材料力学 沈玉凤14)

1、强度理论强度理论解决了组合变形的强度问题解决了组合变形的强度问题 组合变形的刚度问题怎么办？组合变形的刚度问题怎么办？能否避免组合变形的微分方程能否避免组合变形的微分方程能否只求出若干控制点的变形，避免求整能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线个变形曲线弯曲变形弯曲变形 积分法求变形积分法求变形得到整个挠曲线得到整个挠曲线13-1 概述概述 13-2 杆件应变能的计算杆件应变能的计算 13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式13-4 互等定理互等定理13-7 莫尔积分莫尔积分13-8 图形互乘法图形互乘法13-5卡氏定理卡氏定理弹性体受拉力弹性体受拉力P作用，当作用，当P从零开始

2、到终值缓慢从零开始到终值缓慢加载时，力加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零在其作用方向上的相应位移也由零增至终值增至终值L；一方面：一方面：力要做功；力要做功；弹性体因变形而具有做功的能力，弹性体因变形而具有做功的能力，力的作用点沿力的方向有位移力的作用点沿力的方向有位移另一方面：另一方面：表明杆件内储存了表明杆件内储存了应变能应变能13-1 概述概述 P如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；如果略去变形过程中的动能及其它能量的损失；功能原理功能原理V=W 若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一若外力在由零缓慢加载到终值，变形中的每一瞬间，变形体均处于平衡状态；瞬间，变形体均处于平

3、衡状态；由能量守恒原理，杆件的变形能由能量守恒原理，杆件的变形能V在数值上应等于在数值上应等于外力做的功外力做的功W；对变形体都适用的普遍原理对变形体都适用的普遍原理因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。留下残余变形。弹性固体变形是可逆的；弹性固体变形是可逆的；当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。变形能而做功。但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，变形能不能全部转变为功，也是当今应用甚广的也是当今应用甚广

4、的有限元有限元法求解力学问题的法求解力学问题的重要基础。重要基础。能量原理能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理；固体力学中运用功与能有关的基本原理；由能量原理发展出来的方法；由能量原理发展出来的方法；能量法能量法能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体的体的受力受力、应力应力与与变形变形的原理与方法；的原理与方法；是进一步学习固体力学的基础是进一步学习固体力学的基础能量法的用处能量法的用处能量法的优点能量法的优点不管中间过程，只算最终状态不管中间过程，只算最终状态能量是标量，容易计算能量是标量，容易计算用于求位移用于求位移13-2 杆件应变能的计

5、算杆件应变能的计算 线弹性条件下，通过外力功求应变能线弹性条件下，通过外力功求应变能常力常力 P 沿其方向线位移沿其方向线位移 l上所作的功上所作的功 常力作功：常力作功：LPW变力作功：变力作功：在线弹性范围内，外力在线弹性范围内，外力 P 与位移与位移 l 间呈间呈线性关系。线性关系。荷载由零缓慢加载到终值；荷载由零缓慢加载到终值；变形也由零缓慢变化到终值变形也由零缓慢变化到终值2LPW1 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩 LPWV EAlFlNEA2LFV2N杆的应变能杆的应变能P2LP由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压杆件组成的杆系的应变能：n1iiii2NiAE2LFV受力复杂杆

6、受力复杂杆( (轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化) )的应变能的应变能L2NLEA2dx)x(FdVVP2PKBCD12345qLxdx2 2、圆截面杆的扭转应变能、圆截面杆的扭转应变能圆截面杆的应变能圆截面杆的应变能WV GIPTlp2GI2LT mm21受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆( (扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量) )Lp2LGI2dx)x(TVdV xdxLtAB3 3、平面弯曲的应变能、平面弯曲的应变能WV 纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：EIMl EI2LM2 mm21横力弯曲梁横力弯曲梁( (弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量) )的应变能的应变

7、能L2LEI2dx)x(MVdVPm=PaACBaaL2SLGA2dx)F(kVdV一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁: :剪切变形能远小于其弯曲变剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。形能，通常忽略不计。圆环形截面圆环形截面: :k k=2=2；4 4、剪切、剪切k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定:矩形截面矩形截面:k=1.2；圆截面圆截面: k=10/9；1 各杆的抗拉压刚度相等各杆的抗拉压刚度相等EA相等。相等。求系统的应变能求系统的应变能P45LL2 同种材料，弹性模量同种材料，弹性模量E已知。已知。求系统的应变能求系统的应变能PAL2AL3 抗弯刚度抗弯刚度EI

