二项式定理知识点和各种题型归纳带答案

1、学习资料收集于网络，仅供参考二项式定理1二项式定理：( a b)nC n0anCn1 an 1bCnr an r brCnnbn (n N ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数C nr( r 0,1,2, , n) .项数：共 ( r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第r 1 项 C nr a n r br叫做二项式展开式的通项。用Tr 1Cnr anr br表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1) 项。顺序：注意正确选择a , b , 其顺序不能更改。 (ab) n 与 (ba)n 是不

2、同的。指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。b 的指数从0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0, Cn1 ,Cn2 , Cnr , Cnn . 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令 a1,bx,(1x)nCn0C n1 xC n2 x2C nr xrCnn xn ( nN )令 a1,bx,(1x) nCn0C n1 xC n2 x2Cnr x r(1)n Cnn xn ( nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等， 即 Cn0

3、Cnn，···CnkCnk 1二项式系数和：令ab1, 则二项式系数的和为Cn0C n1Cn2CnrCnn2n ，变形式 Cn1C n2CnrCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a 1,b1 ，则 C n0Cn1C n2Cn3(1)n Cnn(1 1)n0 ，从而得到： Cn0Cn2Cn4C n2 rC n1Cn3Cn2r112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：学习资料学习资料收集于网络，仅供参考( a x)nCn0a n x0Cn1an 1x Cn2an 2 x2C nn a0 xna0 a1x1a2x 2an

4、x n( x a)nCn0a 0 xnCn1ax n 1C n2a 2 xn 2Cnn an x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an(a 1)n得 ,a0a2a4an(a1)n2( a 1)n(奇数项的系数和)得 , a1a3a5an(a1)n(a 1)n(偶数项的系数和)2n二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2 取得最大值。n 是奇数时，则中间两项的二项式系数n 1n1如果二项式的幂指数Cn2, C n2同时取得最大值。系数的最大项：求(abx) n 展开式中最大的项

5、，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, An1 ，设第 r1 项系数最大，应有Ar1ArAr，从而解出 r 来。1Ar 26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例： Cn1C n2 6 Cn3 62C nn 6n 1.解： (1 6) nCn0C n16Cn2 62C n3 63Cnn 6n 与已知的有一些差距，C n1Cn2 6 Cn3 62C nn 6n 11 (Cn1 6 Cn2 62C nn 6n )1611(C n0Cn16C n262Cnn 6n1)(1 6) n1(7 n1)666练： Cn13Cn29Cn33n 1 Cnn.解：设 S

6、nC n13C n29C n33n 1 C nn ，则3SnCn13 Cn2 32Cn3 33C nn 3nCn0Cn13 Cn2 32Cn3 33C nn 3n1 (1 3) n 1Sn(13)n14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 4 13 x2 ) n 的展开式中倒数第3项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？x解：由条件知 Cnn 245 ，即 Cn245 ， n2n 90 0 ，解得 n9(舍去 )或 n 10 ，由学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1210 r2rTr 1 C10r (x 4 )10r ( x3 )rC10r x43，由题意10

7、r2 r 3,解得 r6 ，43则含有 x3 的项是第7项T61C106 x3210 x3,系数为 210 。练：求 (x21 )9 展开式中 x9 的系数？2 x1 )r1 )r x r1 )r x18 3r ，令 18 3r解： Tr 1C9r ( x 2 )9 r (C9r x18 2r (C9r (9 , 则 r 32x22故 x9 的系数为 C93(1 )321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10 的展开式中的常数项？2xC10r ( x2 )10 r (C10r20 5 rC108( 1)8解：Tr 11) r( 1 )r x2，令205r 0，得 r

8、8 ，所以 T9452x222256练：求二项式 (2 x1)6 的展开式中的常数项？2x解： Tr 1C6r (2 x) 6r (1)r ( 1)r(1)r C6r 26r ( 1 )r x62r ，令6 2r0 ，得 r3，所以2x2T4(1)3 C6320练：若 (x21 )n 的二项展开式中第5项为常数项，则n_.x解： T5Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 (x3 x)9展开式中的有理项？1127r解： Tr 1C9r ( x 2 )9 r ( x 3 )r(

9、1)r C9r x 6 ，令 27rZ ,( 0 r 9 ) 得 r3或 r9 ，6所以当 r 3时， 27r4，T4 (1)3 C93 x484 x4，6当 r9时， 27r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21)n 展开式中偶数项系数和为256，求 n .3x2解：设 (x21)n 展开式中各项系数依次设为a0 , a1 ,an ,3x2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考令 x1, 则有 a0a1an0, ， 令 x1, 则有 a0a1a2a3( 1)n an2n , 将 - 得： 2( a1a3 a5)2n ,a

