空间向量知识点总结

1、空间向量与立体几何知识点总结、基本概念1、空间向量：2、相反向量：3、相等向量4、共线向量：5、共面向量6、方向向量：7、法向量8、空间向量基本定理：、空间向量的坐标运算:1.向量的直角坐标运算设 a = (a1,a2,a3) , b = (b1,b2,b3)则a - b = (a1 b1,a2 b2,a3 b3)；r ra b = a1b1 a2b2 a3b3 ；r r(I) a + b = (ai b1,a2 b2,a3 b3)； a = ( ai, a2, a3) ( R)；(4) 2.设 A(X1, y1,Z1) , B(X2, y2, Z2),则UjUiUUuJUAB OB OA=

2、(x2 X1, y2 y1,z2 Z1).3、设 a (,Y,Z), b(X2, y2,Z2)'则aPb a b(b0)；X1X2y1y2Z1Z20.CC4.夹角公式r bra,rr设 a = (a1,a2,a3), b = (b1,b2,b3),则 COSCOS5 异面直线所成角X1X2 My Z1Z2222222XiyZi . X2y2 Z26.平面外一点 P到平面 的距离已知AB为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法向量，A到平面uuu r的距离为：d IAB"?n|Inl空间向量与立体几何练习题、选择题1.如图，棱长为 2的正方体ABCD A1B1C1D1在空间直角坐

3、标UUU系中，若E,F分别是BC, DD1中点，则EF的坐标为()A(1,2, 1) B. ( 1,2, 1)C.( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)A B2.如图，ABCABCD是正方体，BE= DFI-L-L ,贝U BE与4DF所成角的余弦值是()图A.15B.17C A17D.3.在四棱锥ABCD 中,底面ABCD是正方形，E为PD中点,丽PcB PB D r C r CI- 2 1 - 2 r b r b 1-2 3-2 r a r aI- 2 1 - 2 A Cr C r C 12 3-2 r b r bI- 2 1 - 2 r a r aI- 2 1 - 2图5在正方体

4、ABCD ABIGDI中，直线AD与平面ABC1夹角的余弦值为0 ,则点C的坐标为、填空题IUur uur4.若点 A(1,2,3) , B( 3,2,7),且 AC BC三、解答题1在正四棱柱ABCD-ABCD中,AB 与底面 ABCD所成的角为一，4(1) 求证 BDl 面ABlC(2)求二面角B1 AC B的正切值C2 在三棱锥P ABC中，AB AC 3 AP 4, PA 面 ABC , BAC 90 点E在BC上，且BE 2CE,(1)求证：AC BD ;求直线DE与PC夹角的余弦值； 求点A到平面BDE的距离d的值.3在四棱锥 P-ABCE中，底面 ABCt是一直角梯形， BA!=

5、90°, AD/ BC AB=BC=a, At=2a, 且PAI底面 ABCD PD与底面成30°角.(1)若AEL PD E为垂足，求证：BEL PD(2) 求异面直线 AE与CD所成角的余弦值.4、已知棱长为1的正方体ACi, E、F分别是BC、CD的中点(1) 求证：E、F、D B共面；(2) 求点A到平面的BDEF的距离；(3) 求直线AD与平面BDEF所成的角.5、已知正方体 ABCB Ai Bi C D的棱长为2,点E为棱AB的中点，求:(I) DE与平面BCD所成角的大小；()二面角 D- BC- C的大小;一、考点概要：1、空间向量及其运算(1) 空间向量的

6、基本知识： 定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向 量，并且仍用有向线段表示空间向量， 且方向相同、 长度相等的有向线段表示相 同向量或相等的向量。 空间向量基本定理：i定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序 实数组x、y、Z ,使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。ii正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直， 那么这个基 底叫正交基底。iii单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单 位正交基底，通常用 表示。iv空间四点共面：设O A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P， 都存在唯一的有序实数组

7、X、y、z，使。 共线向量 (平行向量 ) ：i定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。i规定：零向量与任意向量共线；i共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数 , 使。 共面向量：i定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。i向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或 在内，则说向量 平行于 平面a，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。iii共面向量定理：如果两个向量 、不共线，则向量 与向量、共面的充要条件是：存在实数对X、y,使Oiv空间的三个向量共面的条件：当

