初中数学一元二次方程的应用题型分类——图形相关问题1(附答案)

1、初中数学一元二次方程的应用题型分类一一图形相关问题1 (附答案)1.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为7644米2,则道路的宽应为多少米？设道路的宽为X米，则可列方程为(). 80IOQA . 100 >80- IOOx - 80x=7644B. (100 - X) (80 - X) +x2=7644C . (100 - x) (80- X) =7644D. 100x+80x=3562现有一块长方形绿地，它的短边长为 20 m,若将短边增大到与长边相等 (长边不变), 使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿

2、地面积比原来增加 300 m2,设扩大后的正方形绿地边长为 Xm ,下面所列方程正确的是 ()A . x(x-20)=300B . x(x+20)=300C. 60(x+20)=300 D . 60(x-20)=3003.如图，在长70m ,宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分) ，要1使观赏路面积占总面积的丄，则路宽Xm应满足的方程是().7A. (40x)(70x)400B . (402x)(703x)400C . (40x)(70x)2400D . (402x)(703x)24004 .如图，有一张矩形纸片，长10cm,宽6cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折

3、叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm,根据题意可列方程为()A . 10 >6-4 >6x=32B. ( 10-2x) (6-2x) =32C. (10- X) (6- X) =32D. 10 >6- 4x2=325 三角形两边长分别是 8和6 ,第三边长是一元二次方程 X2 16x 60 0的一个实数根，则该三角形的面积是 ()A. 24B. 48C. 48或8 5D. 24或8 56 .我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，

4、已知A 90 , BD 4 , CF 6 ,则正方形ADOF的A .2B. 2C. 3D. 47 .某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通1道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的1 ,设人行通道的宽度为 X千米，则2下列方程正确的是（）A . (2-3x)(1-2x)=11B .(2-3x)(1-2x)=121C .(2-3x)(1-2x)=141D . - (2-3x)(1-2x)=248.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0的一个实数根，则此

5、三角形的周长是（）A. 24B. 24 或 16C. 16D. 229 .如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池.测量出除水池外圆内可种植的面积恰好72m2 ,从水池边到圆周，每边相距 3m.设正方形的边长是 Xm,则列出的 方程是（）2A .(X3)2X272B.X237222X2 一亠X2 一亠C.3X 72D.3X 722210 .一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2cm,那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m.11如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成如果图中大、小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的

6、和等于.12 用一块长80cm ,宽60cm的薄钢片，在四个角上各截去一个边长为XCm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为了求出X ,根据题意列方程并整理后得.13 如图，在一块长为 22m、宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形一边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2.若设道路宽为Xm ,则根据题意可列方程为 .14 一个等腰三角形的两条边长分别是方程X2- 7x+10= 0的两根，则该等腰三角形的周长是.15 准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂 直的小路，（如图所示）四条小

7、路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为 米.16 国庆节期间，某公园以 盛世华菊 傲芳染秋”为主题举办菊花文化节，在一块长12m , 宽8m的矩形草地上，设计了一个菊花花坛如图所示（阴影区域部分），所占面积为矩形草地面积的一半， 其中菊花花坛占矩形各边的宽度相等，若设这一宽度为Xm,则可列方程为17 .一个直角三角形的一条直角边长为9cm ,斜边比另一条直角边长 Icm ,这个直角三角形的面积为2Cm18 .如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了 减少了 3m ,剩余一块面积为 20m2的矩形空地，则原正方

8、形空地的边长为2m ,另一边m.19 .如图，是一个长为 30m ,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道， 剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2 ,那么小道进出口的宽20 .如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪 ABCD .求该矩形草坪 BC边的长. l÷七A>C21.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤 (岸堤长25m)为一边，用总长为80m的栅栏在水库中围成了如图所示矩形区域，矩形区域的面积能达到 600m2吗？如果能,请给出设计方案；如果不能，请说明理由.22 小明在一

9、幅长为 80cm ,宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2,求金色纸边的宽度.23 一块长为60m ,宽为50m的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形(其中三个矩形的一边长均为am )区域将铺设塑胶地面作为运动场地。(1) 设通道的宽度为 Xm ,贝U a ；(用含X的代数式表示)；(2) 若塑胶运动场地总的占地面积为2430m2 ,请问通道的宽度为多少？X24 .如图，印刷一张矩形的包装纸，印刷部分的长为 8cm,宽为4cm ,上下空白宽各cm,

