整合 轻绳、轻杆、轻弹簧

1、14轻绳、轻杆、轻弹簧三种模型的特点及其应用在中学物理中，经常会遇到绳、杆、弹簧三种典型的模型，在这里将它们的特点归类，供同学们学习时参考。一.三种模型的特点1.轻绳（或细绳）中学物理中的绳和线，是理想化的模型，具有以下几个特征：轻：即绳（或线）的质量或重力可以视为等于零。由此特点可知，同一根绳（或线）的两端及其中间各点的张力大小相等；软：即绳（或线）只能受拉力，不能承受压力。由此特点可知：绳（或线）与其他物体的相互间作用力的方向总是沿着绳子；不可伸长：即无论绳（或线）所受拉力多大，绳子（或线）的长度不变。由此特点可知：绳（或线）中的张力可以突变。2.轻杆具有以下几个特征：轻：即轻杆的质量和重

2、力可以视为等于零。由此特点可知，同一轻杆的两端及其中间各点的张力大小相等；硬：轻杆既能承受拉力也能承受压力，但其力的方向不一定沿着杆的方向；轻杆不能伸长或压缩。3.轻弹簧中学物理中的轻弹簧，也是理想化的模型。具有以下几个特征：轻：即弹簧的质量和重力可以视为等于零。由此特点可知，向一轻弹簧的两端及其中间各点的张力大小相等；弹簧既能承受拉力也能承受压力，其方向与弹簧的形变的方向相反；由于弹簧受力时，要发生形变需要一段时间，所以弹簧的弹力不能发生突变，但当弹簧被剪断时，它所受的弹力立即消失。二.三种模型的应用例1.如图1所示，质量相等的两个物体之间用一轻弹簧相连，再用一细线悬挂在天花板上静止，当剪断

3、细线的瞬间两物体的加速度各为多大？解析：分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析瞬时前后的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。此类问题应注意两种模型的建立。先分析剪断细线前两个物体的受力如图2，据平衡条件求出绳或弹簧上的弹力。可知，。剪断细线后再分析两个物体的受力示意图，如图2，绳中的弹力F1立即消失，而弹簧的弹力不变，找出合外力据牛顿第二定律求出瞬时加速度，则图2剪断后m1的加速度大小为2g，方向向下，而m2的加速度为零。例2.如图3所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对小球的作用力F的判断中，正确的是（ ）A.小车静止

4、时，方向沿杆向上；B.小车静止时，方向垂直杆向上；C.小车向右以加速度a运动时，一定有；D.小车向左以加速度a运动时，有，方向斜向左上方，与竖直方向的夹角为。解析：由题意可知：小球与车具有相同的运动状态，小车静止，球也静止。对球进行受力分析，静止时所受的合力为零，即杆对球的作用力应竖直向上，A、B错。当小车向右加速时，球也向右加速，那么球所受的合力应向右，大小为ma。球所受的合力为球受到的重力和杆的作用力合成的，根据平行四边形定则，杆的作用大小为，方向斜向右上方，与竖直方向的夹角为；若加速度为，则杆对球的作用力一定沿杆的方向。车向左加速与向右加速分析一样，所以本答案为D。例3.（1）如图4所示

5、，质量为m的小球被弹簧和水平细绳悬挂而处于静止，弹簧与竖直方向的夹角为，现剪断水平绳，此瞬间弹簧的拉力为 ；小球的加速度为 ，方向为 。（2）如图5所示，质量为m的小球被一根轻钢丝和水平细绳悬挂而处于静止，轻钢丝与竖直方向的夹角为，现剪断水平绳，此瞬间轻钢丝的拉力为 ；小球的加速度大小为 ，方向为 。解析：初看这两题很相似，有的同学会不假思索的认为它们的答案相同。实际上是对弹簧和轻绳两种模型的特点不清楚。（1）如图6所示，细线剪断前小球受重力mg，弹簧的弹力F1、细线的拉力F2三力作用。三力的合力为零。F1、mg的合力水平向右与F2大小相等、方向相反。剪断细绳的瞬间，细线的拉力F20；由于弹簧

