角动量角动量守恒定律

1、5 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1.定义定义:Lrprmv 称为一个质点对称为一个质点对参考点参考点O的质点的质点角动量角动量或质点或质点动量矩动量矩mLrpOsinsinrmvrpL5.1 质点的角动量质点的角动量 角动量定理角动量定理5.1.1 质点的角动量质点的角动量描述质点、质点系的运动，引入描述质点、质点系的运动，引入动量动量描述物体绕定点、固定轴的转动，动量不方便，引入描述物体绕定点、固定轴的转动，动量不方便，引入角动量角动量18世纪引入世纪引入动量、能量、角动量，三大守恒定律动量、能量、角动量，三大守恒定律方向：垂直方向：垂直r，p组成的平面组成的平面SI/skgm

2、2 12TMLL量纲：量纲：具有角动量的运动具有角动量的运动角动量为零的运动角动量为零的运动针对指定的点针对指定的点例：自由下落质点的角动量例：自由下落质点的角动量vmroRrA任意时刻任意时刻 t， 有有 221tgrtgmvmp（1） 对对 A 点的角动量点的角动量0321ggmtprLARrr（2） 对对 O 点的角动量点的角动量prRprLO)(t gmRpRgRRmgtLOm垂直纸面向外垂直纸面向外垂直纸面向里垂直纸面向里5.1.2. 质点的角动量定理质点的角动量定理 角动量的时间变化率角动量的时间变化率dLddrdprpprdtdtdtdt () vmvrF 力矩力矩定义定义：对：

3、对O点力矩点力矩MrF质点的质点的角动量定理角动量定理dLMdtrF 大小大小Fr 质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率sinMFr 22TMLM量纲：量纲：NmSI 180 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFddddLtMPtFttttdd21210000LMPF21tttFPFd21tttMLMd力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩5.1.3 角动量守恒及应用角动量守恒及应用0M外外则则0dLdt或或L 常常矢矢量量若对

4、某一固定点，质点所受合外力矩为零，若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对该固则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。定点的角动量矢量保持不变。若若dLMdt质点的角动量定理质点的角动量定理oLrmvrmv质点做匀速直线运动中，对质点做匀速直线运动中，对O点点角动量是否守恒？角动量是否守恒？例：例：pmvrLOArsinrmv1）角动量守恒定律的条件角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒动量守恒与角动量守恒 是相互是相互独立独立的定律的定律 3） 有心力有心力 力始终过某一点力始终过某一点 central force0Mo行星在速度和有心力所组成行星在速度和有心力所组成的平面内运动

5、的平面内运动0M角动量守恒角动量守恒如行星运动如行星运动动量动量不不守恒守恒角动量角动量守恒守恒F讨论讨论例可直观看出可直观看出变短时，变短时，小球速率变快。小球速率变快。若设法进行测量，可发现若设法进行测量，可发现两边乘两边乘 ，即角动量守恒，即角动量守恒模拟演示航天器先沿半径为R1的初始轨道绕地球运行，为了能使其转移到半径为R2的同步轨道上运行，航天器运动到A点时，需要启动航天器上的小型火箭使其在短时间内沿轨道切线方向加速。试问其速度应加速到原来的多少倍，才能沿椭圆轨道运动到半径为R2的圆轨道的相切点B? 航天器到达B点后，需再次启动小型火箭使其沿切线方向加速，此时，航天器的速度要达到B点

6、速度的多少倍，才能使航天器进入半径为R2地球同步运行轨道？11eGMRv22eGMRv12ABmRmRvv22121122eeABGM mGM mmmRRvv21122()eAGR MR RRv12122()eBGR MR RRv21122ARRRvv21212BRRRvvv1v2例有有开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积证明定律证明书例10无限小无限小角动量守恒说明天体角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构系统的旋转盘状结构思考5.2 质点系

7、的角动量定理质点系的角动量定理mimjm1iFjFjifijfOirjr质点系角动量质点系角动量1()niiiiLLrp第i个质点角动量的时间变化率角动量的时间变化率()iiiijijdLrFfdt()iiiijiiijdLrFrfdtMM外外内内M外外iiirFM内内()iijiijrf0dLMdt外外质点系的角动量定理质点系的角动量定理0M外外时时质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒iiLL常常矢矢量量1.质点系角动量质点系角动量1()niiiiiLLrm vicirrr由由得得icivvv以上两式先后代入前式以上两式先后代入前式()ciiiiLrrm v()ciiiiciiirm vrm

