不能由向量组a .a2 >a)线性表示,场能由向量组必，a? .a：,线性表示.f e2-j-yz、1 v、8 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为/Cr,y) =4工，J'则lo，其他.p(x>y =9 .设二维随机变量(x,y)的概率分布为0121a¥I 182B2若x与丫相互独立，则A. a = |,=1,y=1, B. « =c. a W，T,D. a = j,p=l

6、,7=j.10 .两门炮轮流向同一目标射击，第一门炮先射，每门炮每次发射一发炮弹，直到目标被击中为 止.已知第一门炮和第二门炮的命中率分别为0. 5和0. 6,以X表示第二门炮击中时，它所发 射的炮弹数.若P X = = 0. 012,则n=A. 3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.11 .若曲线=(营土 )有渐近线'=e,则常数a的值为.12 .设L为曲线y = 2 /匚/上从点(0,2)到点(1,0)的一段弧，则曲线积分(2* + l)dr 4- (3H + 2)dy =.13 .设z = z(z,y)是由方程37 + 6»+

7、为 + 23 = 1所确定的函数，则函数七=z(_r,y)在点(0,0) 处沿该点梯度方向的方向导数为.14 .圆域D = (1,')| (N 3产+。一 4y4 5绕直线4z 3y 20 = 0旋转一周所形成的旋 转体的体积为.2A * (AB) .15 .设 A.B 都是 3 阶矩阵，若|A|=一3,|B| = 4,C=.则 |。=.,O 516 .设事件 A,B 满足P(A|B) = P(B|A)= 4，则 P(A & =.o0 第4页(共8页)三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本题满分10分）求不定积分13arcsin

8、 ydr.18 .（本题满分12分）求平面x + 2y + 2z = 0包含在椭球体1 +2, +4z， 8内部的那部分平面 块的面积.第8页（共8页）19 .（本题满分11分）计算三重积分Gr + y+D2cLrdydz,其中。是介于两旋转抛物面z = 4（/+y）和之= nX2 +V之间、平面Z = 2下方的空间闭区域（见图）.20 .（本题满分15分）设函数/（了）在闭区间0,1上连续，且单调减少，证明：（1）对任意的工6（0,1）,有，"，）出（1一工）£/（工）业；（2）对任意的zC 0,1）,有（，一公/（力山丐立/'（外业；（3） I- x2f（.x）

9、dr < 4' /（-r）dr.J 0O J 021.（本题满分12分）设“维列向量a = （1,1”，1/,矩阵4 = aa!.（1）求A的特征值与特征向量；（2）求方程组（A +履）x = 0（4为常数）的解；（3）当 =3时，求一个正交变换x = 0,将二次型/（x） = x'Ax化为标准形.22.（本题满分10分）4r > 0,设连续型总体X的分布函数为FCrW）=<3Jo 8|其中J为未知参数，且0,r 4 0,0>O,X,X2,-.X为来自总体X的简单随机样本，求&的最大似然估计量.参考答案与分析 卷(二)一、选择题1 .【答案】D

10、( 1 + J)-/(1)【分析】6=/(0) = lim /(-/(0) = lim=上/"(1).j-*ox - Ur-oxa所以/(I) = ah.应选D.2 .【答案】D【分析】 令g(z) = /3/+甚则函数/(工)的间断点即为函数十工)的零点.*'(工)=3H2 6j- = 3/(工一2) ,/'(h) = 6h 6.令 g'Cr) = 0,得工=0,工=2.因为 g"(0) =-6<0,/(2) = 6>0,所以 g(0) = 4 是极大值, g(2)=为一4是极小值.又g(-8)=-oo,g(+oo) =+8,所以当极大

11、值爪0)=4>0且极小值 g(2)=大一 4 < 0时.函数g(z)有三个零点，即当0cA < 4时，函数f(_r)有三个间断点.应选D.3 .【答案】B【分析】 原方程可改写为3' +告N=昌I*,这是一阶线性微分方程，其通解为/(幻=（二匕+c）.由/（0）= 0,得c =- 1,故/（N）=（二1n2.求导得 工 I 1 4 I 1v J* 1）/(X)=X- 1（工+1尸fix'）-2j + 4Cr+1）由于当一1<工<1时，/(工)<0,/'(工)>0,故在(一1,1)内函数人工)单调减少且其图形是凹的. 应选R4 .

