二次函数最值问题的应用

1、 二次函数的应用二次函数的应用 赵集镇一初中赵集镇一初中 九四班九四班 1 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。抛物线abacab44,22abx2直线abac442上小下大abac442高低 基础扫描 -202462-4xy若若3x3，该函数的最，该函数的最大值、最小值分别为大值、最小值分别为（ ）、（）、（ ）。）。 又若又若0 x3，该函数的，该函数的最大值、最小值分别为最大值、最小值分别为（ ）、（）、（ ）。）。求函数的最值问题

2、，应注意什么求函数的最值问题，应注意什么? ?55 555 133、图中所示的二次函数图像的、图中所示的二次函数图像的解析式为：解析式为： 13822xxy2 2、求下列二次函数的最大值或最小值：、求下列二次函数的最大值或最小值： y=x22x3; y=x22x-3(0 x3)xyoxyoxyoxyoxyoxyo26.2 实际问题与二次函数面积问题面积问题 问题：v用周长为用周长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面米的篱笆围成矩形场地，矩形面积积S随矩形一边长随矩形一边长L的变化而变化，当的变化而变化，当L是多是多少时，场地面积少时，场地面积S最大？最大？例例2：如图在：如图在ABC中中,AB=

3、8,BC=6, B=90点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向点边向点B以以2S的速度移动，点的速度移动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边向点C以以1 S的速度移动，如果的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时同时出发，几秒后的出发，几秒后的 PBQ面积最大？最大面积是面积最大？最大面积是多少？多少？ABCPQ10米例例3：小明家门前有一块空地，空地外有一面长：小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一矩形花圃，他买回了修建一矩形花圃，他买回了32米长的钢管准备作为米长的钢管准备作为花圃的围

4、栏。（如图所示）花圃的宽花圃的围栏。（如图所示）花圃的宽AD究竟为多少究竟为多少米才能使花圃的面积最大？（各边取整数米才能使花圃的面积最大？（各边取整数）DABC练习练习1：如图，在一面墙的空地上用长：如图，在一面墙的空地上用长24米的篱笆，米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米。米，面积为平方米。（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围。）求与的函数关系式及自变量的取值范围。（2）当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是）当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？多少？（3）若墙的最大可用长度为）若墙的最大可

5、用长度为8米，则求围成花圃的最米，则求围成花圃的最大面积。大面积。ABCD小结：小结：（1）对于面积最值问题应该设图形一边长为自）对于面积最值问题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，写出函数关系式，利用二次函数有关知识求得最写出函数关系式，利用二次函数有关知识求得最值。要注意自变量的取值范围，在取值范围内利值。要注意自变量的取值范围，在取值范围内利用端点或顶点求最值，注意数形结合。用端点或顶点求最值，注意数形结合。1（2010南通）如图，在矩形南通）如图，在矩形ABCD中，中，AB=m（m是大于是大于0的常数），的常数），BC

6、=8，E为线为线段段BC上的动点（不与上的动点（不与B、C重合）连接重合）连接DE，作作EFDE，EF与射线与射线BA交于点交于点F，设，设CE=x，BF=y（1）求）求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；（2）若）若m=8，求，求x为何值时，为何值时，y的值最大，最的值最大，最大值是多少？大值是多少？（3）若）若y= ，要使，要使DEF为等腰三角形为等腰三角形，m 的的值应为多少？值应为多少？v2（2010湘潭）如图，在直角梯形湘潭）如图，在直角梯形ABCD中中，ABDC，D=90，ACBC，AB=10cm，BC=6cm，F点以点以2cm/秒的速度秒的速度在线段在线段AB上由上由A向向B

7、匀速运动，匀速运动，E点同时以点同时以1cm/秒的速度在线段秒的速度在线段BC上由上由B向向C匀速运动匀速运动，设运动时间为，设运动时间为t秒（秒（0t5）v（1）求证：）求证：ACDBAC；v（2）求）求DC的长；的长；v（3）设四边形）设四边形AFEC的面积为的面积为y，求，求y关于关于t的的函数关系式，并求出函数关系式，并求出y的最小值的最小值v3（2010株洲）如图，直角株洲）如图，直角ABC中，中，C=90， ， ，点，点P为边为边BC上一动点，上一动点，PDAB，PD交交AC于点于点D，连接连接APv（1）求）求AC、BC的长；的长；v（2）设）设PC的长为的长为x，ADP的面积为

8、的面积为y当当x为何值时，为何值时，y最大，并求出最大值最大，并求出最大值 在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。 如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？如何定价才能使商场获得最大利润呢？l利润率=成本利润l利润=售价-成本（固定成本+可变成本）l总利润=数量利润（每件、个、间等） 问题问题1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，

