立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系

1、课时提升作业(四十四)一、选择题1.平面的一个法向量为n=(1,2,0),平面的一个法向量为m=(2,-1,0),则平面和平面的位置关系是( )(A)平行(B)相交但不垂直(C)垂直(D)重合2.设平面的法向量为(1，2，-2)，平面的法向量为(-2，-4，k)，若，则k等于( )(A)2(B)-4(C)4(D)-23.若直线l平面，直线l的方向向量为s,平面的法向量为n,则下列结论正确的是( )(A)s=(1,0,1),n=(1,0,-1)(B)s=(1,1,1),n=(1,1,-2)(C)s=(2,1,1),n=(-4,-2,-2)(D)s=(1,3,1),n=(2,0,-1)4.直线l的

2、方向向量为s =(-1,1,1),平面的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l平面,则x的值为( )(A)-2(B)-(C)(D)±5.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )(A)()(B)()(C)()(D)()6.已知非零向量a,b及平面，若向量a是平面的法向量，则a·b=0是向量b所在直线平行于平面或在平面内的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.(能力挑战题)已知(1，5，-2)，(3，1，z)，若，(x-1,y,-3)，且BP平面ABC，则实数x,y,

3、z分别为( )(A),4(B),4(C),-2,4(D)4,-15二、填空题8.平面的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l平面，则直线l的单位方向向量s=_.9.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为_.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE与BD的位置关系是_.三、解答题11.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.求证：(1)BC1AB1.(2)BC1平面CA1D.12.如图，四棱锥S-ABCD中，ABCD为矩形，SDAD,

4、且SDAB,AD=a(a0)，AB=2AD，SD=AD，E为CD上一点，且CE=3DE.(1)求证：AE平面SBD.(2)M，N分别为线段SB，CD上的点，是否存在M，N，使MNCD且MNSB,若存在，确定M，N的位置；若不存在，说明理由.13.(能力挑战题)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90°, AB=4, CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:(1)CM平面PAD.(2)平面PAB平面PAD.答案解析1.【解析】选C.n=(1,2,0),m=(2,-1,0),m·

5、n=2-2+0=0,即mn，.2.【思路点拨】等价于其法向量平行.【解析】选C.，k=4.【变式备选】若平面，垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )(A)n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)(B)n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)(C)n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)(D)n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.,n1n2,即n1·n2=0,经验证可知，选项A正确.3.【解析】选C.直线l平面，直线l的方向向量s与平面的法向量n平行，即sn.经验证可知选项C正确.4.【解析】选D.l平面,sn,即s·n0.(-1，1

6、，1)·(2，x2+x,-x)=0,即-2+x2+x-x=0,x=±.5.【思路点拨】若n为平面ABC的一个单位法向量，则| n |=1,且n·=0,n·=0,可采用验证法求解.【解析】选D.A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),=(-1,1,0), =(-1,0,1).经验证，当n=()时，n·=+0=0, n·=0,故选D.6.【解析】选C.a,b是非零向量，且a是平面的法向量，当a·b=0时，向量b所在的直线平行于平面或在平面内，反之也成立.7.【解析】选B.,3+5-2z=0,即z=4.又BP平面AB

7、C，x-1+5y+6=0,3x-3+y-3z=0,由可得x=,y=.8.【解析】n=(0,1,-1)是平面的一个法向量，且l,n=(0,1,-1)是直线l的一个方向向量，s=±(0,)，即s=(0,)或(0，).答案：(0, )或(0，)9.【解析】a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).ac,m+4+m+2n-4+m-n+1=0,即3m+n+1=0. bc,2(m+2n-4)-(m-n+1)=0,即m+5n-9=0, 由得:m=-1,n=2.答案：-1，210.【思路点拨】建立空间直角坐标系，利用坐标法解决.

8、【解析】以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(，1)，=(-，-，1)， =(-1，1，0)，显然·=-+0=0，即CEBD.答案：垂直11.【证明】如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设ACBCBB12，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2).(1)由于(0，-2，-2)，(-2，2，-2)，所以0-4+40

9、，因此，故BC1AB1.(2)取A1C的中点E，连结DE，由于E(1，0，1)，所以(0，1，1).又(0，-2，-2)，所以.又ED和BC1不共线，所以EDBC1.又DE平面CA1D，BC1平面CA1D，故BC1平面CA1D.【变式备选】如图，在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点.求证：平面POD平面PAC.【证明】如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，D(-，0).设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量，则

10、由n1·=0, n1·0，得所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·0，n2·0,得所以x2=-z2,y2=z2.取z2=1,得n2=(-,1).因为n1·n2=(1,1,0)·(-，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.【一题多解】由原题知：POO，CA平面O，OPAC.AD=CD,ODAC.OPODO，AC平面POD.AC平面PAC，平面POD平面PAC.12.【解析】(1)因为四棱锥S-ABCD中，ABCD为矩形，SDAD,且SDAB

11、,所以SD平面ABCD.BD就是SB在平面ABCD上的射影.因为AB=2AD，E为CD上一点，且CE=3DE.tanDAE=,tanDBA=,DAE=DBA,DAE+BDA=90°.AEBD，AESB.SBBD=B,AE平面SBD.(2)假设存在点M，N满足MNCD且MNSB.建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,2a,0),B(a,2a,0),S(0,0,a),设=(a,2a,0)+t(-a,-2a,a)=(a-ta,2a-2ta, ta)(t0,1),即M(a-ta,2a-2ta, ta),N(0,y,0),y0,2a,=(a-ta

12、,2a-2ta-y, ta).使MNCD且MNSB,则可得t=0,1,y=a0,2a.故存在点M，N使MNCD且MNSB，M(),N(0,a,0).13.【思路点拨】建立空间直角坐标系.(1)可证明与平面PAD的法向量垂直；也可将分解为平面PAD内的两个向量的线性组合，利用共面向量定理证明.(2)取AP中点E，利用向量证明BE平面PAD即可.【证明】由题意可知：以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC=30°.PC=2,BC=2,PB=4.D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),=(0,-1,2), =(2,3,0),=(,0, ).(1)方法一:令n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即令y=2,得n=(-,2,1).n·= =0,n.又CM平面PAD，CM平面PAD.方法二:=(0,1,-2), =(2,4,