6、的弹力不能突变，弹簧的弹力F1保持不变。弹簧的弹力F1和小球的重力mg的合力大小等于未剪断细绳时细绳的拉力F2大小，方向与其相反，如图7。故有，方向水平向右。（2）若把弹簧改为钢丝，当剪断细绳的瞬间，钢丝的拉力马上发生变化，由于惯性，此刻小球仍保持静止，在钢丝方向上的加速度为零。如图8所示，则，方向为垂直钢丝向下。与绳、杆、弹簧模型有关问题的归类分析绳、杆和弹簧作为中学物理常见的理想模型，在中学物理习题中经常出现,尤其在曲线运动问题中更是频繁，与此有关的问题较多涉及临界和突变问题，因此易成为学生学习的障碍。究其原因，症结在于：不清楚这三种模型弹力产生的机理及特点；不清晰物理过程，尤其是由一种状

7、态突变到另一种物理状态时，突变点的分析；以及临界状态对应的临界条件。本文将结合复习，谈谈对这类问题的分析思路与方法。一、三种模型弹力产生的特点：细绳只能发生拉伸形变，即只能提供因收缩而沿轴向里的弹力，但弹力的产生依赖于细绳受到的外力和自身的运动状态。由一种状态突变到另一种状态时，受力和运动状态将发生突变，将此点称为“拐点”；弹簧能发生拉伸和压缩形变，能提供向里和向外的弹力，弹力的产生是由于外力作用下而引起形变产生的，形变不发生变化，弹力不变。弹簧的形变一般不能发生突变，故弹簧的弹力一般也不能发生突变；轻杆：拉伸、压缩、剪切形变、弯曲、扭转形变均能发生，既能产生沿轴向方向上的弹力，又能产生沿截面

8、方向上的弹力，取决于外力作用的情况。中学阶段，讨论以上模型的形变均不计由其自身的重力而引起的形变。分析与三种模型有关的问题时一定要结合它们各自产生的弹力的特点，具体问题具体分析。下面将对常见的问题进行归类分析。二、常见问题归类解析（一）：平衡态发生瞬时突变时的问题1：弹簧与细绳模型例1：如图1所示，一条轻弹簧和一根细绳共同拉住一个质量为的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是，若突然剪断细线瞬间，弹簧拉力大小是多少？将弹簧改为细绳，剪断的瞬间上张力如何变化？解析：绳未断时球处于平衡态，由图1得：，解得剪断的瞬间，瞬时消失，但弹簧上的形变没有改变，所以弹力不变，则和的合力与相平衡，即：

9、换为细绳，张力随外界条件的变化发生瞬时突变，如图2所示，则沿绳方向瞬态平衡；重力的分力使物体向最低位置运动，即：从而使物体沿圆周运动。：细绳和杆的平衡类问题：例2：如图3所示：一块长木板长为，距端处有一个固定的轴，（1）：若另一端用轻绳拉住，使木板呈水平状态，绳和木板的夹角，轻绳能承受的最大拉力，如果一个重为的人在该木板上行走，求活动范围为多少？（2）：若其它条件都不变，端用轻杆拉住，且轻杆承受的最大拉力也为，求人的活动范围是多少？解析：从向行走，人对木板的压力和板自身的重力产生的力矩与绳拉力产生的力矩相平衡，设人距端为，代入数据解得：向运动，在之间，临界状态是绳中张力为零，即：，解得；人的活

10、动范围点右侧，左侧，换成细杆，人向点运动和绳相同，向左侧运动有别与绳模型，因为杆可提供斜向下的压力，从而使人的活动范围增加：，解得.人的活动范围点右侧,左侧（二）杆模型在非平衡态中的应用 O例3：如图示,一轻杆一端固定一小球,绕光滑固定轴O在竖直面内匀速转动。当转到图示位置时杆的弹力： A、沿着杆指向O B、沿着杆背离OC、在图中阴影区域内斜向上的某个方向D、以上皆不对分析：球作匀速圆周运动，合力充当向心力，即沿着杆指向O。故C选项正确。(三)绳、杆模型在曲线运动中的应用、绳模型在匀速圆周运动中的应用：根据实际物理场景，分为约束与非约束两类问题：思路：根据运动状态确定受力情况；技巧：首先三个确