8、为常量。为常量。 求系统的应变能求系统的应变能2L/3M2L/3PL/34 抗弯刚度抗弯刚度EI为常量。为常量。 求系统的应变能求系统的应变能P5 抗弯刚度抗弯刚度EI为常量。为常量。 求系统的应变能求系统的应变能6、已知杆件的抗拉压刚度为、已知杆件的抗拉压刚度为EI，在截面的下端与，在截面的下端与刚性平面间有一间隙刚性平面间有一间隙，当，当A截面处有轴向力截面处有轴向力P，使，使C截面的位移等于截面的位移等于时，杆件的应变能为时，杆件的应变能为 。ACab7、直角折轴的抗弯刚度为、直角折轴的抗弯刚度为EI抗扭高度为抗扭高度为GIP，在，在两个集中力两个集中力P的作用下，的作用下，AB杆的应变

9、形能为杆的应变形能为 。PPaL一、一、 克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理13-3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式广义力广义力P1，P2，Pn作用作用于物体，且设按同一比例系于物体，且设按同一比例系数数从零增长到终值。从零增长到终值。 相应地物体产生变形相应地物体产生变形1，2，n，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例增加；增加；P2P1Pn12 2n外力对物体做功，功以应变能储外力对物体做功，功以应变能储藏在物体内；藏在物体内； 如果外力在某一中间值如果外力在某一中间值P1，P2，Pn时时 各点处的广义位移达到中间值各点处的广义位移达到中间值1， 2

10、， n时时 有一增量有一增量d dPdPdPdWnn2211力在位移增量上做总功力在位移增量上做总功Pii(i 、Pi)PiidiiidP力在位移增量上做功从从0到到1 外力做功外力做功 1011)(dPPWnnnn2211P21P21P21物体的应变能应变能为nn2211P21P21P21WV克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理L2Lp2L2NEI2dx)x(MGI2dx)x(TEA2dx)x(FV组合变形时的变形能组合变形时的变形能d)x(M21d)x(T21)l(d)x(N21VdEAdx)x(F)l(dNEIdxxMd)(GIdxxTd)(， 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、以上计算公式仅

11、适用于线弹性材料、在小变形下的应变能的计算在小变形下的应变能的计算3 3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。不做功时，才可应用。2 应变应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在同种原理在同种应变应变能计算中能计算中 不能使用。不能使用。4 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关；在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。例例1 1 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I E,A,I 已知。在自由端受

12、已知。在自由端受集中力集中力P 和集中力偶和集中力偶 M作用。设材料是线弹性的，试计作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。略去剪力的影响算梁的应变能。略去剪力的影响. PMLP2 刚度刚度EI、GIP为常量。为常量。 求系统的应变能求系统的应变能13-4 互等定理互等定理考虑两组力考虑两组力P，Q作用于物体作用于物体;第一组力有第一组力有m个载荷个载荷P1，P2，Pm;第二组力有第二组力有n个载荷个载荷Q1，Q2，Qn。若先将第一组力若先将第一组力Pi（i=1,2,m）单独作用单独作用Pmm2P21P11P21P21P21W力做功力做功P1PiP1PiQ1QjQ1QjQj在其相应位移在其相

13、应位移 上做功为上做功为 QjQnn2Q21Q12Q21Q21Q21W随后作用上第二组力随后作用上第二组力Qj（j=1,2,n） 与此同时，因为与此同时，因为Pi力的存在，且已达到终值且值不变；力的存在，且已达到终值且值不变；Pi在在Qj产生的位移产生的位移 做功做功PiPmm2P21P112PPPWP1PiP1PiQ1QjQ1QjPiP1第二组力第二组力Qj引起第一组力的作用点的位移引起第一组力的作用点的位移Pi先加先加P后加后加Q时做功总和为：时做功总和为：12211WWWV 将加载次序反过来，先加力将加载次序反过来，先加力Q后加力后加力P，Qj在相应在相应位移位移 上做功为：上做功为：Q

