集合与函数部分知识点

1、函数部分知识点1、映射和函数定义b 叫做 a 的象（1）映射：baf :a 叫做 b 的原象对于集合 a 中每一个元素，在集合 b 中都有唯一的元素和它对应（2）一一映射：baf :对于 a 中的不同元素，在b 中有不同的象，而且b 中的每一个元素都有原象（3）函数是一个特殊的映射baf :（a、b 是非空的数的集合）定义域：原象集合a；值域：象的集合c（cb） ；解析式：)(xfyx是自变量（对于 x 取定义域内每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应）2、解不等式（1）解一元一次不等式（2）解一元二次不等式：利用一元二次函数图象如：)0(02acbxax判别式042acb方程02cbxa

2、x的两根（)21xx画图写出解集：|21xxxxx或（3）解分式不等式：先移项，通分把不等式右边变为0。如：0)(0)()(0)()(xgxgxfxgxf3、求函数解析式方法已知简单函数求复合函数的代入法：已知xxxf1)(，求)14( xf已知复合函数求简单函数的换元法或配凑法：已知2(1)2f xxx，求)(xf求特殊函数解析式的待定系数法：正比例函数：)0(kkxy；反比例函数：)0(kxky一次函数：)0(abaxy；二次函数：)0)()()0()()0(2122axxxxayahkxayacbxaxy顶点（)44,22abacab方程组法；已知,)1(2)(xxfxf求)(xf应用问

3、题建模法：审题，建模，求解，作答a c e b d f g a c e b d f g 1x2xx 4、求函数定义域的方法（1）使函数式有意义的分式的分母不为零；偶次方根的被开方数大于等于零；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它们定义域是使各部分有意义的 x 的值组成的集合；（2）复合函数的定义域已知函数)(xf定义域 d，求函数)(xgf的定义域，只需dxg)(；如：已知)(xf的定义域是2, 1x，求) 12( xfy的定义域；已知函数)(xgf的定义域，求函数)(xf定义域，只需求)(xg的值域。如：已知)12

4、( xfy的定义域是2, 1x，求)(xf的定义域。（3）实际问题的函数定义域。5、函数的单调性（1）定义法：给定区间d 上的函数)(xf，2121,xxdxx且都有若)()(21xfxf，则)(xf在 d 上是增函数；若)()(21xfxf，则)(xf在 d 上是减函数；一般步骤：设2121,xxdxx且；作差：)()(21xfxf变形（因式分解，通分，分子或分母有理化，配方等）；判断符号；作出结论。（2）复合函数的单调性：同增异减6、函数的奇偶性（1） 定义域关于原点对称（2） 对于函数在定义域内任意一个x，都有)()(xfxf（)0)(1)()(,0)()(xfxfxfxfxf，则是奇函

5、数；)()(xfxf（)0)(1)()(, 0)()(xfxfxfxfxf，则是偶函数7、记常用函数的定义、图象、性质正比例函数)0(kkxy；反比例函数)0(kxky；一次函数)0(abaxy；二次函数)0)()()0()()0(2122axxxxaanmxaacbxaxy幂函数xy)(r；指数函数) 10(aaayx且；对数函数）axya10(log且。名称一元二次函数指数函数对数函数解析式)0(2acbxaxy)10(aaayx且）axya10(log且图象定义域),(x),(x),0(x值域当0a时，开口向上),442abacy),0(y),(y单调性当oa时2,(abx时，减函数)2

6、abx时，增函数当1a时，增函数当10a时，减函数关键点顶点)44,2(2abacab都过点（ 0，1）都过点（ 1，0）函 数 值 的变化11xa则1xa101xa则10 xa11xa则0log xa101xa则0log xa当0 x时，图象越靠近y轴，底数 a越大当0 x时，图象越靠近 x轴，底数 a越大指数函数与对数函数互为反函数8、指对数式运算指数式：nab（1, 0aa且） ；对数式：bnalog（1,0aa且，0n）10a01logaaa11log aanmnmaaanmmnaaaloglog)(lognmnmaaanmnmaaaloglog)(lognmnmaamnmanalog

7、logpnmpamanloglognnaa1bnnaablogloglogabbalog1log1logloglogacbcba9、对称性（1）奇函数图象关于原点对称；（2）偶函数图象关于y轴对称；（3）互为反函数的两函数图象关于直线xy对称；（4）若)()(xafxaf，则)(xf的图象关于直线ax对称。10、函数图象的变换（1）平移变换：)(xfy的图象向左平移 1 个单位长度（1xx）得) 1(xfy)(xfy的图象向右平移 2 个单位长度（2xx）得)2(xfy“左加右减”)(xfy的图象向上平移 2 个单位长度（2yy）得2)(xfy（2）对称变换)(xfy的图象关于 x 轴对称（y

8、y）得)(xfy)(xfy的图象关于 y 轴对称（xx）得)( xfy)(xfy的图象关于原点对称（xx，yy）得)( xfy（3）翻折变换|)(|xfy与)(xfy的图象“上不动，下上翻”如|l o g|2xy|)(| xfy与)(xfy的图象“右不动，左对称”如|l o g2xy11、有关不等式恒成立问题（1）)(xfa恒成立max)(xfa（2）)(xfa恒成立min)(xfa（3）02cbxax恒成立恒成立或000402cbxaacba12、有关二次方程的正、负根问题（1）判别式；（2）韦达定理13、有关二次方程的区间根问题（1）判别式；（2）对称轴与区间端点的关系； （3）区间端点函

9、数值的正负。14、二次函数)0()(2acbxaxxf在区间 m,n上的最值问题一般分nabnabmmab2,2,2三种情况讨论解决（即对称轴与区间端点的关系）15、函数与方程（1）函数)(xfy图象与 x 轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，是方程0)(xf的实数解；（2）函数)(xfy图象在ba,内连续，0)()(bfaf，则方程0)(xf在ba,内至少有一个实数解。（3）函数)(xfy图象在ba,内连续且单调，0)()(bfaf，则方程0)(xf在ba,内只有一个实数解。（4）利用二分法求方程的近似解16、函数易混问题（1）定义域与值域函数) 1lg()(2axxxf的定义域为 r，求 a的取值范围。