11、定（确定轨道平面、圆心、圆周半径），其次分析向心力的来源；解决问题的关键：确定临界状态，分析临界条件，以此作为分界点加以讨论，并研究已知状态所处的运动范围，从而分析受力情况。典型的就是如例4中的圆锥摆问题。例4、如图5示长为的绳子，下端连接质量为的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与轴向的夹角成，此时小球静止于光滑的水平桌面上，当小球以下列情况下做圆锥摆运动时，求绳子上的弹力和对桌面的压力？（1）：做圆锥摆运动;（2）：做圆锥摆运动；解析：初始处于平衡状态，地面对物体竖直向上的作用力；当球以为圆心，以为半径在光滑地板上做圆周运动时，受作用，设角速度为时地面对球的弹力，则：(1)受力如

12、图所示解得（2）：球将飘离桌面做匀速圆周运动，设与轴线的夹角为，受力如图所示：（区别于杆模型是半径不变）、绳、杆模型在非匀速圆周运动中的应用：运动学特征：的大小随位置而发生改变，包括两部分，不再指向圆心；动力学特征：包括两部分：，合外力不再指向圆心，弹力不做功，整个过程遵循机械能守恒定律；依据运动情况分为临界极值和突变两类问题：（）、临界极值问题：物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理仅研究通过最高点和最低点的两类情况。例5：如图6所示，一轻绳一端固定一质量为m的带正电的小球，另一端固定在O点，绳长为R。匀强电场的场强为，方向水平向左，带电小球所受的电场力与重力大小相等，在最低点给小球一初速

13、度v0，使其在竖直平面内能沿圆轨道运动到与圆心等高的点，求v0至少多大方能满足条件？分析：绳模型；关键：等效重力场中的最高点；隐含条件；v0最小，意味着带电体到达等效最高点时，对绳的拉力恰好为0，向心力由等效重力来提供。解：在轨道圆心处做与的合力，对角线的反向延长线与轨道相交于处，则点为等效重力场的最高点，由题意分析可得：(2)(3)，由动能定理可得：联立解得：（）、突变问题：在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突变问题。在突变过程中往往伴随着能量的转移或损耗，绳模型在沿径向张紧瞬间，将其方向上的能量损耗掉；杆模型往往将其能量发

14、生转移。例6：轻杆长为L，一端用光滑轴固定，另一端系一个可视为质点，质量为的小球，把小球拉至图9所示的位置，无初速度地自由释放到最低处的过程中，小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，故而机械能守恒，选取最低处为零势能面，则(2)由（1）解得或，代入（2），得，即只有重力势能向动能的转化，无能量损耗。绳连接时，球由到做自由落体运动，设处的速度为，且方向竖直向下，选取点为零能面，关于水平线对称：(1)所以在处按图示的方向分解，在绳猛然

15、拉紧的瞬间，将径向的动能损耗掉，由到的过程中，只有重力做功，机械能守恒，选取点为零能面则：解得：由，则处是绳子张紧的突变点。通过以上分析发现，分析此类问题的关键是区别各模型的特点，分析发生的物理过程，依据不同的物理场景，把握其运动状态，分析其临界状态下的条件或突变问题中的“拐点”，弄清变化和不变的物理量，只有如此才能更好的解决此类问题。也谈轻绳、轻弹簧、轻杆模型及其应用图1轻杆、轻绳、轻弹簧都是忽略质量的理想模型，这三个模型既有相同又有相异，由于不同模型呈现的物理情景不同，因而具有不同的性质和规律。此类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的问题情景综合性较强、物理过程复杂，从受力的角度