14、jQnn2Q21Q1Q21Q21Q211W再加再加Pi (i=1,2,m)力，力，Pi在其相应位移在其相应位移 做功做功PiPmmPPPPP21212122112W同时物体上已作用有同时物体上已作用有Qj且其值不变，且其值不变，Qj在由于在由于Pi引起的引起的Qj作用点沿作用点沿Qj方向的位移方向的位移 上做功上做功QjQnnQQQQQ221121W两组力所做的总功为：两组力所做的总功为：21212WWWV由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故有序无关，故有V1=V2，12211WWWV21212WWWV2112WWPmmPPPPP2

15、211Qnn2Q21Q1QQQ 功的互等定理功的互等定理位移互等定理位移互等定理设两组力设两组力Pi、Qj只有一个力只有一个力P1、Q1作用于物体，作用于物体，1111QPQP若若 ，则有，则有11QP 11QP位移互等定理位移互等定理APLaB例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁，如图，试用互等定理求解。如图，试用互等定理求解。第一组力：第一组力：第二组力第二组力)3(621alEIaEIl332第一组力在第二组力引起的位移上做功第一组力在第二组力引起的位移上做功1PAPLaBRP、RX=112X=12REI3lR)al 3(EI6Pa32第

16、二组力在第一组力引起第二组力在第一组力引起的位移上做功：的位移上做功：功互等定理功互等定理 0EI3lR)al 3(EI6Pa32)3(222allaPRBAPLaBRX=112零零1、已知梁在力偶、已知梁在力偶M的单独作用下的单独作用下C截面的挠度为截面的挠度为yc3毫米，则在力毫米，则在力P单独作用下单独作用下D截面的转角为截面的转角为D= 。P=2KNM=1KNmCCDD2、欲测定图示梁端截面的转角、欲测定图示梁端截面的转角A，但只有，但只有测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的测量挠度的仪器，你怎样用改变加载方式的方法达到此目的？方法达到此目的？AAP3、两相同的平面刚架受载如图，下列

17、关系中、两相同的平面刚架受载如图，下列关系中正确的是：正确的是： 。A：xB(a)=xC(b) B：yC(b)=B(a)C：yB(a)=yC(b)D：yC(a)=B(b)ABCP=1(a)ABCM=1(b)4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所在位置处的挠度。为了测出图示梁在力在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用作用下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？千分尺

18、P5、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接、两根完全相同的悬臂梁在某处用一拉杆连接,在图在图a中中,将将A处支座向上移动距离处支座向上移动距离A时时,B处相应上移处相应上移B。在图在图b中中,将将A处支座放置在水平位置，在处支座放置在水平位置，在B处承受向处承受向下的集中力下的集中力P，求此时，求此时A支座的约束反力。支座的约束反力。APAABBab 设在梁上作用有外力设在梁上作用有外力 ,求梁轴线求梁轴线上任一点上任一点C C处的处的挠度挠度 。 PPPn12,c在外力作用下，梁的应变能为在外力作用下，梁的应变能为L2EI2dx)x(MV13-7 莫尔积分莫尔积分CF1FnFi一方面：从外

19、力的功看总应变能一方面：从外力的功看总应变能L20EI2dx)x(MV外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度外载全部卸掉，支座保持不变，在求挠度的点沿挠度方向加一单位力的点沿挠度方向加一单位力 ；10P外载在梁上作的功仍等于外载在梁上作的功仍等于L2EI2dx)x(MV在单位力的作用下，梁的应变能为在单位力的作用下，梁的应变能为再将原来一组载荷作用于梁上再将原来一组载荷作用于梁上 。由于材料服从胡克定律由于材料服从胡克定律, ,且变形很小且变形很小, ,1.0CF1FnFi1.0fc 由于外载的作用，在由于外载的作用，在C点发生的挠度即为所求点发生的挠度即为所求 。cc1c01VVV总总所以梁的

20、总应变能：所以梁的总应变能：)x(M)x(ML2EI2dx)x(M)x(M总总V10P而单位力而单位力 在外载在外载 产生产生 的过程中一直保持为常量，的过程中一直保持为常量，c故单位力在故单位力在 上做功上做功c如果载荷与单位力同时加在梁上，如果载荷与单位力同时加在梁上，梁截面上的弯矩为梁截面上的弯矩为梁的总应变能为梁的总应变能为CF1FnFi1.0c另一方面：从内力方程看总应变能另一方面：从内力方程看总应变能L2c0EI2dx)x(M)x(M.10VVLcEIdx)x(M)x(M.01L2LL2EI2dx)x(MEIdx)x(M)x(MEI2dx)x(ML0EIdx)x(M)x(MVV两种

