【线性代数教学资料】线性代数（1）ppt课件

1、第一章 行列式第一次课1.1 陈列与逆序1.2 n阶行列式v目的要求:1.了解陈列与逆序的定义,会求陈列的逆序数v 2.掌握二、三阶行列式的对角 线展开法v 3.了解n阶行列式的定义v留意：n阶行列式的展开式的特点定义1.1：由n个不同元素1,2n组成的有序数组称为这n个元素的全陈列,也称n 元陈列。例如:54123是一个五元陈列例如:13x52是一个五元陈列，例如:3元陈列有 一共有6个。;123;132213;312;321231普通表示为j1j2j3x必为41-1 陈列与逆序陈列与逆序v留意:n元陈列的一切陈列种数,共 有n!个.现实上,从n个元素中任取一个放在第一个位置上,有n种取法.

2、又从剩下的n-1个元素中任取一个放在第二个位置上,有n-1种取法直到最后只剩下一个元素放在第n个位置上.只需1种取法,于是n元陈列有vn(n-1)(n-2)321=n!v上例三元陈列中，只需123的数字是从小到大按自然数的顺序,其他陈列中都有大的数陈列在小的数之前,因此,引入逆序和逆序数的概念v定义1.2 在一个陈列中,如一个较大的数排在一个较小的数前面,就称这两个数构成一个逆序.一个n元陈列中一切逆序的总数,称为这个陈列的逆序数.记作v为偶数时，称偶陈列)(21njjjv为奇数时，称为奇陈列v公式v=kn+kn-1+k2v其中kn是第k个数前面比它大的数的个数。v留意：由定义可知，一个n元陈

3、列的逆序数的计算方法：先算出jn前面比jn大的数kn。然后数出jn-1前面比jn-1大的数kn-1。从后向前，用类似方法计算)(21njjjv下去，直到算出j2前面比j2大的数K2,于是得到陈列的逆序数为v例1：计算以下陈列的逆序数。并判别其奇偶性v(1) 2431 (2) 54231v(3) n(n-1)3 2 1v(4) (2n-1)246 2n)jjj (n2121nnkkk234KKK)54231()2( :解)2431() 1 ( :解4013该排列为偶排列该排列为奇排列2345KKKK12249)321) 1()3( :nn解该排列是偶排列时或当,144KKn该排列是奇排列时或当,

4、3424KKn21KKKnnnn) 1(211)2() 1(nn)2246) 12(135()4( :nn解个大的数有前面比244n个大的数有前面比个数无逆序数前从前往后算122,nn)1(之外除)3 , 1(之外除012) 2() 1(nn12:1) 1(2) 1(2n nn个大的数有前面比)2246) 12(135(nn) 1(21nnv例2：求i,j。使陈列3972i15j4是偶陈列v解:由定义:i,j只能取6,8两个数v当i=6 j=8v(397261584)=20v该陈列为偶陈列v例3：知:v (2n-1)(2n)(2n-2) 42v求该陈列的逆序数)642)22)(2)(12(13

5、5(:nnn解个比它大的数前对于2:,)22(n个大的数比前)42( :4,4n42)4n2)(2n2)(n2() 1n2)(3n2)(5n2(135个比它大的数前4:,)42(n个比它大的数前6:,)62(n个大的数比前)22( :2,2n个大的数比前)62( :6,6n642)42)(22)(2() 12)(32)(52(135nnnnnnv定义1.3 把一个陈列中某两个数的位置互换，其他数的位置不动，这种变换称一个对换。246) 62() 42() 22(nnn) 1(2)1( 2nnnnv定理：经过一次对换，陈列的奇偶性改动v证明： 1先证相邻两数对换v 该陈列ijv jiv当ij时，

6、j的逆序减少1，而i的逆序不变v改动了奇偶性v2再证普通性v 该陈列ik1k2kmjiKKJKmKKjiK1mm21m21次经过次经过v一共经过2m+1次相邻对换，也改动了奇偶性。v例4 假设陈列j1j2jn的逆序数(j1j2jn)=K 证明：K2)1n(n)jjjj(121nn任意两个数做一组元排列中证明,n:组2) 1n(nC2n,K)jjj (,n21而要么逆序每两个数要么顺序n21jjj现由11nnjjj变为故则顺序全变成逆序K2) 1n(n)jjj (11nn1.2 n阶行列式v一、二阶与三阶行列式v中学阶段，我们学过用加减消元，也称高斯消元解二元线性方程组v为了消去x2)2(bxa

7、xa) 1 (bxaxa22221211212111得1222a)2(a) 1 (v(a11a22(a11a22a12a21)x1=b1a22a12a21)x1=b1a22b2a12b2a12v当当a11a22-a12a210a11a22-a12a210v独一解独一解211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababxv但当但当a11a22-a12a21=0a11a22-a12a21=0时结果怎样时结果怎样?v如如v当当 1 14-24-22=02=0v实践上只需一个有效方程实践上只需一个有效方程. .此时有无穷多此时有无穷多解解. .v又如又如v当

8、当 1 14-24-22=02=0v但两方程矛盾但两方程矛盾v无解无解2x4x21x2x21213x4x21x2x2121v显然显然,a11a22,a11a22a12a210a12a210是方程组能否是方程组能否有解起了关键作用有解起了关键作用. .v定义定义1.41.4v为二阶行列式为二阶行列式,aij(i,j=1,2),aij(i,j=1,2)为元素为元素i i为行标为行标, j, j为列标为列标2221121121122211aaaaaaaa22211211aaaa实联线为主对角线虚联线为次对角线v对角线法那么:主对角元乘积减去次对角元乘积.v因此,当a11a22a12a210时2221

