Allen-Gale模型

1、allen & gale 关于信贷扩张与泡沫关系的模型allen & gale(2000)认为，当投资者主要不是用自己的资本，而是用银行贷款来投资时，如果其投资组合的价值高于银行贷款价值，他将获得扣除贷款本息后的剩余部分； 如果其投资组合的价值不足以偿还银行贷款，他就会选择破产以避免更大的损失。 这种收益与风险的不对称会引起投资者的风险转移，产生过度投资现象，最终导致风险资产价格高于其价值即泡沫。其理论模型的假设如下 : 1、存在两个时期，1,2;t两种资产， 即供给可变的安全资产和供给固定的风险资产（如房地产和股票） 。2、安全资产的收益率为r ，决定于生产函数( ),( )

2、f x rfx3、在时期 1 只有一个单位的风险资产，收益率为r是一个随机变量，他有一个分布在max0,r上的正的连续密度函数()h r，均值为r；风险资产的成本为( )c x。4、金融中介拥有0b单位的消费品可供贷出。5、简单的债务合约。借贷双方不能根据贷款的规模和资产的回报调整贷款条件。在均衡条件下， 贷款的利率等于安全资产的收益率rxsx 和分别表示投资者对安全和风险资产的持有，代表性投资者的最优化问题是 选择贷款的数量和他在两类资产之间的配置以最大化他在时期2 的预期利润。p表示风险资产的价格，安全资产的价格为1。则投资者在时期2 的利润为：()srsrrrrxrxr xpxrxrpx

3、*rrp为投资者违约时的风险资产回报的临界值，因借款利率与安全资产的回报率相同，违约回报*r与安全资产的持有无关，所以投资者决策问题可表示为：max*0max( )()rrrrrrxrxrpxh r drc x（1）风险资产市场出清的条件：1rx（2）借贷市场出清的条件：srxpxb（3）资本市场出清的条件：()srfx（4）这个模型的均衡由变量( ,)srr p xx描述。对（1）式求rx 的导数，max*() ( )(1)rrrrp h r drc（5）()srxbpxbprfbp（6）此时两个变量( ,)r p决定了（ 5）和（ 6）的均衡。若投资者用自己的资金进行投资时的风险资产的价格

4、，即基础价格p。假设投资者将自有资金投资在安全资产和风险资产上，则资产组合 (,)srxx以解下列问题：max,0() 0max()()srrsrrxxrxrx h r drc x（7）条件是srxpxb对（7）式求rx 的导数：maxmax00()( )()rrrrp h r drrh r drc x（8）max0()(1)rrh r drrpc(1)rrpc1(1)pprcr（9）可得：max0(1)()(1)rrprcrh r drc（9 ）由（5）式得：maxmax*maxmax*maxmax*max*()( )(1)( )()(1)()(1)()(1)11pr()()rrrrrrrr

5、rrrrrrrh r drrph r drcrph r drrh r drcrh r drcrh r drcprrrrh r dr（10）比较（9）式和（ 10）式， （10）式中的分子、分母都小于（9）中的相应项。这两个价格可排序。命题 1：在中介化的均衡中 ( ,)srr p xx中存在一个泡沫。更确切地说，均衡的资产价格 p 至少同基本价格p一样大，并且当破产的概率为正时， 它严格大于*,pr0prr。证明如下：（10）式变为max*max*00*0*( )(1)pr()()(1)()pr()()pr()rrrrrrh r drcrprrrh r drcrh r drrrrprh r drrr（将(9 ) 式代入）（11）*0( )pr()rrh r drrrr（12）*prr代入（ 11）式：*.pr()pr().pr()1p