中国石油大学华东期末(2—2)高数题

1、A卷20062007学年第二学期本科高等数学(下)试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2007年7月 2 日 页 号一二三四五总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共5页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。一、 选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1设三向量满足关系式，则（ ）. （A）必有; （B）必有;（C）当时，必有; （D）必有.2. 已知，且，则（ ）.（A）2 ; （

2、B）; （C）; （D）1 .3. 设曲面，是在第一卦限中的部分，则有（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.4. 曲面在点处的切平面方程是：（ ）.（A）; （B）;（C）; （D）.5. 判别级数的敛散性，正确结果是：（ ）.（A）条件收敛; （B）发散；（C）绝对收敛; （D）可能收敛，也可能发散.6. 平面的位置是（ ）.（A）平行于XOY平面; （B）平行于Z轴，但不通过Z轴;（C）垂直于Z轴 ; （D）通过Z轴 .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）.1. 已知，则.2. 函数在点处沿向量的方向导数是_，函数在点处的方向导数取最大值的方向是_，该点处方向导数的最大

3、值是_.3. 已知曲线，则.4. 设函数展开傅立叶级数为：，则.三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分.解题过程是：3. 已知函数的全微分，并且. 求在椭圆域上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设是由，所围成的有界闭区域，计算三重积分.5. 设为从点沿曲线到点一段曲线，计算.解题过程是：6. 设是上半球面的下侧，计算曲面积分.7. 将函数 展开成关于的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）.证明不等式: ，其中是正方形区域：.卷20072008学年第二学期本科高等数学(下)试卷（理工类） 专业班级 姓 名 学

4、 号 开课系室 基 础 数学 系 考试日期 2008年6月23日 页 码一二三四五六总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为 .2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 . 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积

5、分化为对弧长的曲线积分有：_.6. 将函数展开成余弦级数为_ .二、单项选择题：712小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) .9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) . 10. 曲面积分在数值上等于( ) (A) 流速场穿过曲面指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片的质量；

6、(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功. 11( )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数的敛散性为 ( )(A) 当时，绝对收敛； （B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D）当时，发散. 三、解答题：1320小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程. 15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.17.（本题满分8分

7、）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.18.（本题满分8分）计算，其中是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.19.（本题满分8分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：. 答 案一、填空题：16小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.1. 平面与平面的夹角为.2. 函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为. 3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当时， .4. 区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5. 设为由曲线上相应于从到

8、的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.6. 将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：712小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（ D ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .8. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（ A ）.(A) ； (B) ；(C) ； (D) . 9. 已知空间三角形三顶点，则的面积为（ A）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 10. 曲面积分在数值上等于( C ).(

9、A) 流速场穿过曲面指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片的质量；(C) 向量场穿过曲面指定侧的通量；(D) 向量场沿边界所做的功. 11.( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定. 12.级数的敛散性为 ( A )(A) 当时，绝对收敛； （B）当时，条件收敛；(C) 当时，绝对收敛； （D）当时，发散. 三、解答题：1320小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13. （本题满分6分）设确定，求全微分.解：两边同取微分 整理得 .14. （本题满分8分）求曲线 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.

10、解：两边同时关于求导，解得，+-所以切向量为切线方程为： ；法平面方程为：，即.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为，设，则，； 即，.16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.解：17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.解：18.（本题满分8分）计算，是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.解：19.（本题满分8分）在第卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为，则切向量为，切平面方程为，即，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 ，令解方程组得，故

11、切点坐标为.20. (本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西不等式：.证： 卷 20082009学年第二学期高等数学期末考试试卷 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2009年6月22日 页 码一二三 四五总分得 分阅卷人说明：1本试卷正文共5页。 2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。 一选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量满足关系式，则（ ）. （A）必有; （B）必有;（C

12、）当时，必有; （D）必有为常数).2. 直线与平面的关系是（ ）.（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.3. 二元函数在点（0，0）处（ ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 4. 已知为某二元函数的全微分，则（ ）.（A）; （B）; （C）; （D）.5. 设是连续函数，平面区域，则（ ）. （A）; （B）;（C）; （D）.6. 设为常数，则级数（ ）.（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与的值有关.二填空题（本题共6小题，每小题

13、4分，满分24分）.1. 设函数，向量，点，则_.2. 若函数在点处取得极值，则常数_.3. 为圆的一周，则_.4. 设，级数的收敛半径为 _.5. 设，则_.6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_.三解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设是可微函数，求.2. （本小题6分）计算二重积分，其中.解题过程是：3. （本小题6分） 设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是：4. （本小题6分） 计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.5. （本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.解题过程是

14、：6. （本小题7分） 求幂级数的收敛域及和函数.解题过程是：7. （本小题7分）计算，为立体的边界。解题过程是：四证明题（8分）.设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记，（1）证明曲线积分与路径无关;（2）当时，求的值.一选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量满足关系式，则（ D ）. （A）必有; （B）必有;（C）当时，必有; （D）必有为常数).2. 直线与平面的关系是（ A ）.（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；（C）垂直

15、相交; （D）相交但不垂直.3. 二元函数在点（0，0）处（A） (A) 不连续，偏导数存在 (B) )连续，偏导数不存在 (C) 连续，偏导数存在 (D) )不连续，偏导数不存在 4. 已知为某二元函数的全微分，则（ D ）.（A）; （B）; （C）; （D）.5. 设是连续函数，平面区域，则（ C ）. （A）、; （B）;（C）; （D）.6. 设为常数，则级数（ B ）.（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与的值有关.二填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数，向量，点，则_.2. 若函数在点处取得极值，则常数_.3. 为圆一周，则_0

16、_.4. 设，级数的收敛半径为 _.5. 设，则_.6. 设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于_.三解答下列各题（本题共7小题，1-5每小题6分，6-7每小题7分，满分44分）.1.设是可微函数，求.解题过程是：令，则， .2分， .2分于是. .2分2. 计算二重积分，其中.解题过程是：关于轴对称，被积函数关于是奇函数，故； .2分于是 .4分3. 设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是：令，则， . .2分切平面为. .1分 .2分于是. .1分4. 计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.解题过程是：.3分 . .3分5. 求，其中为曲面，方向取下侧.解题过程是：取为，法线方向指向轴正向 .1分由Guass公式 .2分 .1分 . .