10、2左右空白宽各xcm,四周空白处的面积为 Scm2.(1) 求S与X的关系式；(2) 当四周空白处的面积为18cm2时，求X的值.SCfflE卩刷部井r-i Xcru讦225 .如图，计划围一个面积为 50 m用含有X的代数式表示S ,并直接写出X的取值范围； 当矩形场地的面积为 160平方米时，求 AB的长27 .已知 ABC的两边AB , AC是关于X的一元二次方程 x2- (2k+3) x+k2+3k+2=0的 两个实数根，第三边 BC的长为5.(1) k为何值时， ABC是以BC为斜边的直角三角形；(2) k为何值时， ABC是等腰三角形，并求出此时 ABC的周长.28 如图所示，为了

11、改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙的最大可使用长度12m)的空地上建造一个矩形绿化带除靠墙一边( AD)外，用长为32m的栅栏围 成矩形ABCD 设绿化带宽AB为xm,面积为Sm2,(1)求S与X的函数关系式，并直接写出X的取值范围；(2) 绿化带的面积能达到 128m2吗？若能，请求出 AB的长度；若不能，请说明理由; 当X为何值时，满足条件的绿化带面积最大.的长方形场地，一边靠旧墙 (墙长为10 m),另外三 边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为 5 : 2讨论方案时，小英说： 我们不可能围成满 足要求的长方形场地.”小军说：面积和长宽比例是确定的，肯定可以围得出来.”请你判断谁的

12、说法正确，为什么？26 如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD ,设AB长为X米矩形ABCD的面积为S平方米29 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌 50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为参考答案1. C【解析】试题分析：设道路的宽应为X米，由题意有(100-X) ( 80-x) =7644，故选C.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.2. A【解析】【分析】设扩大后的正方形绿地边长为Xm ,根据扩大后的绿地面积比原来增加300m2”建立方程即可.【详解】设扩

13、大后的正方形绿地边长为Xm ,根据题意得X (x-20) =300 ,故选A.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系.3. D【解析】【分析】根据题意和图形可以列出相应的方程，从而可以解答本题.【详解】由题意可得，1(40-2x)(70-3x)=40× 70 ×)-整理，得(40 2x)(70 3x)2400,故选D.此题考查一元二次方程，解题关键在于实际问题抽象列出一元二次方程4. B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是XCm ,则纸盒底面的长为（10-2x ) Cm ,宽为(6-2x ) Cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的

14、底面（图中阴影部分）面积是32cm2 ,即可得出关于X的元二次方程，此题得解.XCm ,则纸盒底面的长为（10-2x ) Cm ,宽为(6-2x ) Cm,根据题意得：(10-2x ) (6-2x )= 32.详解：设剪去的小正方形边长是故选B.点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.5. D【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到所以儿6 , X2 10 ,再分类讨论：当第三边长为 6时，如图，在 ABC中，AB AC 6 , BC 8 ,作AD BC ,则BD CD 4 ,利用勾股定理计算出AD 2 5 ,接着计算三角形面积公式；当第三

15、边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积.【详解】解：x216x 600(X 6)(x 10)0 ,X 60 或 X 100,所以 x16 , X210 ,I 当第三边长为6时，如图,在 ABC 中，AB AC 6, BC 8 ,作 AD BC ,则 BD CD 4,AD AB BD 642 .5，1 _ _所以该三角形的面积-8 2 5 8. 5 ；OOOII 当第三边长为10时，由于6810 ,此三角形为直角三角形，1所以该三角形的面积-8 6 24，2 ，综上所述：该三角形的面积为24或8、5 故选：D 【点睛】本题考查的是利用因

16、式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.6 B【解析】【分析】设正方形ADOF的边长为X ,在直角三角形 ACB中，利用勾股定理可建立关于 X的方程, 解方程即可.【详解】设正方形ADOF的边长为X,由题意得：BE BD 4 , CE CF 6,BC BE CE BD CF 10,在 Rt ABC 中，AC2 AB2 BC2 ,卄222即 6 X X 410 ,整理得，X2 10x240,解得：x=2或x=-12（舍去）,X 2,即正方形ADOF的边长是2,故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾

17、股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.7. A【解析】【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地面积的-,即矩形21绿地的面积=1矩形空地面积，可列方程.2【详解】设人行通道的宽度为 X千米,则矩形绿地的长为:2×1(2-3x)(1-2x)=1(2-3x),宽为：(1-2x),由题意可列方程:21×2 × ,2即：(2-3x)(1-2x)=1 ,故选：A.【点睛】本题考查了长方形面积公式的应用，代数式表示的应用，一元二次方程与图形面积的应用,注意掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键.8. A【解析】【分析