9、121122212111aaaaababDDx2221121122111122aaaababaDDx其中D称系数行列式.D1,D2分别为用常数项分别替代1,2列v 同样可定义由9个元素排成的3行3列构成的行列式为3阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa133221aaa122331aaa312213aaa113223aaa122133aaa展开式332112113223312213231231133221332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa对角线展开法那么：主对角线的元素乘积之和减去次对角线元素乘积之和v留意：1.对角线法那么只适用二阶、三

10、阶行列式。v 2.展开式的每一项都是由不同的行，不同的列的元素相乘而得的。v 3.符号规律：主对角线方向为正，次对角线方向为负。换个说法，当行标按自然数陈列排好后，列标为偶陈列取正号，列标为奇陈列取负号。v故展开式可表为：v例5 计算321321321j3j2j1)jjj (jjjaaa) 1(D2303121212)2(213301123013)2(211 5321321321iii3i2i1i)iii (aaa) 1(D或v例6 解方程0 x94x3211120)3x)(2x(06x5x0 x2x912x418x3:222对角线展开法解3x2x21v二、n阶行列式v定义1.5：由n2个数a

11、ij(i,j=1,2n)组成的符号nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaDn21n21n21njj2j1jjj)jjj (aaa) 1(特点：1. n=1， |a11|=a11为一阶行列式 4. 行标按自然陈列，符号由列标陈列的奇偶性决议5.列标按自然陈列,符号由行标陈列的奇偶性决议.的元素的乘积不同的列是不同的行,aaa. 2 n21njj2j1n21jjjn. 3元排列求和是对所有v例6 1.以下各项中,为五阶行列式带正号的项:v(A) a13a44a32a41a55v(B) a21a32a41a15a54v(C) a31a25a43a14a52v(D) a15a31a22

12、a44a53v解解: :由定义可知由定义可知(A)(A)、(B)(B)不是五阶行列式的项不是五阶行列式的项v(C)(C)、(D)(D)是五阶行列式的项是五阶行列式的项v而而(C)(C)可写成可写成a14a25a31a43a52a14a25a31a43a52( (行标按自然行标按自然陈列陈列) )v(45132)=7(45132)=7v(C)(C)为带负号的项为带负号的项v(D)(D)可写成可写成va15a22a31a44a53a15a22a31a44a53v( (行标按自然陈列行标按自然陈列) )v(52143)=2+1+2+1=6(52143)=2+1+2+1=6v选选(D)(D)v例例7

13、以下各项，哪些是五阶行列式以下各项，哪些是五阶行列式555251252221151211aaaaaaaaa的项？假设是，决议该项的符号：的项？假设是，决议该项的符号：1a13a25a32a41a54 2a31a12a43a52a243a43a21a35a12a54 4a21a42a53a14a25解：解：2，4不是五阶行列式的项不是五阶行列式的项而而1，3是五阶行列式的项是五阶行列式的项1的符号为正号，的符号为正号，3的符号为负号的符号为负号v解：由定义 n21n21n21jjjnjj2j1)jjj (aaa) 1(D11j1j11j1aa0a1ja1110a2 , 1ja22j22j2时当而

14、0a2, 1j2j22时只有当2j1j21但nnnj22j2aaaan2nn2n1n222111aaa0aa00aDv例8 计算下三角行列式v除了除了a11a22a33anna11a22a33ann这一项外。其他这一项外。其他各项均为各项均为0 0vD=(-1)(123n)a11a22annD=(-1)(123n)a11a22annv =a11a22ann =a11a22annv结论：下三角行列式等于主对角元素结论：下三角行列式等于主对角元素乘积乘积v例9 几个特殊的n阶行列式v1.上(下)三角行列式nn2n1n222111nnn222n11211aaa0aa00aa00aa0aaav=a11

15、a22annv2.主对角行列式nn2211nn2211aaaa000a000av3.次(副)对角行列式n21)1n(n21n21) 1(v例10用定义计算行列式00a0a0a00n21v解：ni2i1iiii)iii (n21n21n21aaa) 1(D1 i , 1n i, nin21)1 2 3)1n(n()iii (n212) 1n(nn212)1n(naaa) 1(Dv例11 (1)一个n阶行列式中(展开式)带正号的项有：2)(AA2!nD选2)(2nB2) 1()(nnC2!)(nDv解：v根据定理1.2一切n(2)元陈列中，奇偶陈列各占一半，均为个。2! n122) 1(3)2()

16、 1(D:3421解002015340)2(D6213) 1(D:2321解0692401053002000Dv例12 用定义计算行列式3200432021002101D4i3i2i1iiiii)iiii (432143214321aaaa) 1(D:解)3(3i)2(a1a )1( 1i)1(a22i1111i21行列行表示列表示)3(a2a3i323列2a,4i433行时3i , 1i21行行或 42i31a,2i233行时v当i3=2行时,i4=4行va44=3v当 i3=4时,i4=2行va24=2)4(a4i4列行行或 24i43i1i21v例13 计算行列式1422213) 1(21) 1() 1(24433211)1342(44233211)1324(aaaaaaaaD3422231102000001Dv解：432143214321j4j3j2j1)jjjj (jjjjaaaa) 1(D2a3j)(ja23222 列二行1a11列列或列列42j3j1j321)(a3j3三行1a2j323 列时当2a4j343 列时当)(1j)(a1j11一列一行)(a4j4四行列列3j1j213a4j2j4443列时列时当2a2j4j4243列时列时当1422