21、情况都是构件的总应变能两种情况都是构件的总应变能LcEIdx)x(M)x(M.01 ： 单位载荷引起的弯矩。单位载荷引起的弯矩。)x(M莫尔积分法又称单位载荷法。莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；：实际载荷引起的弯矩；LcEIdx)x(M)x(M.01求转角的莫尔积分求转角的莫尔积分在欲求截面处施加一单位力偶在欲求截面处施加一单位力偶拉压变形的莫尔积分拉压变形的莫尔积分n1iiiiNiNiAElFF0 . 1扭转变形的莫尔积分扭转变形的莫尔积分n1iPiiiNiNiIGlTT0 . 1如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求如果杆件同时产生拉压、扭转和弯曲变形，要求

22、在某一方向的广义位移在某一方向的广义位移 ; ; LLpLNNIGdx)x(T )x(TEIdx)x(M)x(MEAdx)x(F)x(F0 . 1可在此方向上加一单可在此方向上加一单 位力，位力，以莫尔积分求出该方向的以莫尔积分求出该方向的广义位移；广义位移；注意几点注意几点1、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；、施加单位力时所有的外载卸掉，支座保持不动；2、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力、外载作用下的内力方程与单位力作用下的内力方程要方程要求求正方向正方向与与积分区间积分区间的严格一致；的严格一致；3、求位移施加力，求转角施加单位力偶、求位移施加力，求转角施加单位力偶4、结

23、果为正，说明广义位移与单位力同向；、结果为正，说明广义位移与单位力同向；5、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相、外载作用下分段，单位载荷作用下也必须分成相应的段数；应的段数；6 6、欲求的位移和施加的单位力应理解为、欲求的位移和施加的单位力应理解为广义力广义力和广义位移和广义位移。7、若、若 为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两为两点间的相对线位移，则单位力是施加在两点上的点上的 方向相反的一对单位力，方向相反的一对单位力，其作用线与两点的连线重合。其作用线与两点的连线重合。注意几点注意几点8、若、若 为两截面间的相对转角，则单位力是为两截面间的相对转角，则单位力是施加在两截面上的

24、施加在两截面上的 方向相反的一对单位力偶；方向相反的一对单位力偶；一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个一个线位移线位移一个一个角位移角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移广义力与广义位移的对应关系广义力与广义位移的对应关系1、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？、在应用莫尔积分时，第一项表示什麽意思？dxEI)x(M)x(MEALFFfNN1.0CABDPA：C点的总位移；点的总位移；B：C点沿点沿CD方向的位移；方向的位移；C：C点铅垂位移；点铅垂位移；D：CD杆缩短引起杆缩短引起B点的铅垂位移；点的铅垂位移；2、受力如左图，施加单位力如右图，利用莫、受力如

25、左图，施加单位力如右图，利用莫尔积分求得位移为：尔积分求得位移为： 。A：A截面的转角；截面的转角； B：B截面的转角；截面的转角； C：A、B两截面的相对转角；两截面的相对转角；D：AB段单位长度扭转角；段单位长度扭转角；1 .01 .0ABA：结构上的最大位移；：结构上的最大位移； B：单位力作用点处的总位移；：单位力作用点处的总位移；C：单位力作用处的竖直位移；：单位力作用处的竖直位移；D：单位力作用处沿单位力方向上的位移；：单位力作用处沿单位力方向上的位移；3、用莫尔积分、用莫尔积分 求得的位移求得的位移是：是： 。dxEIxMxM)()(4、应用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明、应

26、用莫尔积分计算挠度时，结果为正，说明挠度的方向为：挠度的方向为： 。A：向上；：向上； B：向下；：向下；C：与单位力方向一致；：与单位力方向一致；D：与单位力方向反向；：与单位力方向反向；一、桁架的莫尔积分一、桁架的莫尔积分1、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为、下列中的两个桁架各杆的抗拉压刚度均为EA，求，求B点的铅垂位移。点的铅垂位移。BCDP2、各杆的抗拉压刚度相等均为、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求，求B点的点的水平与铅垂位移，以及水平与铅垂位移，以及AD之间的相对位移。之间的相对位移。2PPaaBAD3、各杆的抗拉压刚度相等均为、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求，求C点的点的水

