线性代数串讲资料

1、线性代数串讲资料第一部分 课程性质与设置目的一、课程的性持、地位和任务；（P203）“线性代数（经管类）”是各专业（本科段）的一门重要的公共基础课程，是为培养各种与经济和管理有关的人才而设置的。线性代数是讨论有限维空间的线性理论的一门科学，为处理线性问题提供了有力的工具。在当今科学技术飞速发展，特别是计算机和学和信息技术的应用日新月异，科学管理理念日益加强的时代，作为描述和研究实际问题的有力工具，线性代数的理论和方法已渗透到各个科技领域以及经济学和管理科学，在工程技术和国民经济的许多领域都有广泛的应用。学习本课程，不仅使者掌握本课程的基本理论和方法，为学习考试计划中的多门后继课程提必需的基础知

2、识，而且有利于提高自学者的教学修养，养成善于抽象思维和逻辑推理的习惯，从而能提高自学者分析和解决实际总是的能力。二、本课程的基本要求和重点：基本要求：（1）理解行列式的性质，会计算行列式；（2）熟练掌握矩阵的各种运算（3）会判别向量组的线性相关性与线性无关性，理解向量组的秩和矩阵的秩的概念及其关系；（4）掌握线性方程组的解的结构和求解方法；（5）会求实力阵的特征值和特征向量，理解方阵可对角化的条件，掌握方阵对解化的计算方法；（6）了解实二次型概念和正定二次型的判别方法。本课程的重点是行列式计算、矩阵运算和解线性方程组。考生在自学过程中，要切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法。通过做相

3、当数量的练习，具有比较熟练的运算能力，同时培养抽象思维能力和逻辑推理能力，并不断提高自学能力。三、本课程与有关课程的联系；学习本课程，要求考生具备记中数学的基础知识。本课程是经济管理类（本科段各专业的公共基础课程，学习本课程又为经济管理类的各专业和后继课程（如经济学等）奠定必要的数学基础。第二部分 自学考试大纲第一章 行列式1、行列式的定度。要求达到“识记”层次。1.1 熟练计算二阶与三阶行列式。1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。1.3 了解行列式的按其第一列展开的递归定义。1.4 熟记三角行列式的计算公式。2、行列式的性质与计算。要求达到以“简单应用”层次2.1 掌握并会熟

4、练运用行列式的性质。2.2 掌握行列式的基本计算方法。2.3 会计算具有特殊开头的数字和文字行列式以及简单的n阶行列式。2.4 低阶范围德蒙德行列式的计算。3、克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。3.1 知道克拉默法则。3.2 会用克拉默法则求解简单的线性方程组。第二章 矩阵1、矩阵的定义。要求达到“识记”层次1.1 理解矩阵的定义。1.2 知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。1.3 清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别。2、矩阵运算及其运算规律。要求达到 “综合应用”层次2.1 掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律。2.2 理解数乘

5、矩阵运算的定义。注意的区别，熟练运用其中n是方阵A的阶数。2.3 掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换律和消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的区别。2.4 会用方阵行列式的乘法规则：当A，B 同阶方阵时，有|AB|=|A|·|B|。2.5 知道矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意（AB）T=BTAT。2.6 知道对称矩阵和反对称矩阵的定义。3、方阵的逆矩阵。要求达到“领会”层次3.1 理解可逆矩阵的概念与性质。3.2 熟练掌握方阵的可逆条件和求逆运算律，知道|A|0是A可逆的充要条件。3.3 理解方阵的伴随矩阵的定义。会用两个基本结论：AA*=|

6、A|E，|A*|=|A|n-1。3.4 会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。3.5 会解矩阵议程。4、分块矩阵。要求达到“识记”层次4.1 知道分块矩阵的定义。4.2 理解分块矩阵的加法、数乘和乘法运算以及分块矩阵的转置运算。4.3 会求准对角矩阵和准三角矩阵的行列式。5、矩阵的初等变换与初等方阵。要求达到以“简单应用”层次5.1 理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系5.2 知道初等方阵的逆矩阵5.3 知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。5.4 会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。6、矩阵的秩的定义。要求达到“领会”层次。6.1 理解矩阵的秩的定义。6.2 知道方阵满

