5导数及其应用

1、1 导数及其应用第 1 课导数的概念及运算【范例导析】例 1下列函数的导数：2(1)(231)yxxx3231xxxyxx( )(cossin )xf xexx分析： 利用导数的四则运算求导数。解：法一：13232223xxxxxy125223xxx26102yxx法二：) 132)(1()132()1(22xxxxxxy=1322xx+)1(x)34( x26102xx231212332xxxxy252232123233xxxxy( )fxe x（cosx+sinx）+e x（ sinx+cosx）2excosx, 点评： 利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，

2、是高考对导数考查的基本要求。例 2 如果曲线103xxy的某一切线与直线34xy平行，求切点坐标与切线方程分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线( )yf x在给定点00(,()p xf x处的切线的斜率0()kfx，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。解：切线与直线34xy平行，斜率为 4 又切线在点0 x的斜率为00320(10)31xxx xyxxx41320 x10 x8100yx或12100yx切点为（ 1， -8 ）或（ -1 ，-12 ）切线方程为) 1(48xy或) 1(412xy即124xy或84xy变题：求曲线32yxx的过点(1,1)a的切线方程。2 答案：20,54

3、10 xyxy点评： 本题中“过点(1,1)a的切线”与“在点(1,1)a的切线”的含义是不同的，后者是以a为切点，只有一条切线，而前者不一定以a为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。【反馈演练】1一物体做直线运动的方程为21stt，s的单位是,m t的单位是s，该物体在3 秒末的瞬时速度是5/m s。2设生产x个单位产品的总成本函数是2( )88xc x，则生产8 个单位产品时，边际成本是2 。3已知函数f（x）在x=1 处的导数为3, 则f（x）的解析式可能为（1）。（1）f（x）=（x1）2+3（x1）（2）f（x）=2（x1）（3）f（x）=2（x

4、1）2（4）f（x）=x1 4若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为430 xy。5在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是3 。6过点（ 0， 4）与曲线yx3x2 相切的直线方程是y4x4 7 求下列函数的导数：(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2)xxysin2 (3)1ln(2xxy (4)11xxeey (5)xxxxysincos (6)xxxycossin2cos解： （1）34182xxy, (2)xxxxycossin22; (3)211xy, (4)2) 1(2xxeey; (5)2)sin(1cossinsi

5、ncosxxxxxxxxy, (6)xxycossin. 8 已知直线1l为曲线22xxy在点(0,2)处的切线，2l为该曲线的另一条切线，且3 21ll（）求直线2l的方程；（）求由直线1l，2l和x轴所围成的三角形的面积解：设直线1l的斜率为1k，直线2l的斜率为2k，21yx，由题意得10|1xky, 得直线1l的方程为2yx122111llkk211,1xx令得,212,2xyxxy将代入得2l与该曲线的切点坐标为( 1, 2),a由直线方程的点斜式得直线2l的方程为：3yx（）由直线1l的方程为2yx, 令0=2yx得:由直线2l的方程为3yx，令0=3yx得:由23yxyx得：52

6、y设由直线1l，2l和x轴所围成的三角形的面积为s，则：15252( 3)224s第 2 课导数的应用a 【考点导读】1 通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。2 结合函数的图象，了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求简单多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上的最大（小）值。【基础练习】1若函数( )f xmxn是r上的单调函数，则,m n应满足的条件是0,mnr。2函数5123223xxxy在0 ，3 上的最大值、最小值分别是 5， 15 。3用导数确定函数( )sin (0,2)f xx x的单调

7、减区间是3,22。4 4函数1( )sin,(0, 2 )2f xxxx的最大值是，最小值是0。5函数2( )xf xxe的单调递增区间是 (-,-2) 与(0,+ ) 。【范例导析】例 132( )32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 。解：当 1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值为2。点评：用导数求极值或最值时要掌握一般方法，导数为 0 的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性，导数为0 的点未必都是极值点，如：函数3( )f xx。例 2 求下列函数单调区间：（1）5221)(23xxxxfy（2）xxy12（3）xx

