§42换元积分法(第一类换元法)

1、§换元积分法I 授课题目§ 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，d (x) (x)dx .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.川教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分IV 讲授内容：、第一类换元积分法设f (u)具有原函数F(u),f (u)du F(u) C .若u是中间变量，u(x) ,(x)可微，则根据复合函数求导法则，有dF( (x) ddudx du dxduf(u長f (x)(

2、X)。所以根据不定积分的定义可得:f (x) (x)dx F (x) CJFu C f (u)du以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f (x) (x)dxu(x) f (u)du F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 f (x) (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的 dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(X)的微分，通过换元u(x)，应用到被积表达式中就得到 (x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx，则f (x) (x)dx f(u)du F(u) C F (x)

3、 C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f (x) (x)的形式 那么g(x)dx f (x) (x)dx (x) u f (u)du F(u) Cu (x)F (x) C.所以第一换元积分法体现了 “凑”的思想把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f (x)(x)来.例 1 求 3e3xdx解3e3xdxe3x 3dx= e3>( 3x) dx，可设中间变量 u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，所以有 e3xdxe3x 3dxeudu eu C e3x C.首先观察被积函数的复

4、合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。例2 cos2xdxcos2x (2x) dx11解 cos2xdx cos2x 2dx=22令 u 2x，显然 du 2dx，则 cos2xdx11cos2x 2dx 2211cosudu sin u C sin 2x C .22在比较熟练后，我们可以将设中间变量(x)的过程省略，从而使运算更加简洁。例 3(3x 2)5dx5解 如将(3x2)展开是很费力的，不如把3x 2作为中间变量,d(3x 2) 3dx，51(3x 2) dx= (3x31例 4dx3 2x1 1 1dx=3 2x 2 3 2x2例 52xex dx2)5

5、3dxJ (3x32)5d(3x 2) (3x182)6 C .2xex dxe(x2) dx12dx=2exdx13 2xd(3 2x)尹3 2x12 ex2 Cd(113(1二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1dx d(ax b)；axn 1dx-d(nb)exdx d(ex)；1-dx d (ln x )； xaxdxl-d(ax)；In acosxdx d(sin x)；sin xdx d (cosx)；2sec xdx d (tanx)2csc xdx d(cot x)；secx tan xdx d (secx)；dx.1 x2d (arcsin x);d(arctanx)。1 x例

6、 6 求 x. 1 x2dxx2dx ( 2x)、. dx22 2x (1 x ) dxudu2dx,a2 x2dx'2 2 a x三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算 例 7 求 sin2 xdx2111sinxdx2(1cos2x)dxdx22cos 2 xdxx1(cos2x)2dx -1sin 2xC(此题利用三角函数中的降幕扩角公式)2424解(a 0)利用d(xn) nxn 1dx，有如下例题.1 sin例9求dxx1解d(=x.1sin$dxxA dx2 x11(sin_)( p)dxx

7、x(sin 丄)(丄)dxx xsin -d()x xcos- Cx例10 求 ex cosex dx解 ex cosexdx=cosexd(ex)xsineC.利用 d（ex） exdx,d(ax) ax ln adxdx11求xe习题 4-2:2(30)dxxex ex 2(e )dxdex12求dxx1ex 1dx113求dx6x4x 9x6x9xdxdxxexe(ex)2 1arcta nexxexe咛 x ln(ee 11) C.3 x(3)x dx3 2xd(3门arctan£)x C.ln3 ln2 2此题利用d（ax）ax 1 n adxF面几个例题利用d(1n x)

8、丄dxxdx例14求 x ln解理xln x丄丄dxln x xIn xd(ln x) In In x C .又如习题4-2:2(16)dxx In x In In xdxx In x In In x1 1 1dxIn In x In x x1 1d I n xIn In x In xd In In x In 11n In x | C .In In x115 求(2Inx 5)4dxx14142(2In x 5) dx (2In x 5) -dxx2x 415-(2In x 5) d(2In x 5) (2In x 5) C . 10第一次课可以讲到这里被积函数是分母是二次函数，分子是常数或一