7、秩的概念及基性质。7、矩阵的秩的求法。要求达到“简单应用”层次。7.1 会根据一义求比较简单的矩阵的秩7.2 会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。第三章 向量空间1、n维向量的定义与向量组的线性组合。要求达到“简单应用”层次1.1 知道n维向量的定义。1.2 掌握向量的线性运算及运算法则。1.3 理解向量是向量组的线性级合（即某向量可用某向量组线性表出）的定义及期线性方程组形式表示法。1.4 掌握求线性组合系数的方法。2、向量组的线性相关与线性无关。2.1 理解向量组线性相关和线性无关的定义。2.2 掌握求线性相关系数的方法（解齐次线性方程组）。3、向量组的极大无关组和向量

8、组的秩。要求达到“简单应用”层次。3.1 理解两个向量组等价的概念3.2 理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原向量组的等价关系，并会求向量组的极大线性无关组。3.3 理解向量组的秩的概念，并会求向量组的秩。4、向量组的秩与矩阵的秩的关系。要求达到“识记”层次。4.1 知道矩阵的行秩与列秩的定义及其与矩阵的秩的关系。4.2 熟知关于矩阵的秩的重要结论。5、向量空间。要求达到“识记”层次5.1 知道向量空间及其子空间的定义。5.2 知道向量空间的基和维数的概念。5.3 会求向量在某个基下的坐标。第四章 线性方程组1、齐次线性方程组有非零解的充要条件。要求达到“领会”层次。1.1 理解齐次线性方

9、程组有非零解的充要条件2、齐次线性方程组解的性质与解空间。要求达到“领会”层次。2.1 理解齐次线性方程组解的性质。2.2 理解齐次线性方程组的解空间的概念3、齐次线性方程组的基础解系与通解。要求达到“综合应用”层次。3.1 理解齐次线性方程组的基础解系的定义，会判定基础解系所含向量的个数。3.2 掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法；会化齐次线性方程组的系数矩阵为简化行形矩阵；会写出方程组的通解。4、非齐次线性方程组有解的充要条件。要求达到“领会”层次4.1 理解非齐次线性方程组有解的判别定理。4.2 掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。4.3 会讨论含参数的

10、非齐次线性方程组的求解问题。5、非齐次线笥方程组解的性质、解的结构和通解的求法。要求达到“综合应用”层次。5.1 理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系。5.2 熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。第五章 特征值与特征向量1、特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次1.1 理争实方阵的特征值和特征向量的定义。1.2 理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。2、相似矩阵的定义与性质。要求达到“领会”层次。2.1 理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。3、方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次3.1 熟知n阶实方阵相似于对解矩

11、阵的充分必要条件。3.2 熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A有n个互不相同的特征值。3.3 掌握用相似变化方阵为对解矩阵的方法。4、向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。4.1 清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向一的内积。4.2 知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。4.3 理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。4.4 知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。4.5 熟练掌握正交矩阵的定义及其性持。4.6 掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。5、实对称稀阵的性质。要求达到“识记”层次。5.1 知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。5.2 知道实对称矩阵的

12、必正交相似于对角矩阵。6、实对称矩阵的正交相似标准。要求达到“简单应用”层次。6.1 会求实对称矩阵的正交相似标准形。第六章 实二次型1、实二次型的定义及其矩阵表示。要求达到“领会”层次1.1 知道实二次型的定义及其矩阵表示。2、实二次型的标准形。要求达到“领会”层次2.1 知道实二次型的标准形2.2 知道矩阵合同的定义。3、化实二次型为标准形。要求达到“简单应用”层次。3.1 知道正交变换的定义。3.2 掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。3.3 知道用配方法化实二次型为标准形的方法。4、惯性定理与二次型的规范形。要求达到“识记”层次。4.1 知道惯性定理。知道二次型的秩及二次型的正、负

13、惯性指数及符号差。4.2 知道二次型的规范形。5、正定二次型与正定矩阵。要求达到“领会”层次5.1 理解正定二次型和正定矩阵的概念5.2 掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。第三部分 考点提示一、行列式：1、行列式的性质与计算；2、克拉默法则3、余子式与代数余子式二、矩阵：1、矩阵运算及其运算规律2、方阵的逆矩阵3、矩阵的初等变换和初等方阵4、矩阵秩的定义和秩的求法三、向量空间1、线性组合系数的计算；2、向量组线性相关和线性无关的概念及其判别法；3、向量组等价的概念4、向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法；5、向量组的秩与矩秩的关系；6、子空间及其基、维数和坐标的概念。四、线性方程组：