16、看，这类弹力可能是变力；从能量的角度看，可以通过弹力做功实现能量的转移、转化。因此，此类问题，能很好的考查学生的分析综合能力，备受高考命题专家的青睐。现归纳总结如下，以期对参加高考的师生有所助益。一、力的方向有异1、轻绳产生的弹力只能沿绳并指向绳收缩的方向；2、轻弹簧产生的弹力只能沿弹簧的轴线方向，与弹簧发生形变的方向相反3、轻杆产生的弹力不一定沿杆的方向，可以是任意方向。例1、如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为0，小球的重力为12N，绳子的拉力为10N，水平轻弹簧的拉力为9N，求轻杆对小球的作用力。解析：以小球为研究对象，受力分析如图2所示，小球受四个力作用：重力、

17、绳子的拉力、弹簧的拉力，轻杆的作用力，其中轻杆的作用力的方向不能确定，重力、弹力、轻绳的拉力三者的合力为：N10N=5N方向与竖直方向成0斜向下，这个力与轻绳的拉力恰好在同直线上。根据物体平衡的条件，可知轻杆对小球的作用力大小为5N，方向与竖直方向成0斜向上。点评：由于轻杆作用力的方向具有多向性的特点，先确定其余力的合力，然后再根据平衡条件判定轻杆作用力的大小和方向。例2.（2008·山东）用轻弹簧竖直悬挂质量为m的物体，静止时弹簧伸长量为L.现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m的物体，系统静止时弹簧伸长量也为L0斜面倾角为300，如图3所示。则物体所受摩擦力A.等于零 B.大小为，方

18、向沿斜面向下C.大小为，方向沿斜面向上 D.大小为mg，方向沿斜面向上解析：由平衡条件和胡克定律得，对竖直悬挂的物体，有对斜面上的物体，设摩擦力的方向沿线面方向向下，有由两式解得：，故选项A正确。点评：竖直悬挂物体时，弹簧的拉力在竖直方向上；弹簧沿斜面方向拉物体时，弹簧的拉力在沿斜面方向上。可见，在沿弹簧的轴线方向上利用平衡条件便可迅速解决弹簧关联物的平衡问题。二、力的效果有异1、轻绳只能提供拉力。2、轻杆、轻弹簧既可以提供拉力，又可以提供推力。例3用长为的轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动，要使小球能做完整的圆周运动，则小球在最低点的速度最小为多少？若把轻绳改为轻杆，要使小球在竖直平面内能做

19、完整的圆周运动，则小球在最低点的速度最小为多少？解析：因小球在轻绳约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时有一个临界速度0，此时绳子的拉力恰好为零，由重力提供向心力有设小球在最低点时的速度为，由机械能守恒定律得由两式解得：,小球在最低点的速度必须大于等于。因小球在轻杆约束下在竖直平面内能做完整的圆周运动，所以小球在最高点时的速度稍微大于零即可，这时轻杆提供支持力。由机械能守恒定律，求出小球在最低点的速度为，小球在最低点的速度必须大于。点评：轻绳约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时绳子的弹力可以为零，绳子呈现虚直状态；轻杆约束下的物体在竖直平面内做圆周运动，通过最高点

20、时轻杆的弹力既可以提供拉力，又可以提供推力。例4.（09·江苏理综）如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的相同小球，小球之间用劲度系数均为的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为。已知静电力常量为，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为ABCD解析：把第三个小球隔离出来，对其受力分析如图5所示，由平衡条件得，解得：所以每根弹簧的原长为点评：小球在静电力的作用下使弹簧在水平方向伸长，弹簧的拉力在水平方向上，在沿弹簧的轴线方向上利用平衡条件和库仑定律便可迅速求解。三、力的突变性有异1、轻绳、轻杆的弹力可以发生突变。2、轻弹簧的弹力在大多数情况下不能发生

21、突变（发生渐变），极少数情况下可以发生突变。例5、如图6所示，中、用轻绳相连系于天花板上；中、用轻杆相连置于水平面上；中、用轻弹簧相连置于水平面上；中、用轻弹簧相连再用轻弹簧系于天花板上，每个物体的质量相同。现在中剪断系于天花板的绳；在、中撤掉支持面；在中剪断系于天花板上的弹簧，则在解除外界约束的瞬间，以上四种情况中各个物体的加速度分别为多大？解析：在a、b两种情景中，解除外界约束的瞬间，轻绳、轻杆的作用力都突变为零，、均做自由落体运动，故有。在c情景中，解除外界约束的瞬间，弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值（这是由于弹簧恢复原状需要时间），受到的合力仍为零，受到的合力为，故，；在d情景中解