18、】【详解】解：x2-12x+20=0, ( x-10) (x-2) =0,. x-10=0 或 x-2=0 , X1=10 , x2=2 ,而三角形两边的长分别是8和6, 2+6=8 ,不符合三角形三边关系，x=2舍去, x=10 ,即三角形第三边的长为10,三角形的周长=10+6+8=24 .故选A .【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系.9. D【解析】【分析】根据圆的面积-正方形水池的面积=72m2列方程即可.【详解】解：根据题意可得2X 3x2272,故答案为X 322x272.故选D.【点睛】本题主要考查了一兀二次方程的应用，关键是根据题意中的等量关系列出方程1

19、0. 12.【解析】【详解】设原菜地的长xm,则原菜地的宽是（x-2） m,根据面积是120m2,可得：X （x-2） =120,解得x=12或x=-10 （不合题意舍去），所以x=12 .11. 10【解析】【详解】因为小正方形的面积为4,所以小正方形的边长为2因为大正方形的面积为52,所以大正方形的边长为.= 设：直角三角形的短边为 X,有勾股定理得:V1 +(÷2 )i =(52)3X* + ÷4r + 4 = 52(+6)(.r 4) = 0X=-6 (舍去)x=4所以：直角边的和为：4+4+2=1012. X270x 8250【解析】【分析】本题设小正方形边长为

20、XCm ,则长方体盒子底面的长宽均可用含X的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即 可表示出矩形的底面面积，方程可列出.【详解】解：由题意得：(80-2x) (60-2x) =1500整理得：x2-70x+825=0故答案为 x2-70x+825=0 .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.13. (22-X) (17-X) =300.【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程.【详解】设

21、道路的宽应为 X米，由题意有(22- x) (17-X) =300,故答案为(22- X) (17-x) =300 .14. 12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案【详解】解：x2-7x+1O= 0(X- 2) (X- 5) = 0,解得：Xi = 2, X2= 5,故等腰三角形的腰长只能为 5, 5,底边长为2,则其周长为：5+5+2 = 12.故答案为：12.【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质15. 1.25【解析】【分析】设小路的宽度为X ,根据图形所示，用 X表示出小路的面积，由小路

22、面积为80平方米，求出未知数X.【详解】设小路的宽度为X ,由题意和图示可知，小路的面积为2一5X 30 4x X 24 4x 8x 54x=8O ,解一兀二次方程，由 X 0,可得 X 1.25.4【点睛】本题综合考查一元二次方程的列法和求解，这类实际应用的题目，关键是要结合题意和图示，列对方程.16. (8 x)(12 x) 48【解析】【分析】根据题意，两个三角形的面积和也是为矩形草地面积的一半，根据三角形面积公式可求解.【详解】根据题意，菊花花坛所占面积为矩形草地面积的一半， 两个三角形的面积和也是为矩形草地面积的一半,依题意，得：2 18 x 12 x2-12 82即 8 x 12

23、x 48故答案为：8 x 12 x 48【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把求不规则图形的面积转化为求三角形的面积是解题的关键17. 180【解析】【分析】设另一条直角边长为XCm ,斜边长为X 1 Cm,根据勾股定理列方程求出X的值，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】设另一条直角边长为 XCm ,斜边长为X 1 Cm由勾股定理得2 2X292 X 1解得X 401 2这个直角三角形的面积9 40 180cm22故答案为：180.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，掌握解一元二次方程的方法、勾股定理、三角形面积公式是 解题的关键.18. 7【解析】本题可设原正方形的边长为 Xm ,则剩

24、余的空地长为（X - 2） m,宽为（X - 3） m.根据长方形的面积公式方程可列出（X - 3） （X - 2） =20,解得：X1=7, X2= - 2 （不合题意，舍去） 即：原正方形的边长 7m.故答案为7m.点睛：本题考查了一元二次方程的应用.学生应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键.19. 1.【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为X米，依题意得（30-2x） （20-x） =532 ,整理，得 x2-35x+34=0 .解得，X=1 , X2=34 . 34 > 30 （不合题意，舍去），. x=1 .答：小道进出口的宽度应为1米.考点：一元

25、二次方程的应用.20. 12 米【解析】【详解】解：设BC边的长为X米，根据题意得32 XXg120解得：x1 12, X2 20 20 > 16, X220不合题意，舍去答：该矩形草坪 BC边的长为12米.21. 平行于岸堤的一段长 20m ,垂直于岸堤的一段长为 30m ,见解析【解析】【分析】设所围矩形平行于岸堤的一段长为Xm,则垂直于岸堤的一段长为 80 Xm,根据矩形面积2的计算方法列出方程求解即可.【详解】解：设平行于岸堤的一段长为Xm ,则垂直于岸堤的一段长为 80 X m ,2所以Xg笃一X 600 ,解得 Xi 20, X26025 (舍)8020CC302故平行于岸堤