14、1、齐次线性方程组有非零解的充要条件；2、齐次线性方程组解的性质与解空间，基础解系和通解概念3、齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；4、非齐次线性方程组有解及及惟一解的定要条件5、非齐次线性方程组解的性质与解的结构；6、非齐次线性方程组的通解的求法五、特征值与特征向量1、实方阵的特征值和特征向量的定义，性质与计算；2、同阶实方阵相似的定义与性质；3、方阵的相似对角化4、实向量的内积、长度及其正交性5、正交向量组与正交矩阵6、施密特正交化方法；7、实对称矩阵的正交相似对角化六、实二次型1、实二次型的定义及其矩阵表示；2、实二次型的标准型3、惯性定理与实二次型的规范形；4、正定二次型和正定矩阵的

15、概念与判别方法第四部分 考点串讲（按标准试卷题序串讲）一、单选：1、行列式的计算本题型为历年必考题型，其有两种形式一种直接解答，考查其运算能力，其次是考查如何利用性质求行列式解，应掌握这两种方法：1）利用传统的计算方法直接计算；2）利用性质巧计算，主要性质有：行列式和它的转置行列式相等；行列式可以按行列提出公因数；互换行列式中的任意两行（列），行列式的值改变符号；如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零行列式或以按行（列）拆开把行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上去，所得行列式值不变。2、字母型行列式计算本题型主要考查考生利用矩阵行列

16、式公式能力，主要涉及公式有：1）|KA|=Kn|A|2）3）4）5）3、考查方阵的性质及公式，主要是会灵活运用公式，主要有以下公式：1）2）3）4）5）4、考查伴随矩阵的求法1）求件随机矩阵先求出各元素的代数佘子式，再把每行对应的代数佘子代换成对应的例。2）根据公式：5、求方阵的逆距阵：求方阵的逆矩阵也有两种方法，根据实际情况选定：1）根据公式：先求出A*2）利用初等行变换求逆矩阵6、向量组线性相关与线性无关的考查这种题型有两种考法1）利用线性相关这一已知条件可实数：如若向量组线性相关，则实数t为多少？解：因为已知向量组线性相关所以有2）根据线性相关与线性无关性质关断某些推断的正确与否如：已知

17、量组线性相关，那么线性无关，B、线性相关C、线性表示 D、线性无关根据线性相关组的扩充向量组必为相关组，所以造B7）考查A与B相似性质：设立A和B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P使得则称A和B是相似的，记为A与B相似有： trA=trB|A|=|B|8、考查线性方程组的解法：1）齐次线性方程组的解：若是齐次线性方程组的解，则也是的解若是齐次线性方程组的解，k是任意实数，则k也是的解。2）非齐次线性方程组的解：如果是非齐次线性方程组的解，则是它的导出组的解。如果y是非齐次线方程组的解，是它导出组的解，则必是的解。9、考查正交向量性质：设如果则称与正交，记为例：下列向量中与=（1、1、-

18、1）正交的向量是（ ）A、=（1、1、1）B、=（-1、1、1）C、=（1、-1、1）D、=（0、1、1）跟据性质不难得出D为正确答案10、本题一般考察由所给的二次型转化为对称矩阵或由对称矩阵转化为对应的二次型，P164本题型简单应该必得二、填空题11、本题仍然考查行列式的计算性质如等相关公式的运用例，设A为三阵方阵且|A|=3，则|2A|=23|A|=8×3=2412、本题主要考查矩阵的性质及相关运算1）矩阵的乘法利用基本的矩法运算法则进行运算2）求伴随矩阵利用最基本的概念求伴随矩阵3）求可逆矩阵利用公式求方阵的逆矩阵利用矩阵的初等变换求伴随矩阵4）转置运算律（A+B）=AT+BT

19、5）方阵行列式的性质（行列式乘法规则）6）可逆矩阵的基本性质：设为同阶的可逆方阵，常数为可逆矩阵、且AB为可逆矩阵、且kA为可逆矩阵、且AT为可逆矩阵、且可逆矩阵可以从矩阵等式的周侧消去，即当P为可逆矩阵地有：设A是n阶可逆矩阵我们记并定义其中k是任意正整数则有：这里，k和a为任意整数（包括负整数、零和正整数）13、考查齐次方程的基础解系所含向量的个数：设A为矩阵，的基础解系中解向量个数为n-r14、考查齐次线性方程组有非零解的条件：者齐次线性方程组有非零解，则必有|A|=015、考查矩阵秩的求法：1）给出了已知矩阵求法矩阵的秩利用矩阵的初等行变化求秩，秩即为矩阵非零行个数，2）给出了几个向量