8、ky2)0(k（4）xxyln22解： （1）232xxy)1)(23(xx)32,(x),1 (时0y)1,32(x0y)32,(，),1()1,32(（2）221xxy)0,(，),0(（3）221xky),(kx),(k0y，),0()0,(kkx0y),(k，),(k)0,( k，),0(k（4）xxxxy14142定义域为),0(5 )21,0(x0y),21(x0y点评 ：熟练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（）求 f(x)的单调区间； （）讨论 f(x)的极值。解：由已知得( )6(1)fx

9、x xa，令( )0fx，解得120,1xxa。（）当1a时，2( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增；当1a时，( )61fxx xa，( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值从上表可知，函数( )fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（）由（）知，当1a时，函数( )f x没有极值；当1a时，函数( )f x在0 x处取得极大值，在1xa处取得极小值31 (1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问

10、题的能力。【反馈演练】1关于函数762)(23xxxf，下列说法不正确的是（4）。（1）在区间（，0）内，)(xf为增函数（2）在区间（ 0，2）内，)(xf为减函数（3）在区间（ 2，）内，)(xf为增函数（4）在区间（，0）),2(内，)(xf为增函数2对任意x，有34)( xxf，(1)1f，则此函数为2)(4xxf。6 3函数 y=2x3-3x2-12x+5 在0,3上的最大值与最小值分别是 5 , -15 。4下列函数中，0 x是极值点的函数是（ 2）。（1）3yx（2）2cosyx（ 3）tanyxx（4）1yx5下列说法正确的是（4）。（1）函数的极大值就是函数的最大值（2）函数

11、的极小值就是函数的最小值（3）函数的最值一定是极值（4） 在闭区间上的连续函数一定存在最值6函数32( )35f xxx的单调减区间是 0，2 。7求满足条件的a的范围：（1）使axxysin为r上增函数；（2）使aaxxy3为r上的增函数；（3）使5)(23xxaxxf为r上的增函数。解： （1）axycos由题意可知：0y对xr都成立1a又当1a时xxysin也符合条件),1a（2）同上),0a（3）同上),31a8已知函数cbxxaxxf44ln)(x0) 在 x = 1 处取得极值c3，其中, ,a b c为常数。（1）试确定,a b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间。解： （i

12、）由题意知(1)3fc，因此3bcc，从而3b又对( )f x求导得34341ln4bxxaxxaxxf3(4 ln4 )xaxab由题意(1)0f，因此40ab，解得12a（ii ）由（ i ）知3( )48lnfxxx（0 x） ，令( )0fx，解得1x当01x时，( )0fx，此时( )f x为减函数；当1x时，( )0fx，此时( )f x为增函数因此( )f x的单调递减区间为(0 1)，而( )f x的单调递增区间为(1)， 第 3 课导数的应用b 【考点导读】1 深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。2 利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步

13、加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、7 探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1若)(xf是在ll,内的可导的偶函数，且)(xf不恒为零，则关于)(xf下列说法正确的是（ 4） 。（1）必定是ll,内的偶函数（2）必定是ll,内的奇函数（3）必定是ll,内的非奇非偶函数（4）可能是奇函数，也可能是偶函数 2 ( )fx是( )f x的导函数，( )fx的图象如右图所示，则( )f x的图象只可能是（4）。 (1）（2）（3）（4）3若tr，曲线3yx与直线3yxt在0,1x上的不同交点的个数有至多 1 个。4把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为15cm

14、，宽为15cm。【范例导析】例 1函数cbxaxxxf23)(，过曲线)(xfy上的点) 1(,1(fp的切线方程为13xy（1）若)(xfy在2x时有极值，求f (x) 的表达式；（2）在（ 1）的条件下，求)( xfy在 1,3上最大值；（3）若函数)( xfy在区间1,2上单调递增，求b的取值范围解： （1）13:)1(,1()()1)(23()1()1)(1()1(:)1(,1()(23)(:)(223xyfpxfyxbacbayxffyfpxfybaxxxfcbxaxxxf的切线方程为上而过即的切线方程为上点过求导数得由)2(3)1(0212323cbabacbaba即故8 542)

