2003级北邮硕士生“概率论与随机过程”试题

1、2003 级硕士生“概率论与随机过程”试题任课教师：唐碧华（请将答案写在答题纸上，否则一律无效）一、概念题：（每小题 5 分，共 15 分）1简述可测函数的基本概念，并说明它与随机变量的区别与联系。2用数学语言描述马尔可夫过程。3用数学语言描述lebesque-stieltjes积分。二、填空题（每小题3 分，共 9 分）1在条件下， p(a/b) = p(a)；在条件下， p(ab) = p(a) + p(b)。2设服从分布：, 2, 1 ,0,1, 10 ,kpqppqkpk，则的特征函数为。3在条件下，两个随机过程x(t) ，tt ，y(t) ，tt 相互正交；在条件下，两个随机过程互不

2、相关。三、 （10 分）设随机变量),(yx的联合分布律为：y x 0 1 2 3 1 1/4 0 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0 （1）求yx,的边缘分布律；（2）判断 x 与y 是否相互独立；（3）求2x时y 的条件分布律；（4）求2x时y 的条件数学期望；（5）求2x时y 的条件方差四、 （12 分）设（ x,y ）的联合密度函数为：代数。代数之交仍为分）证明：两个五、（不独立。，但，试证：的特征函数为的特征函数，并令，分别表示，以其它701, 11),(21212241yxttttyxzyxttyxyxxyyxf八、 （10 分）有三个黑

3、球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态，则有四个状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过n次交换，过程的状态为4 ,3,2, 1,nnx。（1）试问该过程是否为马尔可夫链；（2）计算它的一步转移概率矩阵。九、 （10 分）设马氏链的转移概率矩阵为：0010001100001ppppppp试讨论该马氏链的状态分类、周期及平稳分布。十、 （10 分）设随机过程212sinatx，其中 a为常数，1和2为相互独立的随机变量，1的概率密度函数为偶函数，2在,内均匀分布，证

4、明：（1）tx为宽平稳过程；（2）tx的均值是各态历经的。2005 级硕士生“概率论与随机过程1、2、3 班”试题（请将答案写在答题纸上，否则一律无效）三、概念题：（每小题 5 分，共 10 分）4用数学语言描述测度和概率，并说明其本质的区别所在。5用数学语言描述随机过程。四、填空题（每小题3 分，共 9 分）1随机变量的数学期望表示为可测函数的积分形式为，表示。的一维和二维分布函数数分别为的均值函数和自相关函证明：，定义另一个随机过程和任意实数分）给定一个随机变量七、（均方收敛于零。，证明和其分布为的独立随机变量序列，或是取值为分）设六、（ttxtxttxtnpnpnnn0110110111

5、0, 2, 1,7为数学期望的 l-s 积分形式为。2在条件下，两个随机过程x(t) ，tt ，y(t) ，tt 相互正交；在条件下，两个随机过程互不相关。3在条件下，二阶矩过程 x(t) ，tt为宽平稳过程。三、 （10 分）证明：若一集代数是单调类，它一定是-代数。四、 （12 分）设随机变量),(yx的联合分布律为：0 1 2 3 1 410 0 1612 161410 413 0 1611610 （6）求yx,的边缘分布律；（7）判断 x 与 y 是否相互独立；（8）求在2x时y 的条件分布律；（9）求/2e y x；（10） 求 v=max(x,y) 的分布律；（11） 求 u=mi

6、n(x,y) 的分布律；（12） w=x+y 的分布律。五、 （10 分）设（x，y）的联合密度函数为：其它01yx0kyxf，求： （1）y/xfx/yfy/xx/y和；（2）y/xex/yey/xx/y和六、 （8 分）对下列分布函数求特征函数：axaxaaxxfaax102七、 （7 分）设随机变量：，次试验中出现在第若21其它01iiaxi试利用 chebyshev不等式证明：（1）这些随机变量的样本均值：nxxxnn1当n时依概率收敛于p；（2）判断nxxxnn1当n时是否几乎处处收敛于p？八 、 （ 8分 ） 设, ,1 2nyn是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 序 列 ， 且1(1),np yn1()10np yn。证明：ny均方收敛到 0。九、 （7 分）已知某平稳过程的相关函数cos()0are，其中 a0,0为常数 .求该随机过程的谱密度函数。十、 （9 分）连续掷一骰子，以xn记前 n 次投掷中出现的最大点数，则 xn，n1为markov 链，试求其 n 步转移概