8、vv ciiiiciiiiiirm vrm vrm vcciiiirm vrm v0ccriririm iici iciirm vm rv因为因为* 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量ccmrv0cr0（质心相对质心的位矢为（质心相对质心的位矢为0）L质点系角动量可以表示为质点系角动量可以表示为LLL轨轨道道自自旋旋其中其中cccLrmvrp轨轨道道()ciiiiLLrm v自自旋旋也叫也叫固有角固有角动量动量ccLrpL2.质心参考系的角动量定理质心参考系的角动量定理cccdrdLdLdpprdtdtdtdt()ccccdLdpvmvrdtdtccdLdprdtdt对定点对定点O：M外

9、外()iiirF()ciiirrF()ciiiiirFrFdLMdt外外由由ccdLdprdtdt()ciiiiirFrFiidpFFdt合合外外力力由由质心运动定理质心运动定理cicidprFrdt()ciiidLrFdt即即ccdLMdt质心参考系的质心参考系的角动量定理角动量定理（对（对质心质心的合外力矩等于对的合外力矩等于对质心质心的角动量的时间变化率）的角动量的时间变化率）质心可以是动点，上式对非惯性系也成立！质心可以是动点，上式对非惯性系也成立！前面的前面的角动量定理只对固定点和惯性系惯性系才成立才成立注意：注意：ccdLdprdtdt()ciiiiirFrF讨论讨论:1) 若质点

10、所受外力是若质点所受外力是 有心力有心力, 即即exif沿着或背着沿着或背着 0 exiifr0外M这时质点系的角动量守恒这时质点系的角动量守恒2) 若质点系所受外力是重力若质点系所受外力是重力, 即即gmfiexi 则在质心参考系中则在质心参考系中, 角动量总是守恒的角动量总是守恒的3) 角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，角动量定理、角动量守恒式都是矢量式， 它们对每个分量都成立它们对每个分量都成立ir的方向的方向,例例光滑水平桌面上放着一质量为光滑水平桌面上放着一质量为M的木块的木块, 木块与一原长为木块与一原长为L0, 劲度系数为劲度系数为k的轻弹簧相连的轻弹簧相连, 弹弹簧另一端固定

11、于簧另一端固定于O点点.当木块静当木块静止于止于A处时处时, 弹簧保持原长弹簧保持原长, 设设一质量为一质量为m的子弹以初速的子弹以初速 v0水水平射向平射向M并嵌在木块中并嵌在木块中. 当木块当木块运动到运动到 B (OB OA)时时, 弹簧的弹簧的长度为长度为L. Mm0LLAOB0vBv求木块在求木块在B点的速度点的速度 vB的大小和方向的大小和方向.解解:(1) m和和M相撞时相撞时,系统的动量守恒系统的动量守恒AvMmmv)(0(2) AB, 只有弹力作功只有弹力作功, 机械能守恒机械能守恒2021221221)()()(LLkvMmvMmBA(3) AB, 弹力对弹力对O点的力矩为

12、零点的力矩为零, 对对O点角动量守恒点角动量守恒sin)()(0LvMmLvMmBA2/ 1202022)()(MmLLkvMmmvB1/22 220 000arcsin() ()mLvm vk L LMmLk5.3 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1.平动平动: 在运动过程中刚体上的任在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置意一条直线在各个时刻的位置都相互平行都相互平行ABABB”A”刚体的平动刚体的平动任意质元运动都代表整体运动任意质元运动都代表整体运动2. 定轴转动定轴转动 刚体所有质元都绕一刚体所有质元都绕一固定直线固定直线（转轴转轴）做）做圆周运动圆周运动5.3.1 刚体的平动和