9、售价是每件 60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调件。市场调查反映：如果调整价格整价格 ，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获要想获得得6090元的利润，该商品应定价为多少元？元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。 6000 （20+x）（300-10 x） (20+x)( 300-10 x) (20+x)( 300-10 x) =6090 自主探究 已知某商品的进

10、价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件 60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：件。市场调查反映：如果调整价格如果调整价格 ，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获得要想获得6090元的利润，该商品应定价元的利润，该商品应定价为多少元？为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6090问题问题2.已

11、知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元，元，售售价价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。市件。市场调查反映：如调整价格场调查反映：如调整价格 ，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件。件。该商品应定价为多该商品应定价为多少元时，商场能获得少元时，商场能获得最大利润最大利润？合作交流问题问题3.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格 ，每每降价降价一元，一元，每星期

12、可每星期可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润利润最大最大？问题问题4.4.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格 ，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最大？解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-

13、10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0 x30)怎样确定x的取值范围解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元.y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0 x20）所以定价为所以定价

14、为60-2.5=57.5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元. 答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6250元元.由由(2)(3)的讨论及现在的销售的讨论及现在的销售情况情况,你知道应该如何定价能你知道应该如何定价能使利润最大了吗使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围w 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如果以单价如果以单价3030元销售元销售, ,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销售经验根据销售经验, ,提提高单价会导致销售量的减少高单价会导致

15、销售量的减少, ,即销售单价每提高即销售单价每提高1 1元元, ,销销售量相应减少售量相应减少2020件件. .售价售价提高多少元时提高多少元时, ,才能在半个月内才能在半个月内获得最大利润获得最大利润? ?解：设售价提高解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为元时，半月内获得的利润为y元元.则则 y=(x+30-20)(400-20 x) =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当当x=5时，时，y最大最大 =4500 答：当售价提高答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润元时，半月内可获最大利润4500元元我来当老板牛刀小试1.已知某商品的进价为每件已知某商品

16、的进价为每件4040元。现在的售价元。现在的售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。市场调查件。市场调查反映：如调整价格反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要，每涨价一元，每星期要少卖出少卖出1010件；每降价一元，每星期可多卖出件；每降价一元，每星期可多卖出2020件。如何定价才能使利润最大？件。如何定价才能使利润最大？ 在上题中在上题中,若商场规定试销期间获利不得低于若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于又不得高于60%，则销售单价定为多少时，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？商场可获得最大利润？最大利润是多少？能力拓展 2

17、.2.某超市经销一种销售成本为每件某超市经销一种销售成本为每件4040元的商元的商品据市场调查分析，如果按每件品据市场调查分析，如果按每件5050元销售，元销售，一周能售出一周能售出500500件；若销售单价每涨件；若销售单价每涨1 1元，每元，每周销量就减少周销量就减少1010件设销售单价为件设销售单价为x x元元(x50)(x50)，一周的销售量为，一周的销售量为y y件件(1)(1)写出写出y y与与x x的函数关系式的函数关系式( (标明标明x x的取值范围的取值范围) ) (2) (2)设一周的销售利润为设一周的销售利润为S S，写出，写出S S与与x x的函数关的函数关系式，并确定

18、当单价在什么范围内变化时，利系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？润随着单价的增大而增大？ (3) (3)在超市对该种商品投入不超过在超市对该种商品投入不超过1000010000元的元的情况下，使得一周销售利润达到情况下，使得一周销售利润达到80008000元，销元，销售单价应定为多少？售单价应定为多少？中考链接 例例1、 某宾馆有某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天为每天180元时房间会全部住满元时房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增当每个房间每天的房价每增加加10元时，就会有一个房间空闲元时，就会有一个房间空闲

19、. 设每个房间的房价每天增设每个房间的房价每天增加加x元（元（x为为10 的正整数倍）的正整数倍）. 设一天订住的房间数为设一天订住的房间数为y，直接写出，直接写出y与与x的函数关系式的函数关系式 设宾馆一天的利润为设宾馆一天的利润为w元，求元，求w与与x的函数关系式的函数关系式. 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？多少元？ 某宾馆有某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时房间会全部住满元时房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加当每个房间每天的房价每增加10元

20、时，就会有一个房间空闲元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间宾馆需对游客居住的每个房间每天支出每天支出20元的各种费用元的各种费用.设每个房间的房价每天增加设每个房间的房价每天增加x元元（x为为10 的正整数倍）的正整数倍）. 设一天订住的房间数为设一天订住的房间数为y，直接写出，直接写出y与与x的函数关系式的函数关系式. 设宾馆一天的利润为设宾馆一天的利润为w元，求元，求w与与x的函数关系式的函数关系式. 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？多少元？ 某宾馆有某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天

