材力附录1图形性质)

1、1截面的几何性质截面的几何性质附录附录2- -1 1 截面截面静矩和形心位置静矩和形心位置- -2 2 极惯性矩极惯性矩惯性矩惯性矩和和惯性积惯性积- -3 3 平行移轴公式平行移轴公式- -4 4 转轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩主惯性轴、主惯性矩平面图形的几何性质平面图形的几何性质附附 录录3 不同受力形式下的不同受力形式下的 应力和变形应力和变形，不仅取决于，不仅取决于外力外力的大小的大小 以及杆件的长度，而且与杆件以及杆件的长度，而且与杆件截面的几何性截面的几何性质有关质有关 。拉压：拉压：扭转：扭转：几何性质：几何性质： 选定坐标系后，大小仅与截面的选定坐标系后，大小仅与截面的

2、 几何形几何形状和尺寸状和尺寸 有关的量。有关的量。实质：实质： 求求dAdA对轴或坐标原点的对轴或坐标原点的n n次矩。次矩。4d Ay=d Sz AdAySz AdAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩(y 轴轴)dAyzoyz-1 -1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置一、静矩（面积矩）一、静矩（面积矩）1、定义：5特性特性 AdAySz AdAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩(y 轴轴)平面图形的静矩是对平面图形的静矩是对某一坐标轴某一坐标轴而言的；而言的；静矩数值可能为静矩数值可能为正正，可能为，可能为负负，也可为，也可为零零；静矩的量纲为：静矩的量纲为：长度长度6

3、AdAySz AdAzSy静力学静力学AAyyA dAAzzA dASz ASy yA zA dAyzoyz二、形心二、形心7讨论讨论yASz zASy 若若0 zS则则0 y若若0 yS则则0 z结论结论1. 若图形对某一轴的静矩等于零，则若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；该轴必通过图形的形心；2. 若某轴通过形心，则图形对该轴的若某轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。静矩等于零。8zy例题例题: : 求图示矩形截面对求图示矩形截面对 z、y的的 Sy和和 Sz方法一方法一: :dyyAzydAShybdy022bhhbdzz同理同理 : :AyzdASbzhdz022h

4、b方法二方法二: :yASz2hbh22bhzASy2bbh22hb方法三方法三: :AzydASbhdzydy0022bh同理同理 : :22hbSy9zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0例：例：求图形对求图形对y、z 轴的静矩轴的静矩10例：例：求图形阴影部分对求图形阴影部分对z 轴的静矩轴的静矩zCSAy34 8h hb2332bh zCSAy348hhbzybh34h2hzybh34h2h2332bh11三、三、组合图形组合图形（由若干个基

5、本图形组合而成的图形）（由若干个基本图形组合而成的图形）的静矩：的静矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、组合图形的形心四、组合图形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAcii 利用基本图利用基本图形的结果，可使形的结果，可使组合图形的形心组合图形的形心计算简单计算简单基本图形基本图形-指面积、形心位置已知的图形指面积、形心位置已知的图形12212211AAzAzAAzAzccciic例例 试确定下图的形心试确定下图的形心。212211AAyAyAAyAyccciic801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法解法1 1：1)1)、建立坐标如图示，分割图形、建

6、立坐标如图示，分割图形mmymmzmmAcc5,45,7001121mmymmzmmAcc60,5,12002222120120070012005700452)2)、求形心、求形心)7 .19 mm)(7 .3912007001200607005mm13解法二解法二：负面积法负面积法)(7 .19117812)77(459640mmzymmymmzmmAcc60,40,96001121mmymmzmmAcc65,45,1107022222C求形心：求形心：)(7 .397796)77(659660mm1C0C212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAycccii

7、c80120101010zy14yzO2010305105例：例：确定图形的形心的位置，并计算阴影部分对两坐标轴的确定图形的形心的位置，并计算阴影部分对两坐标轴的静矩。图示尺寸为静矩。图示尺寸为(mm)15yzO2010305105C1C2解：解：把图形看作由把图形看作由和和 两部分组成，在图示坐标系下，两部分组成，在图示坐标系下，C1(10,25)C2(10,10)A1=2010 =200mm2A2=1020 =200mm216图形形心的坐标：图形形心的坐标：C1(10,25)C2(10,10)A1=200mm2A2=200mm2212211AAyAyAy mm102002001020010

8、200 mm5 .172002001020025200 z17把阴影部分看作由把阴影部分看作由和和 两部分组成，在图示坐标系下，两部分组成，在图示坐标系下，C1(10,25)C2(10,17.5)A1=2010 =200mm2A2=105 =50mm2yzO2010305105C1C218C1(10,25)C2(10,17.5)A1=200mm2A2=50mm2阴影部分对阴影部分对y y 轴的静矩：轴的静矩： niiiyzAS1yzO2010305105C1C25 .175025200 3mm5875 阴影部分对阴影部分对z z 轴的静矩：轴的静矩： niiizyAS13mm250010501