8、、都是非零向量时，共面向量定理 实际上也是 、 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。V共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB的充要条件是：存在有序 实数对x、y,使得，或对于空间任意一定点 Q有。 空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点0,作，（两 个向量的起点一定要相同 ），则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。 两个向量的数量积：i定义：已知空间两个非零向量 、，则 叫做向量、的数量积，记作， 即： 。ii规定：零向量与任一向量的数量积为 0。iii注意：两个向量的数量积也叫向量 、的点积（或内积），它的结

9、果是一个 实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。iv数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影（其中为向量和的 夹角 ） 。即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。V基本性质：Vi运算律：（2）空间向量的线性运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下： 加法： 减法： 数乘向量： 运算律：i加法交换律：i加法结合律：iii数乘分配律： 二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间 向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效 的工具。2、根据空间向量的基本定理， 出现了用基向量解决立体

10、几何问题的向量法， 建立空间直角坐标系， 形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法， 它们的解答通 常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是 数形结合思想与等价转化思想的运用。3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律 和分配律，但不满足结合律， 因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组 合。值得一提的是： 完全平方公式和平方差公式仍然适用， 数量积的运算在许多 方面和多项式的运算如出一辙， 尤其去括号就显得更为突出， 下面两个公式较为 常用，请务必记住并学会应用： 。2、空间向量的坐标表示：（1） 空间直角坐标系： 空间直角坐标系O-Xy

11、Z ,在空间选定一点0和一个单位正交基底，以点0 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做 坐标轴，点0叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐 标平面，分别称为XOy平面，y0z平面，ZOX平面。 右手直角坐标系： 右手握住 Z 轴，当右手的四指从正向 X 轴以90°角度转 向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 Z 轴的正向 ; 构成元素：点（原点）、线（X、y、Z轴）、面（XOy平面，yOz平面，ZOX平 面）; 空间 直角 坐标 系 的 画法： 作空间 直角 坐标 系 O-XyZ 时， 一 般使 xOy=135 （或45°

12、; ）, yOz=90 ， Z轴垂直于y轴，Z轴、y轴的单位长度相同，X轴上的单位长度为y轴（或Z轴）的一半；（2） 空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量 （如图） ， 由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系 中的坐标，记作 。 在空间直角坐标系O-XyZ中，对于空间任一点A,对应一个向量，若, 则有序数组 （x， y， z） 叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为 A（x， y， z） ， 其中X叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，Z叫做点A的竖坐标，写点的 坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 空间任一点的坐标的确定：过 P分别作三个与

13、坐标平面平行的平面（或垂 面），分别交坐标轴于 A B、C三点，丨X I = I OA, y I = I OB,丨Z = OCl， 当与的方向相同时，x>0,当与的方向相反时，v,同理可确y、z（如图）。 规定： 一切空间向量的起点都是坐标系原点， 于是， 空间任意一个向量与 它的终点坐标一一对应。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的 坐标减去起点的坐标。设 ， ，则：（3）空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ; 空间线段的中点M（x, y, Z）的坐标：； 球面方程：二、复习点睛：4、过定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具有相同

14、的长度单位。这三条轴分别叫做Z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）;统称坐标 轴。通常把 X 轴和 y 轴配置在水平面上，而 Z 轴则是铅垂线 ； 它们的正方向要符 合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系， 点O叫做坐 标原点。5、空间直角坐标系中的特殊点(1) 点(原点)的坐标： (0,0,0);(2) 线( 坐标轴 ) 上的点的坐标： x 轴上的坐标为 (x,0,0) ， y 轴上的坐标为 (0,y,0) ， z 轴上的坐标为 (0,0,z);(3)面(Xoy平面、yz平面、ZoX平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0) 、平面上的坐标为 (0,y,z) 、平面上的坐标为 (x,0,z)6要使向量 与Z轴垂直，只要Z=O即可。事实上，要使向量 与哪一个坐 标轴垂直，只要向量 的相应坐标为