随机变量的数字特征与正态分布

1、 随机变量的数字特征与正态分布知识归纳1. 离散型随机变量的均值、方差若离散型随机变量X的分布列为： X P则称为随机变量X的均值或数学期望，它刻画了随机变量取值的平均水平。称为随机变量X的方差，其算术根叫做随机变量X的标准差。方差和标准差都是刻画随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度。2. 几个公式：（1）（2） 若，其中X为随机变量，为常数，则也是随机变量，且；3. 几种常见分布的均值与方差（1） 两点分布：如果随机随机变量X的分布列为 X 1 0 P 其中，则称离散型随机变量X服从参数为的两点公布，称为成功概率；（2） 二项分布在次独立重复试验中，设事件A发生的次为X，在每次试验中事件A

2、发生的概率都为，那么在次独立重复试验中，事件A恰好发生次的概率为 。其分布列为 X 0 1 P 则称离散型随机变量X服从参数为的二项分布，记作。，。4. 正态分布（1）总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线

3、一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线（如右图）（2）正态曲线的特征：曲线在x轴的上方，与x轴不相交 .曲线关于直线x=对称 .当x=时，曲线位于最高点 .当x时，曲线上升（增函数）；当x时，曲线下降（减函数） .并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 .一定时，曲线的形状由确定 .越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小曲线越“瘦高”总体分布越集中。（6）曲线与轴之间的面积为1（3）标准正态曲线:（1）当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-x+）其

4、相应的曲线称为标准正态曲线 .（4）一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足，则,（即右图中阴影部分面积），则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) 正态分布完全由参数和确定，记作X. 在标准正态总体中，如果随机变量X满足，则,（即图中阴影部分面积）。ab （5）标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 .任何非标准正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题，转化公式为。（6）正态变量的取值在区间上的概率分别是0.6826，0.9544，0.9974。温馨提示：（1）参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机

5、变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计 （2）正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布，通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 . 基础自检1 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下：x123P(=x)？！？小牛同学在计算的数学期望时尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案E=_2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的期望3.离散型随机变量只能取个值1、2、3，其概率依次成等差数列，则4.设随机变量服从正态分布，则等于（ ）。 A B C D 5.如果

6、随机变量，且，则 6.某区于2012年12月份对全区高三理科1400名学生进行了一次调研检测，经统计发现5科总分大致服从正态分布，若在（0,280）内取值的概率为0.107,则该区1400名考生中总分在620分以上的考生大约有（ ）人，（结果四舍五入）。A 100 B 125 C 150 D 2007设，则提示： 0.6826例题讲解1. (2007.四川)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是来否接收这批产品。（1） 若厂家库房中的每件产品合格率为0.8,从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；（2）

7、 若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收。求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望。并求出该商家拒收这批产品的概率。2. (2011天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中， （i）摸出3个白球的概率； （ii）获奖的概率；（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)3.某投资公司在2010年

8、年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理4. （湖南高考）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力。每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训。已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%。假设每个人对培训项目的选择

9、是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。（1） 任选一名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（2） 任选 3名下岗人员，记为3人参加过培训的人数，求的分布列和数学期望。5.（2010江西理科）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间. （1）求的概率分布列；（2）求的数学期望。6.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品5

10、0件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为X（1）求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？7. “神舟十号”从太空中带回的某种植物种子，甲、乙两个种子小组分别独立开展对该植物种子离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一粒种子，甲组能使种子成活的概率为，乙组能使种子成活的概率为。假定试验后种子成活，则称该次试验成功。如果种子不

11、成活，则称该次试验失败。（） 求乙小组进行四次试验有三次成功的概率；（） 若甲、乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的期望值。8. 已知盒子里装有除颜色外，其它方面完全相同的6个小球。在这6个小球中，有2个红球，4个白球。为了判断哪两个小球是红球，现在从盒子里随机抽取小球。规定：每次从盒子里随机取出一个小球进行颜色识别，取出的小球一律不再放回盒子，一旦能判断哪两个小球是红球就停止抽取。设表示能判断哪两个小球是红球需要抽取小球的次数。（） 求或的概率；（） 求的分布列和数学期望。 课后作业1. 已知随机变量，若，则分别是（ ）。A 6和2.4 B 2和2.4 C 2和5.6 D 6和5

12、.62一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元。已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）元。A 39 B 37 C 20 D N() 3.设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（ ）。 A B C D 4.在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布，现已知该班同学中成绩在80分85分的有17人。试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？（提示：利用正态变量的取值在区间上的概率分别是0.6826，0.9544，0.9974求解。1人）3.某毕业生

13、参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，求随机变量X的数学期望4袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（1）求的分布列，期望和方差；（2）若=a+b，E=1，D=11，试求a，b的值。5. （2011.山东理科）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、两胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（1） 求红队至少两名队员获胜的概率；（2） 用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。6. （重庆理科）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响。求移栽的4株大树中：（1） 两种大树各成活1株的概率；（2） 成活的株数的分布列与期望。7. 为迎接2012处伦敦奥运会，在著名的海滨城市青岛举行了一场奥