27、平位移及水平位移及BC两点的相对位移。两点的相对位移。PBCaa4、各杆的抗拉压刚度相等均为、各杆的抗拉压刚度相等均为EA，求，求B点的点的水平与铅垂位移；水平与铅垂位移；KC两点的相对位移。两点的相对位移。2PPBCDKaa二、直梁的莫尔积分二、直梁的莫尔积分各梁的抗弯刚度均为各梁的抗弯刚度均为EI，求，求B截面的挠度、截面的挠度、C截面的截面的转角。转角。qaaBCMqa2P=2qaqaaBC4m2m2m2m4KN8KN3KN/mBCM=qa2P=qaaaaBCqMaaMBCPqaP=qaM=PaaaaBC外伸梁受力如图所示，已知弹性模量外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI。梁材料梁材料

28、为线弹性体。求梁为线弹性体。求梁C截面和截面和D截面的挠度。截面的挠度。ABCPaPDaa三、刚架的莫尔积分三、刚架的莫尔积分图示中各刚架的抗弯刚度图示中各刚架的抗弯刚度EI为常量为常量CBPaa1、求、求B截面的铅垂位移；截面的铅垂位移；C截面的转角截面的转角2a2aM=PaPB2、求、求B截面的水平位移与转角截面的水平位移与转角M=PaP2aaBC3、求、求B截面的转角、截面的转角、C截面的水平位移截面的水平位移4、求、求B截面的铅垂方向的挠度，截面的铅垂方向的挠度，C截面的转角。截面的转角。2a2P2aBCM=PaqM=2qa2aaaB5、求、求B截面的挠度与转角截面的挠度与转角q2qa

29、22a2aB6、求、求B截面的水平位移与转角截面的水平位移与转角9、求、求B截面的水平位移与转角截面的水平位移与转角2a2aM=PaPB10、求、求B点的水平位移，点的水平位移，C点的铅垂位移，点的铅垂位移，A截面的转角截面的转角P2PaaaaaaBCAABCllq11 圆截面杆圆截面杆ABC，（，（ABC=900）位于水平平面内，）位于水平平面内，已知杆截面直径已知杆截面直径d及材料的弹性常数及材料的弹性常数E,G。求。求C截面截面处的铅垂位移。不计剪力的影响。处的铅垂位移。不计剪力的影响。四、相对位移与相对转角四、相对位移与相对转角PBC1、求、求BC二截面的相对位移与相对转角二截面的相对

30、位移与相对转角PPPLLDE2、求、求DE二截面的相对位移二截面的相对位移3、刚架各段的弹性模量均为、刚架各段的弹性模量均为E，直径为，直径为d。求。求C截截面左右两侧的相对转角面左右两侧的相对转角aaaCaP=qaq4、求图示结构在铰链、求图示结构在铰链A处左右截面的相对转角。处左右截面的相对转角。AE=AD=a/2，BE=CD=a。抗弯刚度。抗弯刚度EI为常量。为常量。PABCDE5、梁的抗弯刚度为、梁的抗弯刚度为EI，受载如图。求中间铰，受载如图。求中间铰B处左右两截面的相对转角。处左右两截面的相对转角。PqABCqABCll6 抗弯刚度均为抗弯刚度均为EI的静定组合梁的静定组合梁ABC

31、，受力如受力如图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形图所示。梁材料为线弹性体，不计剪应变对梁变形的影响。求梁中间铰的影响。求梁中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。7 7 已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度已知开口圆环受力如图，材料为线弹性，抗弯刚度EIEI 求：圆环的张开位移求：圆环的张开位移（不计剪力及轴力的影响）。（不计剪力及轴力的影响）。RPPaaa6012BCD1、图示中，杆、图示中，杆1、2的抗拉压刚度相等均为的抗拉压刚度相等均为EA，BD梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EI。梁的中点作用一集中载荷。梁的中点作用一集中载荷P，求力求力P作用点作用点C的铅垂挠度