26、的一段长 20m ,垂直于岸堤的一段长为 30m时符合题目要求【点睛】 此题考查一元二次方程的实际运用，利用矩形的面积建立方程是解决问题的关键.22 金色纸边的宽度为 5cm.【解析】【分析】设金色纸边的宽度为 XCm ,则挂图的长为(80+2x) cm,宽就为(50+2x) Cm ,根据题目条 件列出方程，求出其解就可以.【详解】解：设金色纸边的宽度为 xcm,则挂图的长为(80+2x) Cm,宽就为(50+2x) cm,根据题意得：(80+2x) ( 50+2x) =5400,解得：X=-70 (不符合题意，舍去)，X2=5 答：金色纸边的宽度为 5cm 考点：一元二次方程的应用.60 3

27、x,23. (1), (2) 2 米.2【解析】【分析】(1) 根据通道宽度为X米，表示出a即可;(2) 根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于X的方程，求出方程的解即可得到结果.【详解】解：(1)设通道的宽度为 X米，则a60 3x故答案为:60 3x2(2)根据题意得,(50 2x)(603x) X?03x2430 ,22解得Xi 2 , X2 38 (不合题意，舍去)答：中间通道的宽度为 2米.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，正确表示各部分面积是解本题的关键.24. (1) S= 2x2+16x ; (2)所以当四周空白处的面积为 18cm2时，X的值为1【

28、解析】【分析】(1) 矩形的总面积=印刷面积 32+空白部分面积S,据此列出函数关系式即可.(2) 令S等于18即可求得到关于X的一元二次方程，进而就能求出这张广告的纸张的长和 宽.【详解】X解：(1)因为印刷部分的面积是 4×8= 32cm2,上下空白宽各 m,左右空白宽各XCm ,2则 S+32= (8+2x)(x+4)； S= 2x2+16x;(2)根据题意有2x2+16x = 18.整理得 x2+8x - 9= 0,解得X= 1或X =- 9 (舍去)，所以当四周空白处的面积为18cm2时，X的值为1.【点睛】此题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用-几何问题，解题关键是

29、要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程或函数解 析式再求解.25. 他们的说法都不正确，理由见解析.【解析】【分析】根据矩形的面积公式求出矩形的长和宽，最后进行判断即可得出结论.【详解】解：设长方形场地的长为5x m,宽为2x m.依题意，得 5x 2x = 50.长为5.5 m ,宽为2、5 m. 4 V 5 V 9, 2 VV 3.由上可知 2 .5 V 6,且 5、5 > 10.若长与墙平行，墙长只有 10 m,故不能围成满足条件的长方形场地；若宽与墙平行，则能围成满足条件的长方形场地他们的说法都不正确.【点睛】考查了列一元二次方程的

30、应用和解简单的一元二次方程，是一道基础题目，解本题的关键是根据矩形的面积公式建立方程求解.26. (1) 9x 18; (2)当矩形场地的面积为 160平方米时，AB的长为10米【解析】【分析】(1) 先表示出BC,即可根据面积公式列式求出函数解析式；(2) 将S=160代入计算即可求出 X的值【详解】(1) I AB=X , BC=36-2x , S x(36 2x)2x2 36x ,2x 36'36 2x 18, 9 V 18;(2) 当 S=160 时，2x2 36x 160 ,解得x 10, X2 8 (不合题意，舍去)，答：当矩形场地的面积为 160平方米时，AB的长为10米

31、.【点睛】 此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键27. ( 1)k=2 ；(2)k=3 或 4, ABC 的周长为 14 或 16.【解析】【分析】(1) 利用 ABC是以BC为斜边的直角三角形，则可根据勾股定理列出方程，转化为AB与AC的方程，再利用根与系数的关系转化为关于k的方程，解方程即可；(2) ABC是等腰三角形，则可分三种情况讨论：AB=AC ；AB=BC ；AC=BC ；因为属于同一情况，则只需讨论两种情况，根据边之间的关系及根与系数的关系，求出k的值即可.【详解】(1) ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5 , AB2+AC2=25, AB、AC的长是关于X的一元二次方程X2- (2k+3) x+k2+3k+2=0的两个实数根， AB+AC=2k+3 , AB?AC=k 2+3k+2 , AB2+AC2=( AB+AC )2-2AB?AC ,即(2k+3 )2-2( k2+3k+2 ) =25 ,解得k=2或-5 (舍去负数)；所以k=2.(2) ABC是等腰三角形； AB=AC 时， =b2-4ac=0,(2k+3 ) 2-4 (k2