因式分解培优题型归纳总结完美

1、因式分解题型归纳总结知识梳理一、因式分解得定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式二、因式分解常见形式：标准形式不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式()()()xxx既约整式，不能含有中括号()()xx最后的因式的不能再次分解()()xx单项式因式写在多项式因式的前面() ()xx x相同的因式写成幂的形式()()()x xxx每个因式第一项系数一般不为负数()()xxx每个因式第一项系数一般不为分数xxx因式中不能含有分式xxx因式中不能含有无理数()()()xxx三、因式分解基本方法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基

2、本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式）， “分解”指的是分组分解的方法提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式例如：()mambmcm abc把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉平方差公式：()()ab abab完全平方公式：()abaabb； ()abaabb立方差公式：()()abaabbab立方和公式：()()abaabbab三项完全平方公式：()abcabcabacbc完全立方公式：()abaa

3、 babb； ()abaa babb大立方公式：()()abcabcabc abcabacbcn 次方差公式：1221()()nnnnnnabab aababb（n 为正整数）n 次方差差公式：1221()()nnnnnnabab aababb（n 为正奇数）分组分解法一般地，分组分解大致分为三步：i将原式的项适当分组；ii 对每一组进行处理（ “提”或“代” ） ；iii 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解四、十字相乘法已知2()()()xa xbxab xab，那么将2()xab xab因式分解，则结果为()()xaxb 例：因式分解：xxxxx或原式()()xx问题

4、：二次三项式axbxc如何因式分解？十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中十字相乘法适用类型：二次三项式axbxc二次三项齐次式axbxycy例：因式分解：xxyyxxyyxy或原式xyxy特殊地，如果abc，则必有因式x；如果abc，则必有因式x五、双十字相乘法双十字相乘法的本质与十字相乘法是一致的，它一般适用于二元二次六项式或可视为于二元二次六项式的多项式的因式分解，双十字相乘法的步骤：对于形如 ax2bxycy2 dxeyf 的多项式的因式分解，基本步骤是：（1）运用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图的右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，

5、填在第二个十字的右端，使这两个因数与含y 的项的交叉之积的和等于原多项式中含y 的一次项ey，同时这两个因数与含x 的项的交叉之积的和等于原多项式中含x 的一次项 dx六、换元法如果在多项式中某个数或式子多次出现，那么可将这个数或式子用一个字母代替，这样做常常使多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式（1）整体换元（2）和积换元七、主元法在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解八、拆项和添项法1、拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项2、添项：在代数式中添加两个相反项，叫做添项九、待定系数法将一个

6、多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法，其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法如 果 两 个 多 项 式 恒 等 ， 则 左 右 两 边 同 类 项 的 系 数 相 等 即 ， 如 果nnnnnnnnnnnna xaxaxa xab xbxbxbxb恒 成 立 ， 那 么nnab ，nnab， ab ， ab 待定系数法的使用前提是知道所需要求的代数式的形式，根据代数式的

7、形式把不确定的部分设为未知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解十、余数定理与因式定理法1、余数定理：多项式 f（x）除以 xc，所得的余数为f（c）2、因式定理：若多项式f（x）有一个因式xc，则 f（c）0；反之，若f（c）0，则 xa 必为多项式f（x）的一个因式3、整数系数多项式f（x） anxnan1xn1a1xa0的两个性质：性质 1： 设整数系数多项式f（ x）的首项系数an1，且它有因式xp（p 为整数），那么 p一定是常数项a0的约数例如 x22x8 的首项系数是1，它有因式x2 和 x1， 2 和 4 都是常数项8 的约数性质 2：设整数系数多项式f（ x）的首项系数an1

8、 ，且它有因式pxq（pq为整数），那么q 一定是首项系数an的约数， p 一定是常数项a0的约数例如， 6x3x21 的首项系数an6 不为 1，它有因式12x，不难看出分母2 是 an6 的约数，分子1 是常数项 1 的约数 例如：分解因式：xx观察可知，当x时， xx，则()xxxa，其中 a 为整式，即 ()x是多项式 xx的一个因式若要确定整式a，则可用大除法xxxxxxxxxxxxxx()()()()()() ()xxxxxxxxxx题型一因式分解的定义例题 1： 下列因式分解正确的是（）a()()()ababababb()mmm mc()x yx yx y xyd()()mmm解