32、。的铅垂挠度。P五、莫尔积分综合五、莫尔积分综合PPaaaBC2、分别求力的作用点、分别求力的作用点B、C的水平位移的水平位移3、用能量法求、用能量法求C点的铅垂位移。已知点的铅垂位移。已知AC杆的抗杆的抗弯刚度弯刚度EI，BD杆的抗拉压刚度为杆的抗拉压刚度为EA。受弯构件。受弯构件不计轴力和剪力的影响。不计轴力和剪力的影响。BD杆不会失稳。杆不会失稳。PBDAaaC4、已知、已知AC杆长为杆长为L，对中性轴的惯性矩为，对中性轴的惯性矩为I，与铅垂，与铅垂线成线成45度角；度角；BD杆的横截面面积为杆的横截面面积为A，长为，长为L/2，且垂直于且垂直于AC杆；采用同种材料，弹性模量为杆；采用同

33、种材料，弹性模量为E。求求C点的铅垂位移。点的铅垂位移。PCBAD5、钢索的弹性模量为、钢索的弹性模量为E1，横截面面积，横截面面积A1，与水平，与水平线分别线分别60度角。力度角。力P已知。横梁的抗弯刚度为已知。横梁的抗弯刚度为EI，抗拉压刚度为抗拉压刚度为EA2。求力。求力P作用点的铅垂位移。作用点的铅垂位移。PLL/2L/2BCDGE6、图示结构，杆、图示结构，杆AB的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI，拉杆，拉杆CF的长度为的长度为L，抗拉压刚度为，抗拉压刚度为EA。求。求B截面截面的铅垂位移和转角。的铅垂位移和转角。a2aM=PaPABCFPi设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力

34、P PPn12,，在支承约束，在支承约束下，在相应的力下，在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为i，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 可以证明：可以证明：iiPUP1P2PiPn12in13-5卡氏定理卡氏定理iiPU 注意注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏定理。系时，才能应用卡氏定理。i应用卡氏定理求出应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。证明：证明：),(2

35、1nPPPfU再加增量再加增量 ，则变形能，则变形能U的增量的增量dU为为idPiidPPUdU梁的总变形能为梁的总变形能为：iidPPUUdUU(a)考虑两种不同的加载次序。考虑两种不同的加载次序。(1)先加先加 ，此时，此时弹性体的变形能为弹性体的变形能为U：P PPn12,UPUniii1212(2) 先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此时弹性体的变形能，此时弹性体的变形能 由三部分组成：由三部分组成：P PPn12,idP梁的总变形能为梁的总变形能为：iiiidPddPUUUUU21321(b)idP(a) 在相应的位移在相应的位移 上所作的功上所作的功idiiddPU211P PPn

36、12, (b) 在相应位移在相应位移 上所作的功：上所作的功： n,21(c)原先作用在梁上的原先作用在梁上的 对位移对位移 所作的功所作的功idPiiidPU3iiiidPddPU21iidPPUU 根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次根据弹性体的变形能只决定于外力的最终值，而与加载的次序无关。序无关。( (a)(b)a)(b)两式相等：两式相等：略去二阶微量，化简后得：略去二阶微量，化简后得：iiPU卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)(1)横力弯曲的梁：横力弯曲的梁：LiiiEIdxxMPxMPU)()(对于刚架，若忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应对于刚架，若

37、忽略轴力和剪力对于变形的影响，则也可应用上式计算变形用上式计算变形。(2) (2) 小曲率的平面曲杆小曲率的平面曲杆siiiEIdssMPsMPU)()(式中式中s s 沿曲杆轴线的曲线长度沿曲杆轴线的曲线长度。iNiniiiNiiiPFEALFPU1(3) (3) 桁架桁架(4) 产生拉产生拉( (压压) )、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆dxEIxMPMdxGIxMPMdxEAxFPFPULiLpninLNiNii)()()(练习：练习： 结构受力如图所示结构受力如图所示, , F=2KN,L=3m,设设ABAB杆的抗弯刚度杆的抗弯刚度为为EI, CD, CD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EA,不计剪力的影响不计剪力的影响. . 试用卡氏定理试用卡氏定理求求B 端的竖直位移。端的竖直位移。ALFCL/2B2L/3D 在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 或集中力偶或集中力偶 ；或一对力或一对力偶，此时应变能为：；或一对力或一对力偶，此时应变能为：sPsM)/,(21ssnMP