椭圆,双曲线,抛物线性质资料

1、实用文档椭圆标准方程及其性质知识点大全（一）椭圆的定义及椭圆的标准方程 ：椭圆第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（PR |十PF2 | = 2a>|F1F2）, 这个动点P的轨迹叫椭圆这两个定点叫椭圆的 焦点，两焦点的距离叫作椭圆的 焦距.注意：若（PFj | + PF2 | =卩汀2），则动点P的轨迹为线段F1F2 ；若（PFi |+ PF2 |c|FiF2），则动点P的轨迹无图形（二）椭圆的简单几何性：标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形A丿J标准方程2 2xy,r=1 （a >b aO

2、 ）ab2 2yx,r1 a a b a 0 ）ab第一定义到两定点Fi、F2的距离之和等于常数 2a，即| MFi | + IMF2 |=2a （ 2a纠F1F21）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MF 一e （Oecl）d范围-a兰x兰a且一b兰yEb一bxWb且一a兰ya顶点Ai（-a,0 卜止2（a,0）瓦（0,-b 卜 E2（0,b）Ai（0,a）、九 2（0,a）不（-b,0 卜 E2（b,0 ）轴长长轴的长=2a短轴的长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八'、八、Fi（-c,0 ）、F2（c,0）Fi（0,-c）、F2（0,c）焦

3、距RF2|=2c （c=a-b2）离心率e仝护（0<e<1）准线方程2斗aX - 士c2斗a y ± c焦半径M （Xo,y。）左焦半径：右焦半径：1MH =a + ex）MF2 =a exo下焦半径：上焦半径：MFMFJ =a+ey°2 =a-eyo焦点三角形面积2 6Smf1f2 = b tan_2 （e=NF1MF2）通径2b2过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：|HM - 2ba（焦点）弦长公式A（x1,y1）, B（x2,y2）,卜耳=J1 + k2 为x2 =1 +疋、/（人 +x2）2 4皿2【说明】：方程中的两个参数 a与b,确定椭圆的形状和大小，是椭

4、圆的定型条件，焦点F, Fj,F2的位置（焦点跟着分母大的走），是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a, b，c都大于零，r r 2 2 2其中a最大且a =b +c （即a,b,c为直角三角形的三边，a为斜边）1方程Ax2 By2二C表示椭圆的充要条件是：ABC丰0,且A , B , C同号，A丰B。当A > B时，焦点在y轴上，当A v B时，焦点在x轴上。（根据 焦点跟着系数小的走）（三）焦点三角形1.面积公式:S-PF1F22-1 （a b 0），椭圆焦点三角形：设b2意一点，F1,F2为焦点且/ F1PF2 - V,则厶F1PF2为焦点三角形，2b2（重点使用）1

5、COS V椭圆标准方程为2x-2a则由第一定义和余弦定理有PFi PF2 =2 二b tan（重点使用）1 + cos 日2且焦点三角形面积最大值 S冃門2二bc2.焦点三角形中的恒等式若p Xo, y。, / F1PF2 -b2si n=亠-b tan c yO1 cost2九其面积为S.h2引n =则 s. F1PF23.焦点三角形的离心率 e问题由第一定义和正弦定理有e二 尺冃sin F|PF2由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有PFi PF2PF-PF2 一 sin PF1F2 sin PF2F1IPF1I+IPF2I文案大全=a +ex）（-a 兰X。兰a） =a_ey°（

6、_a 兰 y。兰a） 负“+”正“-”右 PF2 二 a exo （a 乞 x。乞 a） 下 PR 二 a ey°（-a 乞 y。乞 a）2可得 cos： _1 - 2e 0（利用张角大小变化易得有sin e：1）（重点使用）2（四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率 因此可得左PF1上PF2焦半径的最大值PFmax=a+c，PFmin焦点在x轴上时:两焦半径乘积PF1PF2所以（1）（2）a-c=a2 （exJ2,（a E x。乞 a）1显然当Xq =0时有最大值（PF ' PF2 ）max = a222显然当x°=

7、77;a时有最小值（PF，PF2）min =b2 2同理，焦点在y轴上时：两焦半径乘积PF PF? =a -（ey0） ,（a兰y。兰a）1显然当2显然当y。=0时有最大值（PF PF2） y°=±a时有最小值（PR（五）通径：（过焦点垂直于长轴的弦）如图：通径长2椭圆标准方程：xaa_2爲=1 (a . b 0)，b2x2max = a（六） 点与椭圆的位置关系：（可用于解决过定点的动直线与椭圆位置关系）2 2（）点P（xo,y°）在椭圆外：二 笃 y°2 1 ；（过该定点的直线与椭圆“相离或相交或相切”） a b22（2）点P（Xo,yo）在椭圆上二

8、2 .= 1；（过该定点的直线与椭圆“相交或相切”）a b2 2（3）点P（Xo,yo）在椭圆内二 磚 绎：1 （过该定点的直线与椭圆“相交”）a b（七）直线与椭圆的位置关系：2 2X y设直线I的方程为：Ax+By+C=0，椭圆 2 =1 （ a> b > 0）,联立组成方程组，a b消去y（或x）利用判别式的符号来确定：（1）相交：=0直线与椭圆相交；）相切：二=0=直线与椭圆相切；（3）相离：.：0二 直线与椭圆相离；备注： 若直线为过定点的动直线则可以用知识点（六）来解决“位置关系”（八）弦长公式：若直线AB: y = kx b与椭圆标准方程x22 y_ b2=1（a b