15、(5,4,2)3)(2)(1()3(1240)2(,2)(23xxxxfcbabafxxfy相联立解得由故时有极值在（2）)2)(23(44323)(22xxxxbaxxxfx )2,32 )32,2(32 1 ,32()(xf+ 0 0 + )(xf极大极小135)2(4)2(2)2()2()(23fxf极大4514121)1(3f 1 ,3)(在xf上最大值为13 （3）1 ,2)(在区间xfy上单调递增又02) 1(,23)(2babaxxxf知由bbxxxf23)(依题意 1 , 203,0)( 1 , 2)(2在即上恒有在bbxxxfxf上恒成立 . 在603)1()(,16bbbf

16、xfbx小时在0212)2()(,26bbfxfbx小时b在.6001212)(,1622bbbxfb则时小综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：b0。点评： 本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来，属于函数的综合应用题。例 2请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥 （如右图所示） 。试问当帐篷的顶点o到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？分析： 本题应该先建立模型，再求体积的最大值。选择适当的变量很关键，设1oo的长度会比较简便。解 ： 设1()oox m, 则 由 题 设 可 得 正 六 棱 锥 底 面 边 长 为222

17、3(1)82xxx（单位： m ） 。于是底面正六边形的面积为（单位：m2） ：9 2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为（单位：m3） ：233 313( )(82)(1) 1(16 12)232v xxxxxx求导数，得23( )(123)2vxx；令( )0vx解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2 。当 1x2 时，( )0vx,v(x)为增函数；当2x4 时，( )0vx,v(x)为减函数。所以当 x=2 时,v(x) 最大。答：当 oo1为 2m时，帐篷的体积最大。点评： 本题是结合空间几何体的体积求最值，加深理解导数的工具作用，主要考查利用

18、导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1设( )fx是函数( )f x的导函数， 将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是图 4 。2已知二次函数2( )f xaxbxc的导数为( )fx，(0)0f，对于任意实数x都有( )0f x，则(1)(0)ff的最小值为32。3若02x，则下列命题正确的是（3） . y x o y x o y x o y x o 图 1 图 2 图 3 图 4 10 （1）2sinxx（2）2sinxx（3）3sinxx(4)3sinxx4函数( )ln(0)f xxx x的单调递增

19、区间是1,e5已知函数32( )f xxbxcxd的图象过点p（0，2） ，且在点m （ 1，f（ 1） ）处的切线方程为076yx（）求函数y=f(x)的解析式；（）求函数y=f(x)的单调区间解： （）由f(x)的图象经过p（0，2） ，知 d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在 m(-1,f(-1)处的切线方程是076yx， 知.6)1(, 1) 1(, 07) 1(6fff即326,23,121.0,3.bcbcbcbcbc即解得故所求的解析式是. 233)(23xxxxf（）22( )363.3630,fxxxxx令2210.xx即解得.21,2121xx

20、当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,()(在xf内是增函数，在) 21 ,21 (内是减函数，在), 21(内是增函数点评： 本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力6如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底ab是半椭圆的短轴，上底cd的端点在椭圆上，记2cdx，梯形面积为s（i ）求面积s以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（ii ）求面积s的最大值4rcdab2r11 解： （i ）依题意，以ab的中点o为原点建立直角坐标系oxy（如图），则点c的横坐标为x点c的纵坐标y满足方程22221(0)4xyyrr，解得222(0)yrxxr所以221(22 ) 22sxrrx222()xrrx，其定义域为0 xxr（ii ）记222( )4() () 0f xxrrxxr，则2( )8() (2 )fxxrrx令( )0fx，得12xr因为当02rx时，( )0fx；当2rxr时，( )0fx，所以( )f x在(0, )2r上是单调递增函数，在(, )2