9、析： 把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。故选巩固 1： （1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）a()ab aba babbxxxxc()()abab abd()xxyxx xy（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由()x y xy；()m m；()()abab ； () ()yx； x xx；()x xx；()()y xx； ()()()()xyxyxyxy解析： （1）c； （ 2）正确，错误总结： 这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每

10、一个因式必须是整式，且不可再分解题型二提公因式法如多项式),(cbamcmbmam其中 m 叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式例题 2： 因式分解：（1）a xabx yacx（2）() ()()()a b xybca bxy bc（3） ()()()xyxyxy（4）abxacxax（5） ()()()()xyxyyxxy（6）a ba bab解析： 这 6 道小题反映了提取公因式法的6 大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取原式()axaxbyc（2）视“多”为一：把多项

11、式（如xy，bc等）分别整个看成是一个字母原式2322()()(33)a b xy bcxyabab c（3）切勿漏“ 1” ：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1” ，千万不要忽略掉原式2(2)(2)(2)1xyxyxy22(2)(4421)xyxxyyxy（4）提负数：原式32(31)axbxcx（5）提相反数：原式(32 )(23 )(23 )xyxyxy6 (32yxy）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1

12、作为公因数提出，使第一项系数称为正整数原式32231(122427)4a ba bab223(489)4aba bab巩固 2： 因式分解：（1）abca ba b（2）aaa（3）()x axax（4）()()pq p（5） ()()()(abmpabmp）（6）()()()xyxyxy解析： （1）()abacab原式； （2）()aaa=原式；（3）()()axx原式； （4） 原式()()ppq；（5）= ()()mpab原式；（6）()()() xyxyxy原式()()xyxyxyxy 巩固 3： 已知bca，求()()a abcbcabcbca 的值解析：()()abc abc原式

13、()abcbca，abc，则原式题型三公式法例题 3： 因式分解：（1） ()x（2）()()mnmn（3）()()abab（4）()()abab（5）xxyy（6）aa（7） ()caba b解析： （1） ()()xx；（2） ()() ()()mnmnmnmn原式()()mnmnmnmn()()mnmn ；（3）原式()()abab=；（4）()()abababab原式()()abab()()()ab ab ab；（5）()xy原式；（6）()aa原式()a；（7）原式()()()()cab cab cab cab=总结： 该题主要考查平方差公式和完全平方公式例题 4： 因式分解：（1）

14、x（2）y（3）xx y（4） ab（5） ab解析： （1）()()xxx原式；（2）()()yyy原式；（3）()xxy原式()()xxyxxyy；（4）()()ab原式()()abaa bb；（5）()()ab原式()()abab()()()()ab ab aabbaabb另解：()()ab原式()()abaa bb()()()ab abaa bba b()()()()ab ab aabbaabb；总结： 这道题主要考查立方差和立方和公式例题 5： 因式分解：（1）abcbccaab（2）xx yxyy解析：（1）()abc原式；（2）()xy原式总结： 该题主要考查三项完全平方和完全立

15、方公式例题 6： 分解因式： x15x14x13x1 解析： ：原式 15148421611111111111xxxxxxxxxxxxx8421111xxxx总结： 该题主要考查立方和差公式拓展。例题 7： 分解因式： x12x9x6x31 解析： yx3，则原式 y4y3y2 y15343235533111111111yyyyyxxyyyxx510521111xxxxxxx10 x51x10 x9x8x9x8x7 x7x6x5x6x5x4x5x4x3x3x2xx2x1 x8（x2x1）x7（x2x1） x5（x2x1） x4（x2x1） x3（x2x1） x（x2x1）（ x2x1）（ x2

16、x1） （ x8 x7x5x4x3x1）105875432111xxxxxxxxxx5432111xxxxxx原式 （ x4x3x2x1） （x8x7x5x4x3 x1）法二： （x10 x5 1）（x2x1） 也可以直接用长除法. 巩固 4： 因式分解：（1）()ab（2）x yx y（3）a bc（4） ()()abab（5） ()()xyz xyz（6） ()xyx y（7）mm解析： （1）()()abab原式；（2）()x yxy原式()()x yxyxy；（3）()()ca bca b原式()()()cabcabca b；（4）()()abababab原式()()abab()()(