13、定轴转动刚体的平动和定轴转动用用质心质心运动代表运动代表刚体的平动刚体的平动（质心运动定理）（质心运动定理） 若转轴相对于参考系固定不变，称为刚体的若转轴相对于参考系固定不变，称为刚体的定轴转动定轴转动 刚体的运动刚体的运动 平动平动+转动转动 质点或质点系，就是忽略了物体的大小和形状，有时不符合实际考虑系统的形状、大小变化，非常复杂 外力作用下形状和大小保持不变的物体称为外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体刚体 运动过程中，刚体内任何两质元之间的距离都保持不变运动过程中，刚体内任何两质元之间的距离都保持不变 1. 用角量描述转动用角量描述转动1) 角位移角位移 : 在在 t 时间内刚体

14、转动角度时间内刚体转动角度2)角速度角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度角加速度 :220limtddtdtdt z刚体定轴转动刚体定轴转动角速度角速度的方向按右手螺旋法则确定的方向按右手螺旋法则确定5.3.2 刚体定轴转动的角量描述刚体定轴转动的角量描述vra切向分量切向分量 tdvdarrdtdt法向分量法向分量 22nvarrzvOP2. 线量与角量关系线量与角量关系rdSr dddS匀变速直线运动匀变速直线运动ddtddtdSvdttdvadt0vvat2012Sv tat2202vvaS匀变速定轴转动匀变速定轴转动0t2012tt22025.4 定轴转动刚体的角动量定理定轴转

15、动刚体的角动量定理 角动量守恒角动量守恒dLMdt外外质点系的角动量定理质点系的角动量定理z 轴分量轴分量zdLMdtz z :im质元质元iF对对O点的力矩点的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直（垂直z轴）轴）? oiiiiizirFrFrF（垂直（垂直z轴）轴）|iziiMrFsiniiir F izMMziiir F sin?zizLLiirFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr5.4.1 刚体对转轴的力矩和角动量刚体对转轴的力矩和角动量ioiiiLrm vo iirviioiiLm r v siniziLL iLizLsini oiim r v izii

16、iLm r v sinioirr im质元质元到转轴的垂直距离到转轴的垂直距离iivr 2()iim r 刚体到转轴的转动惯量刚体到转轴的转动惯量2zi iiJm r2()zi iiLmr zdLMdtz?irirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrzzLJ 刚体到转轴的刚体到转轴的角动量角动量转动惯量的物理意义转动惯量的物理意义:1. 刚体转动惯性大小的量度刚体转动惯性大小的量度2. 转动惯量与刚体的质量有关转动惯量与刚体的质量有关3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关在质量一定的情况下与质量的分布有关4. J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关5.4.2 转动惯量的计算转动

17、惯量的计算2zi iiJm rzzLJ 对质量连续分布刚体对质量连续分布刚体dmrJ2线分布线分布 dxdm面分布面分布dsdm体分布体分布dvdm是质量的线密度是质量的线密度是质量的面密度是质量的面密度是质量的体密度是质量的体密度pmv例例: 一均匀细棒长一均匀细棒长 l 质量为质量为 m1) 轴轴 z1 过棒的中心且垂直于棒过棒的中心且垂直于棒2) 轴轴 z2 过棒一端且垂直于棒过棒一端且垂直于棒求求: 上述两种情况下的转动惯量上述两种情况下的转动惯量 odxxZ 1dxdm解解: 棒质量的线密度棒质量的线密度 2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zz

18、JJ所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义2l2lxdxdmdx oZ 2l有关转动惯量计算的几个定理有关转动惯量计算的几个定理1）平行轴定理）平行轴定理CzJJmd2设刚体的质量为m，相对于z轴的转动惯量为Jz，相对于通过刚体质心且平行于z轴的转轴的转动惯量为JC，两个转轴间的距离为d2cos2iiiiiirrdrdrddx222222 zi ii iiiiiiiiJmrmrmdd m x222iiCim xmx0CzJJmd2相对于z轴的转动惯量为2） 垂直轴定理垂直轴定理 yxzJJJiyimOix对于对于薄板薄板刚体刚体, 薄板刚体对薄板刚体对

