高等数学教学课件：Lecture 02-Mappings and Functions

1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节第一节映射与函数映射与函数几个逻辑符号几个逻辑符号表示表示“对任意一个对任意一个”，“对每一个对每一个” 2, 10 ,0 .xx 比比如如，“” “”表示表示“存在一个存在一个”，“至少有一个至少有一个” ,(1)(1)0 , ,1 .xxxnn比比如如“使使得得” “使使得得”表示表示“蕴含蕴含”，“可推出可推出”110 , sin1 .xxyxy比比如如，“”“”表示表示“当且仅当当且仅当”，“充分必

2、要充分必要”，“等价等价”1,2xx比比如如，“2320 .xx方方程程”满足满足一、一、 集合集合1. 定义定义及表示法及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素.简称集简称集简称元简称元.aM 元素元素 a 属于属于集合集合 , 记记作作M元素元素 a 不属于不属于集合集合 , 记作记作MaM ( 或或) .aM 不含任何元素的集合称为空集不含任何元素的集合称为空集 , 记作记作 . 例如例如,2,10 x xR x 表示法表示法：(1) 列举列举法：法： 按某种方式列出集合中的全体元素按某

3、种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合有限集合自然数集自然数集N0, 1, 2,n n 12,nAaaa 1niia R x Z x 例例: 整数集合整数集合或或有理数集有理数集 p 与与 q 互质互质实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数 Mx x 所具有的特征所具有的特征(2) 描述法：描述法：Nx Nx Qpq Z,N ,pq 是是 B 的的子集子集 , 或称或称 B 包含包含 A ,2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 . .则称则称 A若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,显然有下列关系显然有下列关系 :若若设有集合设有集合记作记作记作

4、记作必有必有,A BxA ,xB .AB AB ,BA .AB (1);AA ;AA ;A (2) AB BC 且且AC 例如例如,N Z , Z Q , Q R , 例如例如1,2,A 2320,Cx xx.AC 则则集合的并：集合的并：集合的交：集合的交：集合的差：集合的差：集合的直积：集合的直积：AB(x,y)xyABABxxAxB 或或ABxxAxB 且且 A BxxAxB且且()ABx,yxA,yB且且1212(,),1,2,nniiAAAx xxxA in 2RRRx,yx,yR()(), a bx (,) a bx 开区间开区间闭区间闭区间axbaxb3. 区间区间区间是区间是指

5、介于某两个实数之间的全体实数指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. 两端点间的两端点间的距离距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.定义定义3 . .() , x(, ;bx ,) ;ax ( , a bx , ) ;a bx 无限区间无限区间半开区间半开区间axbaxbax xb Rx ( ,) U ax 4.邻域邻域设设 与与 是两个实数，且是两个实数，且 ，称数集，称数集定义定义4. . 为点为点 的的 邻域邻域. 记作：记作：a 0 a xxa xaa |xa x ( ,) U ax 其中其中, a 称为邻域中心称为邻域中心

6、 , 称为邻域半径称为邻域半径 .去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :右右 邻域邻域 :0 |xa (, )aa (), a a 二、二、 映射映射某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定按一定规则编学号规则编学号某班学生的集合某班学生的集合 座位的座位的集合集合按一定规则入座按一定规则入座引例引例1. 1. 引例引例2.引例引例3.(点集点集)(点集点集)向向 y 轴投影轴投影sinyxxRx Ry sinyx sinyxxyxOyx QY 投影点投影点 CP点点1x2x22( , )1Cx yxy(0, )|11YyyPyO1 xQ定义定义4. 设设 X , Y 是两个非

7、空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f , 使得使得有唯一确定的有唯一确定的与之对应与之对应,则称则称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射, 记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的像像, 记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下下的的原像原像 . 集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域 ; Y 的子集的子集称为称为 f 的的 值域值域 . 注意注意: 1) 映射的三要素映射的三要素 定义域定义域 , 对应规则对应规则, 值域值域. 2) 元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的, 但但 y

8、的原像不一定唯一的原像不一定唯一. XYf:.fXY,xX ,yY xy( ).yf x ()fRf X ( ) f xxX 对映射对映射若若 则则称称 f 为为满射满射; XYf()f X 有有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射. XY引例引例2, 3引例引例2引例引例2:fXY(),f XY ()f X若若1212,xxX xx12()()f xf x fXYf()f X X (数集数集 或点集或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集数集)f

9、 f 称为称为X 上的上的泛函泛函X ( ) X f f 称为称为X 上的上的变换变换 R f f 称为定义在称为定义在 X 上的上的函数函数映射又称为映射又称为算子算子. 名称名称. 例如例如:定义域定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义5. 设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D 上的函数上的函数 ,记为记为称为值域称为值域 函数图形函数图形:自变量自变量因变量因变量xy( , )Da b abxyOR,D :RfD ( ),yf xxD()( ),fRf Dy yf xxD(,) Cxy ( ) ,yf x xD ()Df D(对应规则对应规则)(值域值域)(

