相似三角形练习题及答案资料

1、相似三角形练习题（附答案）1如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试说明：ABFEAD考点：相似三角形的判定；矩形的性质。菁优网版权所有专题：证明题。分析：根据两角对应相等的两个三角形相似可解解答：证明：矩形ABCD中，ABCD，D=90°，（2分）BAF=AED（4分）BFAE，AFB=90°AFB=D（5分）ABFEAD（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角2已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AM

2、N是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P求证：PBDAMN考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。菁优网版权所有专题：几何综合题。分析：（1）因为BAC=DAE，所以BAE=CAD，又因为AB=AC，AD=AE，利用SAS可证出BAECAD，可知BE、CD是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证AMN是等腰三角形（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变（3）

3、先证出ABMACN（SAS），可得出CAN=BAM，所以BAC=MAN（等角加等角和相等），又BAC=DAE，所以MAN=DAE=BAC，所以AMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBDAMN（两个角对应相等，两三角形相似）解答：（1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分别是BE，CD的中点，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（1）同理可证ABMACN

4、，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）3如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是

5、否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。菁优网版权所有专题：动点型。分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在解答：解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（62x）x=×3×6，即x23x+2=0，（2

6、分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90°，因此有或（5分）即，或（6分）解，得t=；解，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似（8分）点评：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为x

7、，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可4如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45°，BDC=60°，CEBD于E，连接AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求BEC与BEA的面积之比考点：相似三角形的判定；三角形的面积；含30度角的直角三角形。菁优网版权所有专题：综合题。分析：（1）根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半，可知CD=2ED，则可写出相等的线段；（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断ADEAEC；（3）要求BEC与BEA的面积

8、之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作BEA的边BE边上的高即可求解解答：解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60°，在RtCED中，ECD=30°CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30°=ECDAE=CE（2）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延长线于F，设AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30°在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30°，sinAEF=，AF=AEsinAE

9、F=点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广5如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论考点：相似三角形的判定；菱形的判定。菁优网版权所有专题：综合题。分析：（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；（2）因为B=C=PMC=QMB，所以PMCQMBABC；（3）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为

10、菱形解答：解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMBAB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMAB，PCMACB，QMAC，BMQBCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形点评：此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用6已知矩形

11、ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？考点：相似三角形的判定；矩形的性质。菁优网版权所有专题：几何动点问题；分类讨论。分析：要使以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似，则要分两两种情况进行分析分别是PBQBDC或QBPBDC，从而解得所需的时间解答：解：设经x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90°，（1）当1=2时，有：，即；（2）当1=3时，有：，即，经过秒或2秒，PBQBCD点评：

12、此题考查了相似三角形的判定及矩形的性质等知识点的综合运用7问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与O相切于点M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长

13、；需要时可采用等式1562+2082=2602）考点：相似三角形的应用。菁优网版权所有专题：阅读型；转化思想。分析：此题属于实际应用问题，解题时首先要理解题意，然后将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题解答，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例解答解答：解：（1）由题意可知：BAC=EDF=90°，BCA=EFDABCDEF，即，（2分）DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m（3分）（2）解法一：与类似得：，即，GN=208（4分）在RtNGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260（5分）设O的半径为rc

14、m，连接OM，NH切O于M，OMNH（6分）则OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，（7分），又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景灯灯罩的半径是12cm（8分）解法二：与类似得：，即，GN=208（4分）设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH（5分）则OMN=HGN=90°，又ONM=HNG，OMNHGN，即，（6分）MN=r，又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8（7分）在RtOMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r29r36=0，解得：r1=12，r2=3（不合题意，舍去），景灯灯罩的

15、半径是12cm（8分）点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意8阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC考点：相似三角形的应用。菁优网版权所有专题：应用题。分析：因为光线AE、BD是一组平行光线，即AEBD，所以ECADCB，则有，从而算出BC的长解答：解：AEBD，ECADCB，EC=8.7m，ED=2.7m，CD=6mAB=1.8m，AC=BC+1.8m，BC=

16、4，即窗口底边离地面的高为4m点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高9如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2

17、，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论考点：相似三角形的性质；勾股定理。菁优网版权所有专题：开放型；探究型。分析：利用直角ABC的边长就可以表示出S1、S2、S3的大小三角形的边满足勾股定理解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3证明如下：显然，S1=，S2=，S3=S2+S3=S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3证明如下：所作三个三角形相似=1S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3点评：本题是对勾股定理进行的证明，难易程度适中10（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长考点：相似三角形的性质；比例的性质。菁优网版权所有专题：计算题。分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z再根据