20、最后间向量组成向量组的秩，其解法是相同的已知向量组的秩为2则数t=-2解：因秩为16、考查解方程解的性质17、考查方阵特征值的求法1）根据特征值的和等于方阵的迹，求方阵的特征值例：已知为矩阵的2重特征值，则A的另一个特征值为 。解：根据特征值的和等于方阵的迹，得：2）根据特征值之积等于|A|的值。例：设三阶方阵A的三个特征值为1、2、3则|A+E|= 解：三阶方阵的特征值为1、2、3则A+E的特征值为2、3、418、由二次型转化为标准型，或由标准型转化为二次型19、利用二次型正定的性质，求R的取值范围例：二次型正定则数k的取值范围为 解：第一次先将二次型转化为标准型第二次列式20、一般考查向量

21、内积的性质：向量内积有以下基本性质：对于TE取的有：1）对称性2）线性性 它们可以合并为例：设与的内积（）解： 三、计算题：21、本题主要考查行列式值的求法；知识点一常规解法知识点二利用行列式的性质求解22、求方阵的可逆矩阵知识点一利用公式求可逆矩阵知识点二利用矩阵的初等变化求23、考查知阵的运算其中包括可逆矩阵，转置矩阵性质及运算律的考查24、求向量组的极大线性无关组知识点利用矩阵的初等行变化求极大线性无关组，25、解方程组的解：知识点一解齐次线性方程组的解知识点二解非齐次线性方程组的解26、求对角矩阵四、证明题：本大题主要考查线性相关与线性无关及其相关知识，例：设向量组线性无关，证明向量组

22、也线性无关。其次考查矩阵的性质：如例：设n阶矩阵A满足A2=A证明E-2A可逆；且（E-2A）-1=E-2A第五部分 必考题型分析一、求行列式的值近年来此题型为计算题第一题，历年必考，一般多以技巧性解题为主，充分利用性质解答。例：计算四阶行列式解：通过观察，行列式的每列之和皆为3得：本题即充分利用性质解题，而非常规硬算，那样计算量太大很难正确，利用性质计算量大大下降，且正确率也必然上升二、求方阵的可逆矩阵可逆适阵的求法是楞年必考题，多以计算大题形式出现，解此种类型题，主要是通过矩阵的初等交换求方阵的可逆矩阵例：设矩阵 。解：解析把原矩阵化为单位矩阵，同时单位矩阵按照其同样的初等变化转化为A-1

23、三、由矩阵性质及运算法则求矩阵X本题型也为历年必考题型，多以大题出现，难度不大，但容易出错，在解管过程中关键是要对运算细节的把握。例：已知X满足解： 在本题中要特别留意其中A-1是左乘、位置一定要定位准确，这是关键之处，也集中表现出矩阵，行列式这块内容的位置特性，且矩阵是矩阵行列式是行列式，行列式实质上是一个数，而矩阵则不然四、求向量组的极大线性无关组：求向量组的极大线性无关组其实与求向量组或矩阵的秩是同一个过程，都是首先通过矩阵的初等行变化，将其矩阵转化为阶梯形矩阵再求解：例：求向量组的极大无关组并将其余向量由极大无关组线性表示解：以、为列向量的矩作初等行变换有：所以、为极大无关组并且五、解

24、非齐次线性方程组：设y是的任意一个解，是导出组的一个基础解系，则，就是的通解。求法：对（A、b）进行初等行变换化简化成行阶梯形矩阵对写出原方程组同解的方程组，确定自由未知量设自由未知量为零，可得到的特解y*再写出与原方程组的导出组同解的方程组，确定自由未知量令自由未知量为单位向量组，可得到导出组的基础解系写出的能解为任意实数）例：为何值时，线性方程组有解，并求解解： 当方程组有唯一解，此时 所以解为：当方程组有无穷多解，此时得到同解的线性方程组为即：=1-分别令可求得基础解系为所以通解为实数）六、特征值与特征向量的求法：定义：设A=（）为n阶实方阵，如果存在某个数和某个n维非零列向量P满足，AP=P则称是的一个特征值，P是A的属于这个特征值的一个特征向量。2、求法：（1）写出特征多项式求出特征方程=0的所有根，这些根就是A的全部特征值。（2）对特征值，求出齐次线性方程组的所有非零解，这些就是A属于这个特征值的特征向量（3）例题