9、 0）相交于两点 A（x1, yj、B(x2, y2),2 2把AB所在直线方程y=kx+b，代入椭圆方程 笃在=1整理得：Ax2+Bx+C=0。 a2 b2弦长公式： AB = 栋2|为x2 =U1 +k2 J（Xj +x2）2 Txm =11 + k2* （含 x 的方程）|a| AB +古|屮一丫2+右J® "）2 -4丫巧2 =J1 +古寸（含y的方程）（应用于能解出具体坐标） （应用于带有参数的大题 ） （a是一元二次方程中的，此公式用于计算）（九）圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。设 A Xi, yi , B X2, y2

10、是椭圆b2（a . b . 0）上不重合的两点，直线AB的斜率kAB，点M Xo, y°是线段（弦）AB的中点坐标，则"2 2x + y_1 a b22X_上a2 b2（1）由（1）-（ 2）化简可得（2）% -y2_ b2XiX2又由Xi X2 a2yiy2同理焦点在y轴上时有kABXi +X2X =2 所以% % = yi +y2Xi -X22生b2 y。2 2即kAB =-$5 （焦点在X轴）ay。ay。（十一）焦点弦三角形21.过椭圆2则ABF2的周长为（）（十）椭圆、双曲线、圆同型系数设法（此类设法用于过曲线两点求方程）1. 椭圆：mx2 ny2 =i（m 0,

11、n 0且 m = n）2 22. 双曲线：mx ny =i（m n : 0）3. 圆：mx2 ny2 =i（m = n 0）2y-1的左焦点F1作直线l交椭圆于 代B两点，F2是椭圆右焦点,2已知椭圆C:代B两点若2 2A . H=132、4、2 C2 22 岭=1（a b 0）的左、右焦点为 Fi, F2，离心率为a bAFiB的周长为4.3，则椭圆C的方程为（）2 2 £112 8过F2的直线l交椭圆C于2X 2.y 132 2XI 11242 23.已知Fi、F2为椭圆25+y1的两个焦点，过Fi的直线交椭圆于A、B 两点.若|F2A|+ |F2B|=12,贝U AB|=焦点的

12、位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形71Vk标准方程2 2X2 心T(a >020 ) a b2 2y x c召 一一=1( a > 0,b > 0 ) a b第一定义到两定点F、F2的距离之差的绝对值等于常数 2a，即|MF1|MF2 2a ( 0 c2a <| FF? |)第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MF e (e1)d范围xa 或 xa , yRy 兰一a 或 ya , xR顶点AJa,0 )、A2(a,0)紀(0,-a )、A2(0,a)轴长实轴的长=2a虚轴的长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦占八 '、八、Fi

13、 ( -c,0 )、F2 (c,0 )Fi(0,-c)、F2(0,c)焦距2 2 2证=2c (c =a+b )离心率e=E = *准线方程2.ax = ±c2斗a y 士c渐近线方程.b y = ±_x ay =xb焦半径M (Xo,yo)左焦:右焦:|a +exo- exo下焦： 上焦：a + eyo a-eyo焦点三角形面积2 日SFiFb cot J (日=NRMF2)通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：HM2b2a实用文档2常用的一些结论:1焦点跟着系数正的走。2、 若双曲线为等轴双曲线，则其离心率e = .2，且渐进线的夹角为 900b2 x3、 焦点在x轴上时中

14、点弦直线斜率k 2 0a y。2焦点在y轴上时中点弦直线斜率k =笃匹b y。4已知双曲线的方程为2 2-y 1，和它共渐近线的双曲线方程可设为9169165已知双曲线的渐进线为2O3x_4y=0，则可设双曲线方程为 9x -16y- 0）6已知双曲线的渐进线为y|x,则可设双曲线方程为9 2 rx2 20)或- G = 0)9167.若知道双曲线过两点，则设双曲线方程为：mx2 + ny2 =1（m n c0）、2 28点P（xo, yo）与双曲线 笃 笃=1的位置关系a b2 2（1）若 笃-与 1，点P（xo,y。）在双曲线“内”a b2 2（2）若答-电-1，点P（x°,y。

15、）在双曲线“上”a b2 2（3）若 答-与"，点P（x°,y。）在双曲线“外”a b备注：“注意它和圆、椭圆、抛物线的区别”内外相反文案大全实用文档图形誹*m标准方程2y = 2 px(p > 0 )y2 = -2 px(P > 0 )2x = 2 py(P = 0 )x2 = -2 py(P = 0 )定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点(0,0)离心率e = 1对称轴X轴y轴范围x 30xE0八0y兰0焦占八'、八、F加1F 一卫,0I 2丿F陶1F (0,-i准线方程x子x = E2y七焦半径m

16、(xo,yo)MFi垮|mf| = X°+ 卫2|mf| =%+号MF =-yo2通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HHI =2p焦点弦长 公式aB+% + P参数p的几 何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔设AB为过抛物线2y 2 px ( p 0)焦点的弦,A(xi,yi)、B(X2,y2)，直线AB的倾斜角为二，则2PX!X242,y2 二-p ;AB2p ;sin2 ：'关于抛物线焦点弦的几个结论:文案大全以AB为直径的圆与准线相切;焦点F对A、B在准线上射影的张角为1 1 =2 |FA | | FB P实用小结论:一 11焦点非0坐标为一次项系数的 一412准线方程的值为焦点非0坐标的相反数（即抛物线一次项系数的相反数）413焦半径长度：一次项系数的绝对值+对应横（纵）坐标的绝对值。422yo4抛物线方