22、除外界约束的瞬间，受到的向上的弹力突变为零，因而受到的合力为，而系于、之间的弹簧的弹力不能发生突变，仍为原来的值，受到的合力仍为零，故，。点评：解此类问题的关键是判断轻绳、轻杆、轻弹簧的弹力是发生突变还是发生渐变。轻弹簧的弹力，只有在解除与弹簧关联物的约束时才发生突变。例6（2008·全国）如图7所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为Ah Bl.5h C2h D2.5h解析：从静止开始释放b到落到地面时，由机械能守恒定律得，解得

23、。a球上升h后，做竖直上抛运动，上升的高度为，故a上升的的最大高度为l.5h。故正确的选项为B点评：本题主要考查对物理情景的分析，轻绳连接的两小球，在轻绳绷紧的状态下遵守机械能守恒，抓住在b到落到地面时两球速度大小相等是解此题的关键；在b到落到地面后，轻绳呈现松弛状态，a球做竖直上抛运动。例7.（2009·江苏物理）.如图8所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有A当A、B加速度相等时，系统的

24、机械能最大B当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C当A、B的速度相等时，A的速度达到最大D当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大解析:对A、B两物在水平方向受力分析如图9所示，F1为弹簧的拉力；当加速度大小相同为时，对有，对有，得，在整个过程中，A的加速度一直减小而的加速度一直增大，在达到共同加速度之前A的加速度一直大于的加速度，之后A的加速度一直小于的加速度。两物体运动的v-t图象如图9所示，tl时刻两物体加速度相等，速度差最大，t2时刻两物体的速度相等，速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值，即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能

25、增加，tl时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。所以本题正确的选项为BCD。点评：这类两端均有关联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。解决此类问题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，利用图象法分析物理过程能起到了“柳暗花明又一村”的效果。四、模型连接效果有异同1、串联轻弹簧与并联轻弹簧（1）两个劲度系数分别为1、2的轻弹簧，设串联后的劲度系数为，则有：，即（2）两个原长相等、劲度系数分别为1

26、、2的轻弹簧，并联后的劲度系数设为，则有：例8.（09·广东）某缓冲装置可抽象成图10所示的简单模型。图中为原长相等，劲度系数不同的轻质弹簧。下列表述正确的是( ) A缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变解析：不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关，A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两个轻质弹簧相连，则它们之间的作用力大小相等，B正确；由于两弹簧的劲度系数不同，由胡克定律可知，两弹簧的形变量不同，则两弹簧的长度不相等，C错误；在垫片向右运动的过程中，由于弹簧的弹力做负功

27、，弹簧的弹性势能增加且两弹簧增加的弹性势能也不同，D正确。故本题的正确选项为BD。点评：两弹簧虽然串在一起，但并未考查到串联轻弹簧（或并联轻弹簧）的劲度系数的变化关系（中学物理不做要求），解此类问题的关键是明确由于两个轻质弹簧相连时它们之间的作用力大小关系，明确弹簧的形变量与弹力和弹性势能的关系。2、固定轻杆与铰链轻杆（1）固定轻杆即不可转动的轻杆。例9如图11所示，轻杆的一端固定在竖直的墙上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的点。现把拴于墙上点的绳端向上移动，则轻杆的作用力如何变化？解析：以绳与滑轮相接触点为研究对象，根据矢量的合成法则作出平行四边形，

28、可知两段绳的拉力的合力变小，且与水平面间的夹角也变小。再由平衡条件可知：固定轻杆对悬绳的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。点评：解本题的关键是抓住：轻绳上各点的拉力大小相等，在点绳端向上移动的过程中，绳上拉力的大小不变，但两段绳的拉力的夹角变大。固定轻杆作用力的方向不一定沿杆。（2）铰链轻杆即可转动的轻杆例10如图12所示，轻杆的一端铰链连接于墙壁上，另一端装有一光滑的小滑轮，细绳绕过小滑轮一端系住一重物，另一端拴于墙壁上的点，整个系统处于平衡状态。现把拴于墙上点的绳端向上移动，并保证系统始终处于平衡状态，则轻杆的作用力如何变化？解析：把墙上点的绳端向上移动时，轻杆的作用力始终沿杆的方向；

