高等数学习题详解-第3章--导数与微分(共16页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上习题3-11设某产品的总成本C是产量q的函数:，求(1) 从到时，自变量的改变量； (2) 从到时，函数的改变量； (3) 从到时，函数的平均变化率； (4) 总成本在处的变化率. 解：(1) =102-100=2,(2) = (3) 函数的平均变化率为.(4) 总成本在处的变化率为2设，根据导数定义求. 解 3根据函数导数定义，证明证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得.4已知，求下列极限：(1) (2) 解 (1) (2) =5已知，计算极限 解 6求下列函数的导数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ; (5) ； (6) 解(1) ； (2) ；(3)

2、 ； (4) ; (5) ； (6) 7问函数 在处是否可导？如可导，求其导数. 解 考察处的左、右导数=,所以，函数在处的可导，且.8讨论函数在点和处的连续性与可导性. 解 (1)考察处的左、右导数=,所以，函数在处不可导；又,所以，函数在处连续.(2) 考察处的左、右导数=所以，函数在处的可导，且.9求等边双曲线在点处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 解由导数的几何意义，得切线斜率为所求切线方程为 即法线方程为 即10求曲线在点处的切线与轴的交点. 解曲线在点处的切线斜率为故切线方程为 .上式中，令，得.所以，曲线在点处的切线与轴的交点为.习题3-21求下列函数的导数：

3、(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ；(6) 解 (1) ;(2) ;(3) =;(4) (5) ；(6) .2求下列函数在给定点处的导数：(1) 求； (2) ，求(3) ，求. 解 (1) =(2) =(3) ，故3曲线上哪一点的切线与直线平行？解 ,令，即，得或，代入原曲线方程都有：，故所求点为：或.4求下列函数的导数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) ；(7) ;(8)； (9)；(10)解(1) ； (2) ；(3) ； (4) =;(5) ；(6) =；(7) =;(8) =； (9)=；(10)=.5已知可导，求下列函数的的导数：(1)

4、； (2) .解 (1) =(2) =.习题3-31求下列由方程所确定的隐函数的导数：(1) ； (2)； ;(3) ； (4) .解 (1)方程两边同时对自变量求导，得,整理得 ,故；(2) 整理求得=(3) 求得 =(4) 整理求得 故=.2求曲线在点处的切线方程和法线方程. 解 方程两边同时对自变量求导，得解得 =，在点处，于是，在点处的切线方程为，即,法线方程为 即.3用对数求导法求下列各函数的导数:(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解 (1)等式两边取对数两边对求导得故 .(2) (3) 得.(4) =4求下列参数方程所确定的函数的导数：(1) ； (2) .解 (1) (

5、2) =5求椭圆在相应点处的切线方程.解 .时，切线斜率为，. 故所求切线方程为 .习题3-41求函数当由1改变到1.005的微分. 解 因为 由题设条件知 ，故所求微分为 2求函数在处的微分. 解 所求微分为 =3求下列各微分:(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) .解 (1) =； (2) ；(3) ； (4) ;(5)方程两边对求微分.整理得 解得 ； (6) 方程两边对求微分.整理得 解得 4计算下列各数的近似值: (1) ； (2) .解(1) =1.03； (2) =1.975.5在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) ; (2) ;(3)

6、 ； (4) .解(1) ; (2) ;(3) ； (4) 即，故.习题3-51求下列函数的二阶导数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解(1) ,； (2) ,=；(3) ,=； (4) ,=2. 验证函数(其中为任意常数)满足方程.证：,.3设函数二阶可导，求下列函数的二阶导数：(1) ； (2) .解 (1)求导数，于是=(2) =.4对下列方程所确定的函数求：(1) ； (2) .解 (1)方程两边对求导得 .因此求得= =； (2) 方程两边对求导得 .因此求得 = 5对下列参数方程所确定的函数求：(1) ； (2) .解(1) .故 =； (2) .故 6求下列函数的n阶

7、导数：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解(1) =； (2) ,； (3) ,故; (4) 复习题3（A）1已知(为常数)，则(1) ; (2) (3) . 1.解 (1)2; (2) ; (3) 3.(1) =2; (2) =; (3) =3.2函数在点处的左导数和右导数都存在，是在可导的()A. 充分必要条件；B. 充分但非必要条件；C. 必要但非充分条件；D. 既非充分又非必要条件.2 答C. 在可导的充分必要条件是和都必须存在且相等；反之，和都存在，不能保证在可导.3函数在处 ()A. 可导；B. 连续但不可导；C. 不连续；D. 极限不存在.3答B. 函数在连续；但，故在

8、不可导.4设对定义域中的任意均满足，且则必有 ()A. 不存在；B. ；C. ； D. .4答D. 5解答下列各题：(1) 设，求； (2) 设，求； (3)设，可导，求； (4) ，求；(5) 求曲线在点的切线与法线方程; (6) 已知函数由方程 确定，求，;(7) 设，求;(8) 设，求.5.解(1)=(2) 由对数求导法，可求得故；(3) =； (4)取对数 两边求导 故(5) 两边求导得，故因此切线方程为 ,法线方程为; (6) =；(7) 由知故=; (8) =.6设函数 在处可导，求的值.6解：因可导必连续，所以,得考察处的左、右导数=所以，得到.7. 设函数在点连续, 且, 证明

9、在的可导，并求出.7.证:因在点连续,故，又 故在的可导，=8验证函数(其中为任意常数)满足方程.8证：因,故 .（B）1. 设函数在连续，下列命题错误的是( )A. 若存在，则；B. 若存在，则存在；C. 若存在，则；D. 若存在，则存在.1.答：D. A.正确，因为存在，则，又在连续，所以；B.正确，因为若存在，则=存在；C.正确，因若存在，则,故；D.错，如, ，但不存在.2. 若，则2. ，,所以=.3设周期函数在周期为3，且，则曲线在点的切线斜率为3 -3，=,4. 已知，求.4. 解：=5.设存在，求.5. 解：=6. 设，在区间内求.6. 解：,考察处的左、右导数=所以，函数在处不可导.故所求导数为：7. 设函数在点连续, 且, 讨论在的可导性.7. 解：(1)若，则不存在，此时在不可导(2)若，则，此时在可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在内以周期为T的周期函数可微，则也是以周期为T的周期函数.(2) 若函数在内是可微奇(偶)函数，则内必为偶(奇)函数.8. 证: (1)因,又,因此=(2) 若函数在内是可微奇函数，则有=