10、定义域定义域)xD f()( ),fyRf Dy yf xxD 定义域定义域: 使表达式或实际问题有意义的自变量集合使表达式或实际问题有意义的自变量集合.对无实际背景的函数对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域书写时可以省略定义域.对实际问题对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；书写函数时必须写出定义域； 对应规律对应规律的表示方法的表示方法: 解析法解析法、图像法图像法、列表法列表法 例例: 绝对值绝对值函数函数xyOxy 定义域定义域值域值域( ) |f xx ,0 xx ,0 xxRD ()0 ,)f D 例例4. 已知函数已知函数解解: f (x) 的定义域的定义域 值域值域 1

11、txyO12,01( )1,1 xxyf xxx 1ft 11,t 01t2,t()11222f 2 1yx()0,)f D 0,)D 及及写出写出 f (x) 的定义域及值域的定义域及值域, 并求并求12f1.ft2yx 2. 函数的几种特性函数的几种特性(1) 函数函数的有界性的有界性(下下)(下下)x0y12xxey .e 有上界有上界有下界有下界xay 1xya ) 1( ayx,( ),XDKxXf xK 若若有有成成立立( ) ( ).f xX在在 上上有有上上界界称为一个上界称为一个上界K,0,( ),XDMxXf xM 若若有有成成立立在在 上有界，否则称无界上有界，否则称无界

12、.( ) f xX则称函数则称函数 .有有界界既既有有上上界界又又有有下下界界有界有界xysin 例如：例如：1 - sin, ?yxM 上上界界， 下下界界，sin1,x 由由于于的一个上界的一个上界1sin x是是的一个下界的一个下界1sin x 是是注意：讨论函数是否有界，必须指明讨论区域注意：讨论函数是否有界，必须指明讨论区域有界？有界？ 无界？无界？x012.1exyxe 例如：例如：(,)xyxe 在在内无界，内无界，(0,)但但在在内有界。内有界。使使若对任意正数若对任意正数 M , 均存在均存在 则称则称 无无界界.,xD ( ),f xM ( )f x(2) 单调性单调性12

13、12, xxIxx且且称称 为为 I 上的上的单调单调增函数增函数;12()(),f xf x 若若( )f x称称 为为 I 上的上的单调减函数单调减函数;12()(),f xf x 若若( )f x设函数设函数 的定义域为的定义域为 ， 区间区间( )f xDID xyoI( )yf x 1x2xxyoI( )yf x 1x2x(3) 函数函数的奇偶性的奇偶性偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x设设 D 关于原点对称，对于关于原点对称，对于 ，xD 则称则称 为偶函数，为偶函数，( )f x ()( ),fxf x若若则称则称 为奇函数，为奇函数，( )f x ()( ),fx

14、f x 若若关于关于y轴对称轴对称关于关于原点原点对称对称说明说明I :Oyxx 若若 在在 x = 0 有定义有定义 ,()f x为奇函数时为奇函数时,则当则当( )f x必有必有(0)0.f 说明说明II:则则 ( )()( )()( )22f xfxf xfxf x偶函数偶函数 奇函数奇函数 ( ),(, )f xxl l 给定给定 (4) 周期性周期性则称则称称称 l 为为周期周期 ( 一般指一般指最小正周期最小正周期 ).且且若若()( )f xlf x，,0,xDl ,xlD 为为周期函数周期函数 ,( )f x xy2 周期为周期为 o2 周期为周期为2 o 2 t( )f t2

15、 说明：周期函数的定义域必然是无穷延伸的说明：周期函数的定义域必然是无穷延伸的问题：定义在整个实数轴上？问题：定义在整个实数轴上？ xy2 o2 2 o 2 t( )f t周期？周期？说明说明III：周期函数不一定存在最小正周期：周期函数不一定存在最小正周期 .例如例如, 狄利克雷函数狄利克雷函数说明说明I： 周期函数的定义域必然是无穷延伸的周期函数的定义域必然是无穷延伸的.说明说明II： 周期函数的定义域未必是周期函数的定义域未必是 R.x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数( )f x 1,0,( )f xC 常量函数常量函数任何一个正有理数都是它的周期任何一个正有理数都是它的周期最小的

16、正有理数不存在！最小的正有理数不存在！3. 函数函数的四则运算的四则运算 1212:,:,.fDR g DRDDD 且且设设()( )( )( ),;fgxf xg xxD ()( )( )( ),;fgxf xg xxD ()( )( ) ( ),;f gxf x g xxD 2( )()( ),( )0,.( )ff xxxDxg xxDgg x 2( )1,( )log,f xxg xx例：例：定义域定义域 D =？4. 反函数反函数若函数若函数为单射为单射,:()fDf D121212,()()x xDxxf xf x且且(),( ),yf DxDf xy 存存在在唯唯一一使使得得此时