9、0200 19特性特性 AdAySz AdAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩(y 轴轴)平面图形的静矩是对平面图形的静矩是对某一坐标轴某一坐标轴而言的；而言的；静矩数值可能为静矩数值可能为正正，可能为，可能为负负，也可为，也可为零零；静矩的量纲为：静矩的量纲为：长度长度回顾：回顾：一、静矩一、静矩20讨论讨论yASz zASy 若若0 zS则则0 y若若0 yS则则0 z结论结论1. 若图形对某一轴的静矩等于零，则若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；该轴必通过图形的形心；2. 若某轴通过形心，则图形对该轴的若某轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零。静矩等于零。21-2 2

10、 极惯性矩极惯性矩 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积一、惯性矩一、惯性矩（截面二次极矩）（截面二次极矩）1 1、定义、定义：dAdA对对z z轴的惯性距轴的惯性距: :dAdA对对y y轴的惯性距轴的惯性距: :2 2、量纲：、量纲：m m4 4、mmmm4 4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4 4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的取值恒为正值。5 5、极惯性矩：、极惯性矩：（对（对o o点而言）点而言）AodAI2pI222yz 图形对图形对z z轴的惯性矩轴的惯性矩: :图形对图形对

11、y y轴的惯性矩轴的惯性矩: :226 6、惯性矩与极惯性矩的关系：、惯性矩与极惯性矩的关系： 图形对任一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和恒图形对任一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII 惯性矩和惯性积是对一定惯性矩和惯性积是对一定轴轴 而定义的，而极惯而定义的，而极惯性矩，是对性矩，是对点点定义的。定义的。惯性矩和极惯性矩永远为惯性矩和极惯性矩永远为正正。yzdAzyo237 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算 实心圆形截面：实心圆形截面：空心圆截面空心圆截面)

12、(64144dDIIyzzcyccAAId2p324dDd44132DIp44164D644dIIzy24zy7 7、简单图形惯性矩的计算、简单图形惯性矩的计算 矩形截面：矩形截面：bhcdzzA2dAyIzd A=b dy222dhhyby123bh123hb同理同理A2dAzIyd A=hdz222dbbzhzdyy25二、惯性半径：二、惯性半径：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、简单图形的惯性积三、简单图形的惯性积1 1、定义：、定义：2 2、量纲：长度、量纲：长度4 4，单位：，单位：m m4 4、mmmm4 4。3 3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。Azyzyd

13、AI4 4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。5 5、规律：、规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。图形这一对坐标轴的惯性积为零。yzdAzyo26解：解：AzdAyI2AydAzI2zyozcyc已知已知：图形截面积图形截面积A，形心坐标，形心坐标yc、 zc 、Izc、Iyc、 a、b。Zc轴轴平行于平行于z z轴；轴；y yc c轴平行于轴平行于y y轴。轴。求求：I Iz z、I Iy y。-3 3 平行移轴公式平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式AAcczydAbz

14、ayyzdAI)(AAAccAccabdAdAybdAzadAzyyczcdAyzabcdAayAc2)(AAcAcdAadAyadAy222AcdAbz2)(AAcAcdAbdAzbdAz22227zyozcycyczcdAyzabcAzdAyI2AydAzI2AAAccAccyzabdAdAybdAzadAzyIdAayAc2)(AAcAcdAadAyadAy222AcdAbz2)(AAcAcdAbdAzbdAz222AaIIzcz2AbIIycy2abAIIzcycyz28注意：注意：zC、yC 为形心坐标。为形心坐标。 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系

15、的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab平行移轴公式平行移轴公式 在在所有相互所有相互平行平行的坐标轴中，图形对的坐标轴中，图形对 形心轴的惯性矩为形心轴的惯性矩为最小最小，但图形对形心轴的，但图形对形心轴的 惯性积不一定是最小惯性积不一定是最小 。 两平行轴中，两平行轴中，必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴, , 截面对任意两平行截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系轴的惯性矩间的关系, , 应通过平行的形心轴惯性矩来换算。应通过平行的形心轴惯性矩来换算。29二、组合图形的惯性矩和惯性积二、组合图形的惯性矩和惯性积zizIIy

16、iyIIziyizyII， 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：之和：思考思考30例 求图示直径为求图示直径为d d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 x xc c 的惯性矩。的惯性矩。解：解：-1222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc312、求对形心轴 xc 的惯性矩12826444ddIx181288

17、)(4422dddyIIcxxc由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc32例题例题: : 求图示截面对形心轴的惯性矩。求图示截面对形心轴的惯性矩。1. 1.求形心：求形心：332. 2. 矩形矩形截面对截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩: :3. 3. 矩形截面对矩形截面对xc轴的惯性矩轴的惯性矩: :1cx2cx34二、惯性矩二、惯性矩、极惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性积yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2ApdAI2yzpIII惯性矩和惯性积是对一定惯性矩和惯性积是对一定轴轴 而定义的，而极惯矩，是对而定义的，而极惯矩，是对点点定义的