17、)ab ab ab；（5）原式()xyz=；（6）原式() ()xyxy；（7）()()mm原式()m() ()mm总结： 主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解巩固 5： 因式分解：（1）()yzx（2）(mxymn）（3） xy（4）xx（5） ()()xxxx（6） ()()xx xx（7）nnnaaa解析： （1）= ()()yzxyzx原式；（2）原式 =()()mxynxyn ；（3）= ()()xyxy原式()()()xyxyxy()()()()xyxyxyxy；（4）()()()xxxxx原式()()()xxxx；（5）()()xxx原式()()()xxxx()()x xx；

18、（6）()xx原式()x；（7）()naaa原式()naa巩固 6： 因式分解：（1）a b c（2）a bb（3）x yy解析：（1）()()abca b cabc原式；（2）原式()bab()()babaabb；（3）()yxy原式()()yxyxx yy题型四分组分解法例题 8： 因式分解：（1） axbybxay（2） a bab（3）xxx（4）a mamabmbm（5） xxxxx（6） xxxx解析： （1）()()axbxayby原式()()()()x aby abab xy ；（2）原式()()abb()()ab()()()()aabb；（3）原式()()()()xxxxx或

19、原式()()()()xxxxx；（4）原式()()()()()maaabbma ab am aab；（5）原式()()()xxxxx()()()xxxxx()()xxx；（6）原式()()()()xxx xx xx总结： 该题主要考查分组分解的第一个原则：平均分配有公因式的分为一组；按照系数配比分组；次数相近的分成一组例题 9： 因式分解：（1）xxy（2） xxxx（3） aaaba b（4）xxyy（5） xxyy（6） xyxxyy（7） ()()()abbccaabc解析： （1）原式()()()xyyxyx；（2）原式()()xxxx()()xx x()()xxx（3）原式()()(

20、)a ababa abab；（4）原式()() xxy yxy=4+()()xyyx；（5）()()()()xyxxyyxyxy原式()()xyxxyyxy ；（6）()()()xyxxyyxy原式()()xyxxyyxy ；（7）原式()()()()()abcbcacababcabc总结：该 题主要考查分组分解的第二个原则：按公式分组例题 10：因式分解：（ 1）22(3)(43 )xabxab（2）(1)(1)x xy y（3）(1)(1)2x xy yxy（4）2231()baxabx解析：（1）xabaxbx原式()()x xabax()()xaxb ；（2） 原式xxyy()()xy

21、xy()()()xyxyxy()()xyxy；（3）原式xxyyxy()()xyxy()()xyxy；（4）原式()()()()a xbxabxaxaxbx总结： 该题主要考查拆开再重新组合，再组合时按照上面两个原则巩固 7： 因式分解：（1） xxyy（2）xyy（3） xxyy（4） ()()()()abaccdbd（5）nnmxxy解析：（1） 原式()xy()()xyxy；（2）原式()()xyxy；（3）原式()()()()()()()xyxyxyxyxyxyxy；（4）原式()()()()()()adabdadacdadabcd ；（5）nmxy原式nmnmxyxy()()nmnm

22、xyxy巩固 8： 因式分解：（1）()()ax ybby bxa y（2）()()x xzy yz（3）()()x xx解析：（1）= axyaxbb x ya by原式()()ayxyabb x xyab()()xyabayb x ；（2）xxzyyz原式()()()()()xyxyz xyxyxyz ；（3）xxx原式()()()()x xxxx题型五十字相乘法（一） 二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例题 11：分解因式：652xx分析：将 6分

23、成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 3=(-2) (-3)=1 6=(-1) (-6) ，从中可以发现只有23 的分解适合，即 2+3=5 。解析：652xx=32)32(2xx=)3)(2(xx用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。巩固 9： 因式分解：（1） xx（2） xx（3） xx（4） xx（5） xx（6） xx解析： （1）原式()()xx；（2）原式()()xx；（3）原式()()xx；（4）原式()()xx；（5）原式()()xx；（6）原式()()xx；总结： 该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次