17、此时，存存在在逆逆映映射射则则 使得使得:1:(),ff DD 1( ),().fyxyf D 此映射此映射 称为函数称为函数 的反函数的反函数. f1f 0 x0yDo)(Df1( )xfy yx0 xDo)(Dfy( )yf x 0yx习惯上记为习惯上记为1( )yfx 反函数的求法：反函数的求法：1( )( ),yf xxfy 由由解解出出由于习惯上用由于习惯上用 x 表示自变量，故重新标记变量得到表示自变量，故重新标记变量得到1( ),yfx 即为所求。即为所求。21( )2xf xx 例例：求求的反函数的反函数.21212212221 2xyyxyyxxxyxyx 由 由解解：性质性

18、质I：函数函数与其反函数的图形关于直线与其反函数的图形关于直线 对称对称.yx o1( )yfx ( , )Q b a( , )P a b( )yf x xy性质性质II 若函数若函数 单调递增单调递增(减减)， 则则其反函数其反函数 存在，存在， 且同为单调递增（递减）且同为单调递增（递减）的图形的图形( )yf x 1( )yfx 5. 复合函数复合函数21 1 12 2 4AB2x116C2xe16eDxe2x ABlog x,uye 2,uv 42 xevxy , u v称为中间变量称为中间变量定义：定义：设设 的定义域为的定义域为 在在D 上有上有 定义，且定义，且 ， 则则称为由称

19、为由 和和 构成的复合函数，构成的复合函数，记为：记为：( )yf u , ( )fDug x ()fg DD ( ),yf g xxD( )ug x ( )yf u ()( ) ( ).fgxf g x x: 自变量，自变量，u：中间变量：中间变量 ， y：因变量：因变量D: 定义域定义域约定约定: 为了简单起见为了简单起见, 书写复合函数时不一定写出书写复合函数时不一定写出其其 定义域定义域, 默认默认对应的函数链顺次满足构成对应的函数链顺次满足构成复合复合 函数的条件函数的条件.说明：说明：a. 不是不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;b.

20、复合函数复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；可以由两个以上的函数经过复合构成；arcsin ,yu 例例如如: :22;ux2arcsin(2)yx例例如如: :,yu cot ,uv ;2xv cot,2xy c. 复合复合运算不满足交换律运算不满足交换律,fggf 一一般般地地，. .22( )log, ( )(1),f xx g xx 例例如如，( ( )g f x 22(1log).x22 ( ( )log ( (1)f g xx而而无意义无意义例例:解解: :复合函数的求法（代入法，分析法）复合函数的求法（代入法，分析法）1. 代入代入法法11( ), ( ( ),().1(

21、)f xf f f xfxf x 求求( ( )f f x 11( )f x 1111x 1xx (0 1)x ， ( ( )f f f x1()xfx 111xx x (0 1)x ，1()( )ff x111( )f x ( )( )1f xf x 11111xx 1x (0 1)x ，例例解解: :2. 分析分析法（关键抓住最外层函数定义域的区间段）法（关键抓住最外层函数定义域的区间段）22,0,1( ),( ),1,0,1 ( ).xxxexf xxxxxxfx 求求(),( )1 ( )( ),( )1xexfxxx ( )1x 20, 0,( )21; 1( )1 1; 0 2xx

22、xxxxxx ( )1x 2( )21; 10, 0 0, 2( )11; xxxxxxxx 综上所述综上所述(),( )1 ( )( ),( )1xexfxxx ( )1x 20, 0,( )21; 1( )1 1; 0 2xxxxxxxx ( )1x 2( )21; 10, 0 0, 2( )11; xxxxxxxx 2212,12,10 ( ).02,1,2xxexxxfxxexx 6. 初等函数初等函数1. 基本基本初等函数初等函数常值函数，常值函数，指数函数指数函数,对数函数对数函数三角函数三角函数,反三角函数反三角函数 2. 初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数

23、初等函数初等函数 . 否则否则称为称为非初等函数非初等函数 . 并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,经过经过有限次有限次四则运算和四则运算和复合复合步骤步骤所构成所构成 ,称为称为但但可表为可表为故为初等函数故为初等函数.y ,0 xx ,0 xx2,yx 问题问题: : 分段分段函数是否为初等函数函数是否为初等函数? ?一般不是！一般不是！幂函数幂函数, (2) 符号符号函数函数1-1xyoxxx sgn(1) 绝对值函数绝对值函数xyO几个特殊几个特殊函数函数:1,0sgn0,01,0 xyxxx 00 x, xyxx, x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -

24、1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线(3) 取整函数取整函数 y=xx 表示表示不超过不超过 x 的的最大整数最大整数有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4) 狄利克雷函数狄利克雷函数如如:5.3=5, -4.5= -5.0 1xx根据定义有：根据定义有： 1xxx即即：1( )0yD x x为有理数为有理数x为无理数为无理数(5) 取最值函数取最值函数min ( ), ( )yf xg x max ( ), ( )yf xg x min ( ), ( )yf xg xmax ( ), ( )yf xg x 1( )0f x x为有理数为有理数x为无理数为无理数1( ) 2g x x为有理数为有理数x为无理数为无理数1 0 x为有理数为有理数x为无理数为无理数12 x为有理数为有理数x为无理数为无理数基本概念基本概念: 集合集合, 区间区间, 邻域邻域,