21、个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时房间会全部住满元时房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间宾馆需对游客居住的每个房间每天支出每天支出20元的各种费用元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价根据规定，每个房间每天的房价不得高于不得高于340元元.设每个房间的房价每天增加设每个房间的房价每天增加x元（元（x为为10 的的正整数倍）正整数倍）. 设一天订住的房间数为设一天订住的房间数为y，直接写出，直接写出y与与x的函数关系式的函数关系式及自变量的取值范围及自变量的取值范围

22、. 设宾馆一天的利润为设宾馆一天的利润为w元，求元，求w与与x的函数关系式的函数关系式. 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？多少元？ 某宾馆有某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时房间会全部住满元时房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间宾馆需对游客居住的每个房间每天支出每天支出20元的各种费用元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价根据规定，每个房间每

23、天的房价不得高于不得高于340元元.设每个房间的房价每天增加设每个房间的房价每天增加x元（元（x为为10 的的正整数倍）正整数倍）.110=- x2+34x+800016010此时此时y=50- = 34y=50- = 34 当订住当订住3434个房间时，宾馆利润最大为为个房间时，宾馆利润最大为为1088010880元元. .解：y与x的关系式为:y= 50-X10w与x的关系式是w=(180+x-20)( )50-X10w=- (xw=- (x2 2-340 x+170-340 x+1702 2)+10890=- (x-170)+10890=- (x-170)2 2+10890+108901

24、10110a=- a=- 0, 0, 当当x x 170170时，时，w w随随x x的增大而增大的增大而增大又又 0 0 x160 x160 当当x=160 x=160时时,w,w有最大值有最大值110（0 x160,x是10的整数倍）xyo 例例2、某商品的进价为每件、某商品的进价为每件40元元,售价为售价为50元元,每个月可卖出每个月可卖出210件件;如果每件商品的售价每上涨如果每件商品的售价每上涨1元元,则每个月少卖则每个月少卖10件件(每件售价不能高于每件售价不能高于65元元).设每件商品的售价上涨设每件商品的售价上涨x元元,每个月每个月的销售利润为的销售利润为y元元. 求求y与与x

25、的函数关系式并直接写出自变量的取值范围的函数关系式并直接写出自变量的取值范围. 每件商品的售价定为多少元时每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润每个月可获得最大利润?最大利润是多少最大利润是多少? 每件商品的售价定位多少元时每件商品的售价定位多少元时,每个月的利润恰为每个月的利润恰为2200元元?根据以上结论根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时请你直接写出售价在什么范围时,每个月每个月的利润不低于的利润不低于2200元元?例例2、 某商品的进价为每件某商品的进价为每件40元元,售价为售价为50元元,每个月可卖出每个月可卖出210件件;如果每件商品的售价每上涨如果每件商品的售价每

26、上涨1元元,则每个月少卖则每个月少卖10件件(每每件售价不能高于件售价不能高于65元元).设每件商品的售价上涨设每件商品的售价上涨x元元,每个月的销每个月的销售利润为售利润为y元元. 求求y与与x的函数关系式并直接写出自变量的取值范围的函数关系式并直接写出自变量的取值范围. 每件商品的售价定为多少元时每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润每个月可获得最大利润?最大利润是多少最大利润是多少?解：解：y y与与x x的关系式为的关系式为:y=(50+x-40)(210-x)=-10 x:y=(50+x-40)(210-x)=-10 x2 2+110 x+2100 +110 x+2100

27、（0 x15,x0 x15,x是整数）是整数）y=-10 xy=-10 x2 2+110 x+2100=-10(x-5.5)+110 x+2100=-10(x-5.5)2 2 +2402.5 +2402.5此时定价为此时定价为50+5=55(50+5=55(元元) )或或50+6=56(50+6=56(元元) ) 当售价定为当售价定为5555元或元或5656元时元时, ,每个月获利最大为每个月获利最大为24002400元元a=-10a=-100,y0,y有最大值有最大值 又又 0 x15,x0 x15,x是整数是整数, ,当当x=5x=5或或6 6时时, ,y y最大最大=-10(5-5.5)=-10(5-5.5)2 2+2402.5=2400 +2402.5=2400 例例2 某商品的进价为每件某商品的进价为每件40元元,售价为售价为50元元,每个月可卖出每个月可卖出210件件;如果每件商品的售价每上涨如果每件商品的售价每上涨1元元,则每个月少卖则每个月少卖10