9、次函数的有理分式函数的不定积分的求法(例16例22六个例题)dx例16求 22(a 0)分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项a xdx-2 ax2dx9x212xdx29x 12x 4 31*X1丄xd() arctan C. a1 . 1 dx (x)2a 1 (x)2 a aaa被积函数分母是一个完全平方式13dx(3x 2)1Kd(3x 2)3(3x 2) C .被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为12 dx= 1(ax b) a12 d (ax b) (ax b)例 182 dx4x2 4x 17 解x4x2 4x 17分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式dx16 (

10、2x 1)21 18 1 (2x 12d(写)8arc481 1 o> dx16 1(2x 1)2(4ta-) C24被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为(ax b)2 c的形式，然后利用 1 2dx arcta nx1 x练习:dx （第一换元积分法分）x 2x 5解 x2 2x 5 (x 1)24，(x2dx2x 5)19求1皆'22dxx121 12 dx=- dx(x 1)44 (x 1)2 1,x11丄x1小d=一 arcta nC2 2分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式dx1(111111 dx7x32 xx127(x4

11、)dxx 37xdx4114)11 d(x x 33)7xd (x471ln|x 4|1In7|x13| C -7ln | x4| C.7ln |x3(x 3)(x 4)7 x 41x2 x 12兀）cacb1(x 1 2 dx In (x2 2x 10)b)(x a)(xb)(x a)例20求1xdx/、了 曰.2 x刀J是次多项式，分母是二次多项式解 d(x(L)2 121)2xdxx1 x2dx単dx1 x2£d(x2 "In(x2 1) C.2例21求x* I 2 解 d(x2x2xxdxx 2x 10dx1010)(2x2）dx，则2x 22x2 dx10xx2

12、2x 102x 2dxx 2x 102d(x 2x 10)x2 2x 10dxx2 2x 102In(x2 2x 10)2x 222x 1022xdx10(x 1)2 9dx1l n(x2 2x 10)1x 1arcta n 33被积函数分子是一次多项式,分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数F面几个例题利用三角函数的微分公式:d (sin x) cosxdx ； d (cosx) sin xdx ； d(tan x)2sec xdx ； d (cotx)csc2 xdx例22求 tan xdx（化切为弦）tanxdx= sinx dx= cosxsinx ,dxcosx1d (cosx

13、) cosxIn cosx C例23求 tan3 xdxtan3 xdxtan x(sec2 x1)dxtan xsec2xdxsin x dx cosxtan xd (tan x)1d (cosx) cosx1 tan2 x2In cosx C例 24 求 cscxdxx tan2.x sin22 x2sin _22si n解 根据三角函数的积化和差公式：cos3x cos2x (cos5x cosx) 1cos3x cos2xdx cos5x cos xdx22x cos_2x x2sin cos_2 2sin x因为1 cosx cscx cotx. sin x1cscxdx=dx=si

14、n x2sin1dxxxcos-222 x cos 一2dx .x sin2 2x cos-22 x sec _2. xtan_2d tanxtanx2xIn |tan | C .x所以 cscxdx In | tan - | C In | cscx cot x| C .2此题用三角万能公式代换也可以cscxdx=dxt tan|sin x1 t22t?dtIn |t | CxIn |tan： | C .例 25 求 secxdxsecxdxdxcosxsin(x )dxsec(x 至)d(x 至)In |csc(x 2)cot(x T) | C In |secx tanx| C . secx

15、dx In | secx tanx| C例26求cos3x cos2xdx (利用三角函数积化和差公式)sinsin2 si n2-cos2sincossi n(2)sin(sinsin2 cos2sin2 ；cossin2s in(2)sin(coscos2 coscos-coscos1cos()cos(222coscos2 sinsinsinsin1 cos()cos(和差化积公式积化和差2 2 2)1111cos5xd5x cosxdx sin5x sin x C.102 102由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例

16、题。V 归纳总结1. 第一换元法是把被积函数g(x)凑成f (x) (x)的形式然后应用公式f (x) (x)dxu(x) f(u)du F u C F (x) C ;2. 要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。dx h(ax b) ； xna1dx d(xn b) ； exdx d(ex)； ndx d(ln x) ； axdx x&d(ax)；ln acosxdx d (sin x)；2sin xdx d (cos x) ； sec xdx2d (tan x) ； csc xdxd(cot x)；dxsecxtan xdx d (secx) ； d (arcsin x)v'1 x2dx2xd (arctanx).3. 熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分-2r dx;a x12 dx ;2