第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质

1、§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的-4个性质，除此而外，对于这两种 不同的收敛级数，还具有各自不同的重要 性质本节分别进行简单介绍和讨论.2015年8月30 Q星期日1§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质2015年8月30日星期日2§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质绝对收敛和条件收敛级数的性质定理1:此定理揭示的规律？若对级数£色,将它所有正项保留而负项换为）,n=l得一个新的正项级数，U., +Un2记为n=unf当知0时0,当

2、知50时'将它所有负项变号（乘以-1）而将正项换为0, 也得一个新的正项级数，记为丈®.72=1 （-un,当冷0时 （0, 当知0时©2015年8月30日星期日3§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论：CO(1) .若级数£ %“绝对收敛，n贝级数和都收敛；n=ln=oo(2) .若级数£如条件收敛，n0000贝慨数£匕和都发散.,21n=lco00co级数£色的敛散性，对级数£匕和£ ©敛散性的影响.72=1n=n=证明:CO若级数乞n=l冷绝

3、对收敛,由彷©表达式知:0 s乙< un , 0<con<un按比较判别法，级址匕和£都收敛n=ln=l(2)若级数条件收敛，(反证法)n=做与(2)结论相反的反面假设:假设和中至少有一个收敛,n=ln=co不妨假设工匕收敛,n=2015年8月30 Q星期日7§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质S则由于® = vn -Un .知工d也必收敛,1=1又由|冷|=匕+©，所以勺冷I+$x，n=n=n=l得知£色绝对收敛这与已知条件矛盾故得证n=下面的定理2将涉及到一个概念更序级数：一个级数把它的项重新排列后得到的新级数

4、称为原来级数的更序级数ococo定理2：绝对收敛级 贬色的更序级数£昭仍为绝对收敛,00/7=1sn=且其和相同“=工必.（绝对收敛级数可重排性）n=n=l证明：（1）先证、”为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.n=co考虑它的更序级数工必的部分和s：,n=所以取大于所有下标®'后，应有S； =%：+%；+%；三坷 +%2+ + / =>CO又由于正项级数工叫二s, vkWs <s, n=l故根据正项级数收敛斟定理，CO更序级数£心也收敛其和为且有svs. n-另外，级数£冷也是£必的更序级数，故也有sws./=1n=所以有

5、s = s.2015年8月30 Q星期日10§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质(2)再证£冷为任意绝对收敛级数的情形.n=l仍用定理1中记号和分别表示的n=ln=ln=l所有正项和所有负项所组成的级数，由定理1知，这两个级数都收敛.设它们的和分别为V和W,则有COQO=v+w.co工冷"-w, Ski 心18821由知工臥I的更序级数工砒有工KI-V+W,n=l 严、n=ln=即更序级 塑>:绝对收敛COoon=ln=l00QO工砒二工二W，n=ln-,2=1再设级数$>“和£>”的更序级数分别为工吒和工就n=ln=lOpop由（1

6、）知£听£叫二v，n=ln=i而%： = V： _。：，coss所以£必二£（必-0；）"-”=工冷证毕n=ln=ln=2015年8月30 Q星期日13注章7§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质定理对条件收敛级数不一定成立.如莱布尼茨级数s是条件收敛的,两端乘以丄得丄一丄+丄一丄2246820 + £ + 0-扌+ 0+£ + 0-£将它和第一个级数对应财目加得.n 111n 111n _3C1 + 01 F 0 H1 0 + S,3257492u 希 1111113 c2A. Hu 11 11 = S

7、,3257492这个级数正是第一个殛的更序级数，72=1*两者虽然都收敛，但其和数却不同.§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质 关于条件收敛级数,有如下性质：黎曼定理:若级数£知条件收敛，则总可以嚳更换原来n=级数的次序而组成一彳级数，使它收敛于任何预先纟能的数5 （包括R情形）.证明思路：（略）2015年8月30 Q星期日17§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质二.级数的乘法运算：解决的问题是在什么条件下，两个级数相乘可以像有 限和一样逐项相乘；设两个收敛级数与£匕，仿照有限和的乘法规则,n=n=l这两个级数的项的所育T能成对的乘积：记为终叫(Z,

8、花= 1,2,3)，这些乘积表示为：MjVp %卩2厂，匕，可以甬多需另式把它排成一个数列2015年8月30 Q星期日19§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质2015年8月30 Q星期日20§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质通常用“对角线法”或“正方形法”排 剰数列用加号相连，就组成无穷级数.令：q = aAb c2 = axb2 + 勺勺， C厂工%bj二叽+也 +臥?. 心穂+1sS称级数工q为两级数工色和工仇的柯西乘积H=l72=172=1对角线法2015年8月30 Q星期日21§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质2015年8月30 Q星期日22&#

9、167; 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质1 140 eib2 CIII时4 AC丛i厶 丫hb3 (ab fa b« e *J 1J 2J 4<C吶aAbc也# 9 « * « 正方形法2015年8月30 Q星期日#§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质令：百二也心=ad +(1花 + + ab + ab、+ + Q、h、n1 n2 nn nn 用一 1n n-2n 1? cococo则称£心为级数与工乞的“止方形”乘积。昭=1母=1母=1定理3 （柯西定理）：ooO0若级数£知和£匕都绝对收敛， n=ln=l其和

10、分别为“ V,则它们各项之积终叫（z；上= 1,2,3）按照住何方法排列所构成的级数也绝对收敛，且其和为t/U.证明：用，表不按某一种次序 排列如所成的一个数列,(7, k = 1,2,) 00考虑级数J® I = I© I + I® IG)n *9设其部分和V：' s；=£阪|=£|仏、k=k=l记i/ = max (如蚀n2,叫叫，mf),OO又记t/y =绚+ U2 4 Uv f艮卩的部分和,n=lCOVy =|岭|+卜2 |儿I，即儿的部分和.n=l00co由于级数文x和£匕都绝对收敛，所以兀町都有界n=n=l另夕卜

11、S： = ”“ Vw | +匕"2 I + + ”"”气"”< （绚 + %2 +%）（片 +»2+儿|）co即S；有界，这证明了级虬绝对收敛71=12015年8月30 Q星期日27§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质再应用定理2,£©的更序级数£也绝对收敛，且它们和相同,n=n=即工© =工砒，也就是说，n=n=由uyk (z, k = 1,2,)按照任何方式排歹J所构成的级数都绝对收敛，且都收敛于同一和数.2015年8月30日星期日§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质 以下再证明这

12、个和数创UV.考虑由正方形法排列阴勾成的级数，并加括号口下co工? = WjV +（况卍2 +W2V2 +%2片）+ /?=1（WjV3 + W2V3 + W3V3 + W3V2 + W3Vj） 4,由收敛级数基本性质知 加括号不影响和的数直coQ0记级数£知,£ vn部分和分别为匕，匕.n= n=l级数部分和为4”，则有& = unvn,n=_于是 lim An = lim（匕匕）=UU, fitsms这就证明7色=uv.证毕n=2015年8月30 Q星期日29§ 9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质梅尔腾斯（Mertens）定理：若级数£知与中仅有一个绝对收敛，其和为A，n=,2=1另一个是条件收敛，