12、【答案】D【分析】显然，三个殊级数»“(了+1)”，2必(工一1)"及£幺(工+2厂具有相同的收敛半径，设 »-1"=1n-l n为尺则这三个寤级数的收敛区间分别为(一1-R, l+R).(l-R,l+R),(-2-R.-2 + R),由于募级数2a“Cr+D"在工=2处条件收敛，因此-1+R = 2,即R = 3.于是,幕级数之国”(工一1尸 "Tn»loo与2 2> + 2尸的收敛区间分别为(一2,4),(5,1).由于3e (-2.4),3 e (- 5,1),因此在H = 3处.募级数D"绝

13、对收敛，寨级数 »=1X2(工+2厂发散.公«应选D.5 .【答案】B【分析】设入为A的特征值.由于A' = A.则入入=o,从而入=o或入=1或入=1.乂 A是4阶 实对称矩阵，且A的正、负惯性指数均为1，故A的全部特征值为1,一1,0,0,从而2后+ 4的全部特征 值为3,2,2.显然,2£ + 4也是4阶实对称矩阵.因此,2E + A为正定矩阵.应选B.6 .【答案】C【分析】 由摩一 A2E = O.得(E + A)(2E 4) =O,从而r(E + 4) + r(2E-A)另一方面，r(E + A) + r(2E-A)>r(E + A) +

14、 (2E-A)= r(3E) = n.所以 r(E + A) + r(2E-A)= ”.令 r(E + A) = r,则 r(2E-A) = n-r.若r = 0,则A =- E,A是对角矩阵.若r="，则r(2E-A) = 0,从而A = 2E.A也是对角矩阵.若 0 0 V ”.则 r(EA) = r(E+A) = r< "，且 r(2EA) = n r<Zn.于是,A 有特征值Q = - 1与；b =2,且特征值九=一1对应”一个线性无关的特征向最.特征值触=2对应r个线性无关 的特征向量,从而”阶矩阵4共有”个线性无关的特征向量.因此.A可相似对角化.应

15、选C.7 .【答案】C【分析】 由于向量组m,a .a,的秩为2,不妨设s.a?为向量组a，a .a,的极大线性无关组，又向量 组a.a?.a., .a的秩也为2,所以.a：，也是向ht组s .a：, .a的极大线性无关组，故a能由向量组 ai .a? 1a(线性表示.若%能由向量组a ,az，a,线性表示，则向量组%.a?，用,a的秩为2,与题设相 矛盾，故a：不能由向量组a： <a2.a,线性表示.应选C.【注】 考核点为向量的线性表示,向量组的极大线性无关组等.注意，若向量组A的秩为r,则A中 r个线性无关向量是A的极大线性无关组.【分析】PX>Y = Jdx.eZ-L 应选

16、B.9 .【答案】A【分析】 因为X与Y相互独立,所以PX =v PX = PX =a =即4 =2 _13 -ydy = J （e1 e2- ）dz = -i.0,Y= 1 = pX = 0P¥ = 1, i,y= 1 = p<x = iPy = i）, 1,Y = 2 = PX= 1PY= 2）,G+例（a+卷）,卷,*（a +卷），故，B=， TS+y+,），r = i-应选A.8 .【答案】B10 .【答案】A【分析】 设A, = 第i门炮击中目标G= 1,2),则P(A|) = 0.5,P(Az)= 0.6.由题意, PX = n = CP(A1)"CP(A

17、2),r-,P(A2)=0.5" X 0.4"-1 X 0. 6 = -1- X 0. 2" = 0. 012.应选A.二、填空题11 .【答案】y【分析】 因为曲线、=(台受)有渐近线？=。，所以"U=e,而limy = lim (1 十") =lim ( 1 + 邛"- ) = e2a,«r-oo joo j* a fr-oo x a f所以 e2tt = e,即 a -12.【答案】【分析】_2L_32§如图所ZK,增补有向线段L ：y = 0(z： 1 0) »Lz ：.r = 0(y：0 f 2

18、),则由格林公式，(2y+l)dr+(3z + 2)dyI.+L 4-/，2clrdj -J -L )(2,+1)也+(3工+2)力ro r2dr j 2dy13.【答案】【分析】75易知 z(0,0) = 1.令 F(x%y,z) = 3z + 6y +jy? + F 1 则 匕 =3 + 四，凡=6 + 女,比=q + 3/于是,3zdjr | "°_ 乙(0,0,1) =_一 F；(0,0.1)一A r-O = 1 . xy + 3Z2 I 厂；f)zJy | ：从而即ad e(0,0)=半| 0dX二。y=0x=0 y=0 /+孕 ) dy i J耳(0,0,1)F

19、；(0,0,l)+3?iq =t.S=1故函数n = z(_r,y)在点(0,0)处沿该点梯度方向的方向导数为I grad z(0,0) | =75.】4.【答案】40k2/42 + (-3)2【分析】 因为圆心(3,4)到直线4H 3y- 20 = 0的距离为 d = |4X3-3X4-20| = 4,所以圆心(3,4)到直线4工一3» - 20 = 0的距离等于圆心(3,4)到了轴的距离.因此,D绕直线4工一 3y 20 = 0旋转一周所形成的旋转体体积与D绕工轴旋转一周所形成的旋转体体积相同.于是，所 求体积为v = 7t P J 4 4-，5 (工-3)2了 一 4 - 75