18、。定义的。惯性矩和极惯矩永远为惯性矩和极惯矩永远为正正。AzyzydAI两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。标轴的惯性积为零。对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远越远，其惯性，其惯性矩矩越大越大。35简单图形惯性矩的计算简单图形惯性矩的计算 实心圆形截面：实心圆形截面：空心圆截面空心圆截面zcycc324pdIDd44132DIp44164DIIzy644dIIzy 矩形截面：矩形截面：zybhc123bhIz123hbIy36注意：注意：zC、yC 为

19、形心坐标。为形心坐标。 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab 在在所有相互所有相互平行平行的坐标轴中，图形对的坐标轴中，图形对 形心轴的惯性矩为形心轴的惯性矩为最小最小，但图形对形心轴的，但图形对形心轴的 惯性积不一定是最小惯性积不一定是最小 。 两平行轴中，两平行轴中，必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴, , 截面对任意两平行截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系轴的惯性矩间的关系, , 应通过平行的形心轴惯性矩来换算。应通过平行的形心轴惯性矩来换算。三、平

20、行移轴公式三、平行移轴公式37例例 试求图a 所示截面对于对称轴 x 的惯性矩。解：解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对 x 轴的惯性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一个半圆对其自身形心轴 xc 轴的惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3383、一个半圆对 x 的惯性矩由平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx4、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(

21、a)d=8040100a=10040 a+2d339特性特性 AdAySz AdAzSy图形对图形对z 轴的静矩轴的静矩(y 轴轴)平面图形的静矩是对平面图形的静矩是对某一坐标轴某一坐标轴而言的；而言的；静矩数值可能为静矩数值可能为正正，可能为，可能为负负，也可为，也可为零零；静矩的量纲为：静矩的量纲为：长度长度回顾：回顾：一、静矩一、静矩40讨论讨论yASz zASy 若若0 zS则则0 y若若0 yS则则0 z结论结论1. 若图形对某一轴的静矩等于零，则若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；该轴必通过图形的形心；2. 若某轴通过形心，则图形对该轴的若某轴通过形心，则图形对该轴

22、的静矩等于零。静矩等于零。41二、惯性矩二、惯性矩、极惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性积yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2ApdAI2yzpIII惯性矩和惯性积是对一定惯性矩和惯性积是对一定轴轴 而定义的，而极惯矩，是对而定义的，而极惯矩，是对点点定义的。定义的。惯性矩和极惯矩永远为惯性矩和极惯矩永远为正正。AzyzydAI两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。标轴的惯性积为零。对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远越远，其惯性，其惯性矩矩越大越大。

23、42简单图形惯性矩的计算简单图形惯性矩的计算 实心圆形截面：实心圆形截面：空心圆截面空心圆截面zcycc324pdIDd44132DIp44164DIIzy644dIIzy 矩形截面：矩形截面：zybhc123bhIz123hbIy43注意：注意：zC、yC 为形心坐标。为形心坐标。 a、b为图形形心在为图形形心在yoz坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab 在在所有相互所有相互平行平行的坐标轴中，图形对的坐标轴中，图形对 形心轴的惯性矩为形心轴的惯性矩为最小最小，但图形对形心轴的，但图形对形心

24、轴的 惯性积不一定是最小惯性积不一定是最小 。 两平行轴中，两平行轴中，必须有一轴为形心轴必须有一轴为形心轴, , 截面对任意两平行截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系轴的惯性矩间的关系, , 应通过平行的形心轴惯性矩来换算。应通过平行的形心轴惯性矩来换算。三、平行移轴公式三、平行移轴公式44-4 -4 转轴公式转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式 dA 在坐标系在坐标系 ozy 和坐标系和坐标系oz1y1 的的坐标分别为（的的坐标分别为（z，y ）和（）和（z1 ， y1 ）sincossincos11zyyyzz代入代入惯性矩惯性矩的定义式：的定义式：AyIAzd

25、211zyOzyzy11ABCDEdAzy11已知已知：A、Iz、Iy、Izy、。 求求：Iz1、Iy1、Iz1y1。45cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI 利用二倍角函数代入上式，得利用二倍角函数代入上式，得 转轴公式转轴公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII 的符号为：从的符号为：从 z 轴至轴至 z1 轴轴 逆时针逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEd

26、Azy1146yzyzIIII11 上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩点的极惯性矩将前两式相加得将前两式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11472cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII

27、1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0-5 -5 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩482200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求得 和和 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin000yzI且492 2、主惯性矩（主矩）：、主惯性矩（主矩）： 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩Iz0、Iy0 称称为主惯性矩为主惯性矩，主惯性矩为图形对，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。3 3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）： 如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯性轴。（惯性轴。（Izcyc= 0=