24、项系数为负数，先提负号，方法都是一样的（ 1）二次三项式axbxc ； （ 2）二次齐次式axbxycy （二）二次项系数不为1 的二次三项式2ax+ bx + c条件： （1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa例题 12：因式分解：（1）aa（2）xx（3）xx（4）xx解析： （1）()()aaaa；（2）()()xxxx；（3）()()()xxxxxx；（4）()()()xxxxxx总结： 该题主要讲解十字相乘法适用的类型，注意二次项系数为负数，先提负号，方法都是一样的（ 1）二次三项式ax

25、bxc ； （ 2）二次齐次式axbxycy （三）二次项系数为1 的齐次多项式例题 13：分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16 b)= -8 b解析：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba巩固 10：因式分解：()xbxb解析：()()()xbxbxxb；（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例题 14：因式分解：（1）()kxkxk； （2） (mxxm）解析：（1）()()()kxkxkxkxk；（2） ()()()()()mxxmxmxmxmx

26、xm总结： 这道题主要讲解含参的可看成二次三项式的十字相乘巩固 11：用合适的方法因式分解：（1） ()()axbybxay（2）x yyxyxy（3） ()()()xxy xy（4）()()ab abab解析：（1）原式()()()()ab abxyxy （先平方差再分组分解）；（2）原式()()y xxy （先提取公因式再分组分解）；（3）原式()()xyxy（先拆开再分组分解） ；（4）原式()()aabbab（十字相乘法） 总结： 这道题主要考查几个方法的综合，让他们练下题型六换元法（1）整体换元思想例题 15：因式分解：（1） ()()xxxx（2） ()()xxxx解析： （1）解

27、法一： 将 xx看作一个整体，设xxt ，则原式()()=tttt= ()() = ()()()ttxxxx；解法二： 将 xx看作一个整体，设xxt ，则原式()= ()() = ()()()t tttttxxxx；解法三： 将 xx看作一个整体，过程略（2）解法一： 令=xxy，则原式 = ()()yy()()yy()()xxxx= ()()()()xxxx；解法二： 令 xxy，则原式 =()y y= yy= ()()yy()()xxxx()()xxxx= ()()()()xxxx. 总结： 该题主要考查整体换元，但整体换元最好是找平均数换元例题 16：因式分解 : （1） ()()()

28、()xxxx+（2） ()()()()xxxxx解析： （1）原式 = ()()()()xxxx()()xxxx令 xxt，则原式 = ()()tt()(tt）()()xxxx()()()xxxx；（2）原式()()()()()()xxxxxxxxxx设xxt，原式()()()tx txxtxx总结： 该题主要考查先两两组合，再整体换元例题 17：因式分解：（1） ()()xxxx（2） ()()xxxx解析：（1）原式 = ()()()(xxxx）()()xxxx令 txx，原式()()()t ttt()()xxxx；（2）原式()()()()()()xxxxxxxx，令 yxx ，则原式(

29、)()yyyy()()()()()yyxxxx总结： 该题主要考查先拆开，再重新组合，最后再整体换元（2）平均值换元思想例题 18：分解因式：（ x1）4（ x3）4272 解析： 令1322xxyx，原式（ y1）4（ y1）42722（y46y2 1） 272 2（y46y2 135） 2（y29） （ y2 15）2（y 3） （y 3） （y215） 2（x5） （x1） （x24x19）（3）和积换元思想例题 19：因式分解：（ 1）()()xxyyxy xy（ 2）()()()xy xyxyxyxy解析： （1）设 xya， xyb ，则原式()()abababxyxy）；（2）设

30、xya， xyb ，则原式()()()a aabb()()()aababab ab()()()()xyxy总结： 该题主要考查和积换元巩固 12：因式分解：（ 1）()()xy xyxyxy（ 2） ()()()abab abab解析：（1）设xya， xyb ，原式()()()()abababxyxy；（2）设abx， aby ，原式()()()xyxyxxyyyx()()()()() ()xyxyxyababab巩固 13：因式分解：（1） ()()abab（2）()()aa（3） ()xxxx（4） ()()xxx xxx解析：（1）原式()()()()abababab；（2）原式()(