10、1a3 a52n 1 ,有题意得，2n 125628 ，n 9。练：若 (3 1512 )n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。xx解： C n0C n2C n4Cn2rCn1C n3Cn2 r 12n1 ，2n 11024 ，解得 n 11C n5 ( 3 1 )6 ( 5 12 )5462 x 4 ， T661所以中间两个项分别为 n6, n7，T5 11 462x 15xx题型六：最大系数，最大项；例：已知 ( 12x)n ，若展开式中第5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解： Cn4Cn62C n5 ,

11、n221n980, 解出 n7或 n14，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5T4的系数C73( 1) 4 2335 ,， T5的系数C74 ( 1) 32470, 当 n142212时，展开式中二项式系数最大的项是T8 ，T8的系数C147 ()7 273432 。2练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn1 ，也就是第 n1项。12练：在 ( x1) n 的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x解：只有第5 项的二项式最大，则n15 ，即 n8,

12、所以展开式中常数项为第七项等于261 2C8()7例：写出在 ( ab)7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第 4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 T4C73a4b3 的系数最小， T5C74a3b4系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ，求 (12x)n 的展开式中系数最大的项？2解：由 Cn0C n1C n279, 解出 n 12 , 假设 Tr1 项最大，( 12x)12(1 )12 (1 4x)1222学习资料学习资料收集于网络，仅供参考Ar 1ArC12r 4rC12r1 4r 1，化简得到

13、 9.4r 10.4，又0 r 12 ， r10 ，Ar 1ArC12r 4rC12r1 4r 12展开式中系数最大的项为T11 ,有 T11( 1)12 C1210 410 x1016896 x102练：在 (12x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr 1 项最大，Tr 1C10r 2r xrAr1ArC10r 2rC10r1 2r1解得2(11r )r，化简得到6.3k7.3，又C10r 2rC10rAr1Ar21 2r1 ,r12(10r )0r10，r7 ，展开式中系数最大的项为T8C10727 x715360 x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2)

14、 5 的展开式中 x 的一次项的系数？解法： ( x23x2) 5( x22)3x 5， Tr1C5r ( x22)5r (3 x) r，当且仅当 r1时， Tr 1 的展开式中才有x 的一次项，此时 Tr1T2C51( x22) 4 3x ，所以 x 得一次项为 C 51C 44 243x它的系数为 C51C44 243 240 。解法： ( x23x2) 5( x1)5 ( x2) 5(C50 x5C51x4C55 )(C50 x5C51 x4 2C55 25 )故展开式中含x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中x 的系数为 240.练：求式子 ( x12)

15、 3 的常数项？x解： ( x12) 3(x1 ) 6 ，设第 r1 项为常数项，则xxTr 1C 6r( 1)r6r( 1)6 C6r x6 2r，得 6 2r 0 , r 3 ,T3 1( 1)3 C6320 .x( 1 )rx题型八：两个二项式相乘；例： 求(12x) 3(1x)4 展开式中 x2的系数 .解： (12x)3的展开式的通项是 C3m(2 x) mC3m2m xm ,(1 x) 4的展开式的通项是C 4n ( x)nC 4n1nxn ,其中 m 0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn2, 则 m0且 n2, m 1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1

16、x) 4学习资料学习资料收集于网络，仅供参考的展开式中 x2的系数等于 C3020 C42 (1)2C3121C41(1)1C3222C40(1)06 .练： 求(1 3x)6 (11)10 展开式中的常数项 .4 x1mn4m 3n解： (13 x)6 (1)10 展开式的通项为 C6mx 3C10n x 4C6mC10nx124 x其中m0,1,2,6, n0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C60C100C63C104C66 C1084246.练： 已知 (1x x2 )( x13 ) n的展开式中没有常数项, nN*

17、且2n8,则 n_.1x解： (xn展开式的通项为rxnrx3rrxn4r, 通项分别与前面的三项相乘可得x3 )CnCnCnrxn 4 r ,C nrxn4 r1,C nrxn 4 r2 ,展开式中不含常数项, 2n8n 4r 且 n 4r1且 n4r2，即 n4,8且n3,7 且 n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 在( x2) 2006的二项展开式中 , 含 x的奇次幂的项之和为S,当 x2时, S_.解： 设( x2) 2006 =a0a1x1 a2 x2a3 x3a2006 x2006 -(x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3 x3a2006 x2

18、006- 得 2(a1 xa3 x3a5 x5a2005 x2005 )( x2) 2006( x2) 2006( x2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S( x)1 ( x2) 2006( x2) 2006 232006当 x2时,S(2)122)2006(22)20062223008(22题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3 x1) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s , 若xp s272 , 则 n 等于多少？解：若 (3 3 x1)na0 a1x a2 x 2an xn ，有 P a0 a1an ， SCn0C nn2n ，x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考令 x1得 P4n ，又 p s272, 即 4n2n272(2 n 17)(2 n16) 0 解得2n16或 2n1