19、 z 轴的转动惯量轴的转动惯量zJ等于对等于对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量xJ与对与对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量yJ之和之和yxz)(222iiiiiiizyxmrmJxyiiiiiiJJymxm22ir例例:均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图如下图:解解:设圆盘半径为设圆盘半径为 R, 2RmdmrJz2dsrR02Rrdrr022RrdrRmr0222221mRRrdsZ则质量面密度则质量面密度总质量为总质量为 m,绕过盘的任一直径呢？绕过盘的任一直径呢？3） 转动惯量叠加转动惯量叠加, 如图如图CBAzJJJJ式中式中: 是是A

20、球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量AJBJ是是B棒对棒对z轴的转动惯量轴的转动惯量cJ是是C球对球对z轴的转动惯量轴的转动惯量4） 回转半径回转半径任意刚体的回转半径任意刚体的回转半径 mJRG式中式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量是刚体关于某一轴的转动惯量, m 是刚体的质量是刚体的质量) (2GRmJ ACzBo2zGR2l2312mlJZmJRZG2例例:73.1312lmmlG 不是质心不是质心CG5.4.3 定轴转动刚体的角动量守恒定轴转动刚体的角动量守恒角动量定理角动量定理1 质点质点由由dtLdM微分式微分式LddtM积分式积分式122121LLLddtMLLtt2 质点系质

21、点系由由dtLdM外微分式微分式LddtM外积分式积分式122121LLLddtMLLtt外3 定轴转动刚体定轴转动刚体zd JdLdMJdtdtdtz(轴)积分积分221121ttMdtJdJJ轴这里这里iiLL定轴转动刚体定轴转动刚体角动量守恒角动量守恒0M轴合外当时21JJ 恒量vOlMm0v?已知：已知： 匀质杆匀质杆M 长长l子弹子弹m 水平速度水平速度0v求：求：?射入不复出射入不复出解：解：对对M m系统系统0M轴外系统角动量守恒系统角动量守恒2013mv lmvlMlvl033vmmMl演示转台花样滑冰猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）陀螺仪陀螺仪若转子稍不对称若

22、转子稍不对称, ,就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏损坏, ,所以设计转子精度要高所以设计转子精度要高. .应用应用: : 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等驾驶等. .它们的转子速度达万转每分它们的转子速度达万转每分; ;5.5定轴转动刚体的转动定律定轴转动刚体的转动定律 转动中的功与能转动中的功与能对对定轴转动定轴转动刚体只考虑刚体只考虑JdtdJJdtddtdLM)(外刚体刚体定轴转动定律定轴转动定律JM外对比对比amF外iiLLdtLdM外质点系角动量定理质点系角动量定理解题步骤类

23、似解题步骤类似5.5.1 刚体的转动定律刚体的转动定律刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用Rm1m2已知：已知：滑轮滑轮M（看成匀质圆盘）半径（看成匀质圆盘）半径R物体物体 m1 m2求：求：a =?am1gm2gT解：解：11m gTm a22Tm gm a1212()m gm gmma1212mmagmm对否？对否？T1T2T12TT否则滑轮匀速转动，而物体加速运动否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2111m gTm a222Tm gm a12TR T RJaR转动定律转动定律线量与角量关系212JMR121212mmagmmMM1.lmO已知：已知：2.匀质杆匀质杆m长长l下

24、落到下落到时时求：求：?F?F 解：解：mgC质心运动定理质心运动定理MJ3 cos2glddtddddtdd3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl转动定律转动定律1F2F1sinnFmgma2costmgFma212nal3 sin2g2tla3 cos4g15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199sin14mg21cos10sinFtgFcos2/1mglM 23/1cos2/1mlmgl长长杆杆短短铅铅笔笔 213 1 13215.5.2 转动中的功和能转动中的功和能Fdrcos|cosFrdOdrFvP|drcosMFr21AM d 21dJddt 21Jd 22211122JJ 刚体的刚体的转动动能转动动能212kEJ 定轴转动动能定理定轴转动动能定理222221111()()2222Kiiiii iiiiEm vmrm rJ 力矩作功力矩作功力矩的功率力矩的功率rdFdAdMdA12KKEEdAddddAPMMtt 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小总摩擦力矩总摩擦力矩 是是各微环带摩擦元力矩各微环带摩擦元力矩 的积分的积分环带面积环带面积环带质量环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力环带受摩擦力矩环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功转一周摩擦力矩的总功得得粗粗 糙糙