31、)()()aaaa；（3）原式()()xxxx()()xxxx()()()()xxxx；（4）令 xxt ，原式 = ()()txtxtx tx= ()()xxxxxx= ()()xxxx= ()()()xxxx总结： 该题主要考查整体换元，换元后再十字相乘巩固 14：因式分解：（1） ()()()()aaaa（2） ()()()()aaaaa（3） ()()xxxx解析：（1）原式()()a aaa；（2）原式()()aaaaa，设 aat ，原式()()()ta taataa；（3）原式()()()()xxxx()()xxxx，设 txx原式()()()()()ttttxxxx）() ()

32、xxx巩固 15：因式分解：（1） xx（2） ()()xyxy（3） ()()xxxx（4） ()()xxxx解析：（1）()()()()()xxxxxxx；（2） ()()()()xyxyxyxy；（3）原式 = ()()xxxx；（4）原式()()()xxxx题型七主元法例题 20：因式分解：（1）abcabacbcabc（2）()()aabbb（3）()()()y yxxyy解析：（1）把 a视为未知数，其它视为参数原式aabacabcbcbc()()abcbcbcbc()()abcbc()()()abc；（2）将原式展开并写成关于a 的二次三项式：()ababb，bb可以分解为：()

33、()bb，再次运用十字相乘法可知原式()()abab；（3）选 x 为主元，原式()()yxyyxxy 巩固 16：因式分解：（1）ababbcac （2）()xab xaabb解析：（1）首先将原式按a 的降幂排列，写成关于a 的二次三项式()acb abcb ，此时的“常数bcb”提取公因式b即可分解成()b cb ，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成 ()()ab abc ；（2）这是x 的二次式，“常数项”可分解为()()aabbabab再对整个式子运用十字相乘()()()xab xaabbxabxab巩固 17：因式分解：a baba cacabcb cbc解析： 原式()()()

34、bc abcbc ab cbc()()()bc abcbc abc bc()()abcbc abc()()abc abacbc 题型八双十字相乘法例题 21：因式分解：（1） xxyyxy（2）xxyyxy解析：（1）如果只有二次项xxyy ，如图（ 1） ，那么()()xxyyxyxy(1) (2) -1 3 3 y 常1 11 2 1 + 2 = 3x 常数x y-1 + 3 = 21 31 -1 (3)-1 13 23 + -2 = 1y 常数（1）（2）（3）如果没有含y 的项，如图（2） ，那么对于多项式()()xxxx如果没有含x 的项，如图（3） ，那么对于多项式()()yyyy

35、把以上三个算式“拼”在一起，写成1 -1 11 3 2x y 常数（4）便得到所需要的分解：()()xxyyxyxyxy；（2）将原式写成关于x 的二次三项式：()xyxyy，yy可以用十字相乘法分解为：()()yyyy，再次运用十字相乘法可得，原式()()xyxy总结：这两个小题建议老师讲解的时候用三种方法来讲解双十字相乘法，选主元和分组分解（把前三项看成一组），当然双十字相乘解决这样的二次六项式是比较简单的巩固 18：因式分解：（1）xxyyxy（2） xyxy（3） xyyxy解析：（1）原式()()xyxy；（2）原式()()xyxy；（3）原式()()yxy总结： 该题主要让孩子们练

36、习下，当然遇到第（2） （3）小题也就是二次五项式的时候仍然用双十字相乘的方法巩固 19：因式分解：（ 1） xxyyxzyzz（2）xxyyxzyzz解析： （1）原式()()xyzxyz ；（2）原式()()xyzxyz 总结： 这道题主要讲解双十字相乘主要用于：（1）二次六项式； （2）二次六项齐次式题型九添项和拆项例题 22：因式分解：（ 1） x（ 2）xy（3） xx（ 4） xx（5） xx解析： （1）原式()()()xxxxxxxx()()()()xxxxxxxx；（2）原式()()xyx yx yxyxy()()xxyyxxyy；（3）原式()()()xxxxxxxxx；（

37、4）原式()()xxxxx()()xxxx ；（5）原式()()xxxxxxxxx()()xxxxx()()()xx xxxx总结： 该题是按照完全平方公式进行拆添项巩固 20：因式分解：aaa解法一：原式()aaa()a() ()()aaa()()aaa解法二：原式()()()aaaaa()()()aaa aa()()aaa解法三：原式()()aaaaa()()a aaaa()()aaa解法四：原式()()aaa()()()aaaaa()()aaa题型十因式定理例题 23：（1）观察可知，当x_时， xxx可得 _是多项式 xxx的一个因式因式分解：xxx_（ 2） 观 察 可 知 ， 当