29、由于两段绳的作用力大小相等，故轻杆总是处在两绳夹角的角平分线上。点向上移动时，两段绳的夹角增大，轻杆必须顺时针方向转动达到新的对角线位置才可以使系统平衡。以轻绳与滑轮相接触点为研究对象，由平行四边形定则，可知两段绳的拉力的合力变小。铰链轻杆的作用力变小，方向与水平面的夹角也变小。点评：当轻杆以铰链形式连接时，要使轻杆处于平衡状态，则两段轻绳的作用力的合力必须沿轻杆轴线方向。此题与例9中的情形是相同，但相异的是轻杆的作用力始终沿杆的方向，这是区分固定轻杆和铰链轻杆得关键。五能量的转化有异同在某一瞬间，物体由一种状态变化到另一种状态，从而引起运动和受力在短时间内发生急剧的变化，物理学上称之为突变问

30、题。在突变的瞬间往往伴随着能量的转移、转化或耗散。1.轻绳在沿径向张紧瞬间，在其方向上的能量耗散；2.轻杆往往将其能量发生转移。3.在突变和渐变的过程中，轻弹簧将释放或储存弹性势能，与其他形式的能之间转移或转化。例11轻杆长为L，一端用光滑轴固定，另一端系一个可视为质点，质量为的小球，把小球拉至图13所示的位置，无初速度地自由释放到最低处的过程中，小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力多少？若其它条件不变，把轻杆换为细绳，则释放后小球做什么运动？到最低处时速度多大？弹力为多少？解析：杆与球相连，做非匀速圆周运动，其轨迹为圆的一部分，只有重力做功，由机械能守恒，选取最低处为零势能面，则：由牛顿

31、第二定律得由两式解得：绳连接时，球由到做自由落体运动，关于水平线对称，设处的速度为，且方向竖直向下，选取点为零能面，在处按图示的方向分解，在绳突然拉紧的瞬间，将径向的动能损耗掉，由到的过程中，有机械能守恒，选取点为零能面，由速度的分解得由牛顿第二定律得由式解得.点评：轻杆与球相连时，只有重力势能向动能的转化；无能量损耗。轻绳与球相连时，在绳突然拉紧的瞬间，沿径向的动能将耗散掉，转化为其他形式的能。例12如图14所示，、两小球用轻杆连接，球只能沿内壁光滑的竖直滑槽运动，球处于光滑水平面内开始时杆竖直，A、B两球静止由于微小的扰动，开始沿水平面向右运动已知球的质量为，球的质量为，杆长为L则：（1）

32、球着地时的速度为多大?（2）球机械能最小时，水平面对球的支持力为多大?（3）若，当球机械能最小时，杆与竖直方向夹角的余弦值为多大?球机械能的最小值为多大?（选水平面为参考平面）解析：（1）球着地时，B球的速度为0设此时球速度为，由系统机械能守恒得,解得.（2）当球机械能最小时，球的速度最大，此时B球的加速度为0，则杆对球的作用力为0设小球受到的支持力为N，对球受力分析可得.（3）设杆与竖直方向间夹角为，球的速度为，此时球的速度为，则,且和沿杆方向上分速度大小相等，即,联立解得,令，当的导数时，球机械能最小，达最大值，即,解得：，.则A球机械能的最小值点评：两球在轻杆的约束下分别在竖直光滑轨道和水平光滑轨道内运动，由于只有重力做功，满足机械能守恒定律。解此问题的关键：是分析物理情景，弄清球着地时和球机械能最小时，球的运动状态；是抓住杆在下落的过程中，两球在沿杆方向的分速度相等。本题还较好的考查了学生应用数学处理物理问题的能力。例13.（2009·山东）图15示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（