20、-(x-3)22 业 J 3-75f3+/5 C=16k7/5 (x- 3)2dr = 16k 江 =40k2.J a-75Zr 时E ,【注】 这里定积分 45 (1-3)2必的计算运用了定积分的几何意义. Js-y?15 .【答案】18,I2A- (AB),【分析】C= |2A- |B 1I () B 1=m = 8X(3)2 = 1816 .【答案】金【分析】 由条件P(A|B) = P(B|A)=春15 8)=看,得 6oP(A) = P(B) = 3P(AB),P(A)-P(AB) = J.b由此得,P(A) = P(B) = J.P(AB) = & 于是,P(AB) = P

21、(ATB) = 1-P(A + B)=l-P(A) P(B) + P(AB)=1-+盍=%.三、解答题17.【解】其中,1 x =1.1 j1rarcsm -dr - jr xsin td(t2)n tdt ="=-y|(1 cos 2u)du=-y msin 2 + G)=下 sin "cos + G=十(arcsin t t J 於)+ G于是，J p-arcsin 十"=1-Z2arcsin t + 十(arcsin £ "1 H )+C-Jarcsin ! + arcsin +-tC，其中C为任意常数.18 .【解】 记平面块为工工在K

22、b面上的投影为D”.由+2y + 2 = 心消去z得/+3，+ 2卬=4,这是中心在原点的椭圆.椭圆的长半轴与短半 2+ 2之=0轴的长分别为椭圆上的点到坐标原点距离的域大值与最小值，设P（z，W为椭圆上任一点，则该点 到原点的距离为"=令 L（x,A） = /+M/ + 3/ + 2q 4）,则由匕=2Z + 22（z + y） = 0, Ly= 2y + 2久（3y+ n） = 0,L： = x2 + 3, + 2iy 4 = 0,融徂卜=1 土笈,1 ±72, 解得lj= i, b=-i.故椭圆的四个顶点为 Ai （- 14-72,1） *2 （ 1 一,1） ,4

23、（1 一夜 一 1） ,4 （1 +72.-1）.d（Ai）= d（A3） =，4 - 2,d（Az）= d（AI = ,4 + 2 区故椭圆的长半轴与短半轴的长分别为，4+ 2/与，4 - 2伍 从而,椭圆的面积为A = 7c ，4 + 2 & /4 2 J2 = 2 J：.于是,平面/ + 2y + 2z = 0含在椭球面/ +2, +4/ = 8内部的那部分平面块的面积为S = JJdS = 口 J1 + （J +（- lydbrdy =等 A =毋 X 2 /2k = 3 42n. %19 .【解】 用截面法.积分区域Q可表示为O = Cr,y*） | 0 （2,Cr,y） 6

24、 d ，其中R ： &/ +，& z.由对称性得jj|（jt-J-jH- l）zdlrdjdz = JJ（jt2 +，+ 1 + 2xy + 2z + 230cLrdyck nn=jjjo+;/+ 1）匕dydz = j（1（/+V + DcLrdy=（也由£（/ + r）dr = J （恭 + 和）也=%20 .【证】（1）令=1-力出，则由于函数人力在0,1上连续,故函数6力在0,D上连 1 JC J j续,在（0,1）内可导，且由积分中值定理知，存在se（工）.使得, _ /,/3）. -/（工）（1 工）_ “£）（1一工）一（力（1一"

25、_ /（一一/（幻夕 X（1 X）2（1 X）21 X *由于函数/Cr）在0.1上单调减少，故/（工）0（0工1）,从而取1）在0,1）上单调减少.于是, 对任意的工e（0,1）,总有中（了）60）,即匕.，/（，）&/（力也.也即1f“）dr V （1 h） /（x）d-r.（2）令奴工）=j'（Z-x） f（t）dt - V 1/（外业,则/Cr） =-，/a）d，+ （l-z）fj（H）dr（04_r1）.由（1）知，对任意的Ye（0，D，"（h）0,故奴工）在0,1上单调增加.于是，对任意的.rC 0,1）. 有必工） 以1） = 0,即/（，一工）八，）由

26、 豆二产 £/（x）dr.（3）由（2）知，f 3 一工）/"（力由业丐立fj（H）clrdr.因为j(/ x)/(/)dzJdr = ij (/ x)/(Z)d/J | +/(r)d/jdra间业=£ 。d小仁)=KJ/u)dzL+£/(x)dr=11jr2/(x)dr»豆G立f/（H）drdr =1。（工出.卜一外也=! （八工）小所以看M/gclrVZ J o21 .【解】（1）由于A = az,是实对称矩阵，且r（A） = l,a.a = a'a = ，因此A的特征值为猫=A =九=An = 0.由于4a =（aaT）a = ad a） = a,因此A的属于特征值Q = n的全部特征向ht为- a = Ai (1,1,m由于(2)1 10 k=(4 + ).0010= E(4 + )，因此A的属于特征值；I?=