38、x_ 时 ， xxx 可 得 _ 是 多 项 式xxx的一个因式因式分解：xxx=_（3）因式分解：xxxxx解析： （1）当x时， xxx可得 ()x是多项式xxx的一个因式因式分解：() ()xxxxx（2） 当x时，xxx 可得 ()x是多项式 xxx的一个因式 因式分解：()()()xxxxxx（3）原式有因式x，原式()()xxx()()xx总结： 该题主要让学生们熟悉因式定理的内容，而且是上讲拆项和添项的解释巩固 21：因式分解：（ 1）xx（2）xxx解析： （1）原式的有理数根只可能为：，经检验x使得原式为0，所以原式有因式x，原式)()xxx=()()()xxx=(（2）原式

39、的有理根只能为：，经检验x使得原式 =0，则原式必有因式x，所以原式()()xxx总结： 该题各项的系数和没有特殊的关系，那就要用性质去试根，试出来一个根后再次用性质去试根，直到可以因式分解为止例题 24：因式分解：（ 1）()()()xaxaaxa（ 2）()()xabc xabbcca xabc解析： （1）由题意观察得知奇数次项的系数和减去偶数次项的系数和为0，即()()()aaaa，所以原式有因式x，所以原式)()xxaxa=()()()xxaxa=(（2）常数项abc的因数为，a，b，c，ab，bc，ca，abc把x代入原式，得()()aabc aabbcca aabcaabacaa

40、 babca cabc所以 xa 是原式的因式，所以原式()()xabc xabbcca xabc()()xaxbc xbc()()()xaxbxc 总结： 该题相比前两题加了含参的计算，实际上方法还是一样的巩固 22：因式分解：（ 1） xxxx（2） xxxx解析： （1）原式的有理根只能为，经检验都不能使得原式为0，所以原式不含有一次因式，只含有二次因式，令 xxxx()()xmxxnx或 xxxx()()xmxxnx当 xxxx()()xmxxnx时，由题得mnmnmn，得mn，由于分解是唯一的，所以原式()()xxxx（2）原式的有理根只能为，经检验都不能使得原式为0，所以原式不含有

41、一次因式，只含有二次因式，所以令xxxx()()xmxxnx或 xxxx()()xmxxnx当 xxxx()()xmxxnx时，则由题得mnmnmn，解得mn由于分解是唯一的，所以原式()()xxxx题型十一待定系数法例题 25：分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx， 则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解析： 设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得61

42、3231mnmnnm，解得32nm原式 =) 32)(23(yxyx例题 26：（1）已知关于x 的多项式xxm因式分解以后有一个因式为x，试求 m 的值，并将多项式因式分解（2）若 xx是 xpxq 的一个因式，求pq 的值解析： （1）由题意可知，()()xxmxxm，由一次项系数可得m，原式()()xx（2） xpxq的三次项与一次项系数均为0，()()xpxqxxxx p， q pq总结： 这道题主要是想让学生们理解什么叫做待定系数法例题 27：分解因式x4x36x2x15 解析： 设 x4x36x2x15（ x2axb） （x2cxd）x4（ ac）x3（ bd ac）x2（ adb

43、c）xbd比较两边对应项的系数，得1(1)6(2)1(3)15(4)acbdacadbcbd，由（ 4）可得35bd115bd35bd115bd将35bd代入（ 3）得531ac（ 5）由（ 5） （1）得12ac，1325abcd是方程组（ 1） 、 （3） 、 （4）的一组解，且使（2）成立x4x36x2x 15（ x2x3） （x22x5）注意： （1）为什么由15bd得到的都是整数解，而没有非整数解呢？一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为两个整系数的因式的积所以，我们只需要讨论它有无整系数的因式就可以了（2）为什么由15bd没有得到53bd151bd53bd151bd这些解呢 ？在此题中b、d的次序无关紧要，我们可以认为只有35bd115bd35bd115bd这四种情况（3）1325abcd是由方程组 （ 1） 、 （3） 、 （4）的的一组解，但必须使（2） 成立，才能确定分解式的系数，否则就必须用方程（ 4）的其余几个解代入，直至使（2）成立