高等数学：D3习题课

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用习题课一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 xyOab)(xfy 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyOab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(10) 1(! ) 1(1)(nnnxxfxxF)( 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n)()()(bf

2、afxxF 柯西中值定理 目录 上页 下页 返回 结束 2. 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1) 研究函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论目录 上页 下页 返回 结束 3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶

3、导数 , 多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若结论为不等式 , 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设函数在)(xf),(ba内可导, 且,)(Mxf证明在)(xf),(ba内有界. 证证: 取点, ),(0bax 再取异于0 x的点, ),(bax对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定数)可见对任意, ),(bax,)(Kxf即得所证 .目录 上页 下

4、页 返回 结束 例例2. 设在)(xf 1 ,0内可导, 且,0) 1 (f证明至少存在一点)(f, ) 1 ,0(使上连续, 在) 1 ,0()(2 f证证: 问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数)()(2xfxx 显然)(x在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至, ) 1 ,0(使0)()(2)(2ff即有)(f)(2 f少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 例例3.,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且,0ba 试证存在).(2)(fbaf使, ),(,ba证证: 欲证,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理条件,故有),(, )()

5、()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将代入 , 化简得故有),(2)(fbaf),(,ba即要证.2)()(22fababf目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设实数满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一个实根 .010nnxaxaa证证: 令,)(10nnxaxaaxF则可设121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上连续在显然xF且)0(F由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使,0)(F即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa,) 1,0

6、(内可导在,0) 1 (F目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数 f (x) 在 0, 3 上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(ffff(2003考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在 0, 2 上连续, 且在 0, 2 上有最大值 M 与最小值 m, 故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()0(由介值定理, 至少存在一点 使,

7、 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知, 必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使目录 上页 下页 返回 结束 ,2)( xf例例6. 设函数在)(xf 1 ,0上二阶可导, ) 1 ()0(ff且证明. 1)( xf证证:, 1,0 x由泰勒公式得)0(f) 1 (f两式相减得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf ) 10

8、() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 导数应用导数应用1. 研究函数的性态:增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 ,曲率2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ;相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等.4. 补充定理 (见下页)目录 上页 下页 返回 结束 设函数)(, )(xgxf在上具有n 阶导数,),(a且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ()()(nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn则当ax 时. )()(xgxf证证: 令, )(

9、)()(xgxfx则; ) 1, 1 ,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用)(x在ax 处的 n 1 阶泰勒公式得)(x)(xa因此ax 时. )()(xgxf0nnaxn)(!)()(定理定理.目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如图所示,单调减区间为 ;极小值点为 ;极大值点为 .),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ;)(xf O2x1xyxOx)(xf1x2x目录 上页 下页 返回 结束

10、 O)(xfx .在区间 上是凸弧 ;拐点为 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数上可导，在),()(xf的图形如图所示,),(),0,(21xx)(xf O2x1xyx2x)(xf 1x目录 上页 下页 返回 结束 ln)1ln()()(1xxxfxf例例8. 证明在xxxf)1 ()(1),0(上单调增加.证证:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,l

11、n)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故当 x 0 时,0)( xf从而)(xf在),0(上单调增.得目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 设在)(xf),(上可导, 且证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证证: 设)(e)(xfxx则 )()(e)(xfxfxx0,0)()(xfxf故)(x在),(上连续单调递增, 从而至多只有一个零点 .又因,0e x因此)(xf也至多只有一个零点 .思考思考: 若题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其他不变时, 如何设辅助函数?)(e)(xfxx目录 上页 下页 返回

12、 结束 例例10. 求数列nn的最大项 .证证: 设),1()(1xxxfx用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令,0)( xf得, exx)(xf )(xfe)e, 1),e(0e1e因为)(xf在),1只有唯一的极大值点,ex因此ex在 处)(xf也取最大值 .又因,3e2442 且,33nn为数列故33中的最大项 .极大值列表判别:目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 证明. )0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 则0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x时, )(x单调增加 , 从而0)0()(x即)0(

13、1arctan)1ln(xxxx思考思考: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时, 如何设辅助函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 设,0)0(f在),0上)(xf 存在 , 且单调递减 , 0,0ba有)()()(bfafbaf证证: 设, )()()()(xfafxafx则0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当时，0 x)(x0)0(令,bx 得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立 . 证明对一切目录 上页 下页 返回 结束 例例13. ,10:时当证明 x.112xxxe证

14、证: 只要证) 10(01e)1 (2xxxx,1e)1 ()(2xxxfx设0)0(f则, 1e)21 ()(2xxxf0)0( f) 10(0e4)(2 xxxfx利用一阶泰勒公式, 得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0e222xx故原不等式成立.目录 上页 下页 返回 结束 例例14. 证明当 x 0 时,.) 1(ln) 1(22xxx证证: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf则0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法法1. 由)(xf在1x处的二阶泰勒

15、公式 , 得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立 .与 1 之间)目录 上页 下页 返回 结束 法法2. 列表判别.,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22xxx目录 上页 下页 返回 结束 例例15. 求)0()1arctan(arctanlim2ana

16、nann解法解法1 利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式令,arctan)(xxf则,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 利用洛必达法则)0()1arctan(arctanlim2ananann

17、原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at目录 上页 下页 返回 结束 P182 5 ; *7 ; *8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 ; 20作业作业目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设函数), 0()(在xf上具有二阶导数，且满足证明序列)(nf发散. 证：证：单调递增，)(,0)(xfxf )2, 1 (,0)() 1 ()2(, )2() 1 (11fffff11,0)()(xfxf), 2()2(! 2)()2)(2()2()(2nnfnffnf )2)(2()2(nff n故

18、序列)(nf发散. , )2() 1 (,0)(ffxf (2007 考研）目录 上页 下页 返回 结束 保号性保号性 定理定理2. 设)(xf在区间,ba上连续 , 且, 0)()(bfaf, 0)()(bfaf试证存在, ),(ba使. 0)(f证证: 不妨设. 0)(,0)(bfaf0lim)()()(axafxfaxaf必有1x, ),(2baa使,011)(axxf故0)(1xf0lim)()()(bxbfxfbxbf保号性保号性 定理定理必有2x, ),(2bba使,022)(bxxf故0)(2xf又在,21baxx上)(xf连续, 由零点定理知, 存在, ),(),(21baxx

19、使. 0)(f目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知函数) 1 , 0(, 1, 0)(在上连续在xf内可导, 且证证: (1) 令且上连续，在则1 , 0)(xg, 1)()(xxfxg01) 1 (, 01)0(gg证明, 1) 1 (, 0)0(ff使得存在1)(),1, 0() 1 (f) 1 , 0(故存在01)()(fg使 即1)(f(2005 考研）011)()(),1, 0(,)2(ff使得存在两个不同的点目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 0(, 1, 0)(在上连续在xf内可导, 且(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在),1 , 0(), 0(0)0()()(fff证明, 1) 1 (, 0)0(ff使得存在1)(),1, 0() 1 (f11)()()