高一下第四讲正弦余弦定理及实际应用

1、高一年级下数学解三角形 讲义第三讲授课时间：3月4日授课时段科目:何钊怡课题：解三角形授课老师:电话：教学目标掌握正弦定理、余弦定理在解三角形屮的应用重点难点三角形六个元素“知三求二”型；利用正、余弦定理解决实际问题教学过程(内容)一.要点精讲1.直角三角形中各元素间的关系：(1)三边之间的关系：a2+b2=c20 (2)锐角之间的关系：a+b=90° ；(3)边角之间的关系：sirt4=cosb= , cos/ = sinb=, tart4= 。ccb2.斜三角形中各元素间的关系：(1)三角形内角和：a + b+c=(2)正弦定理：a - h - c 2r°(r为外接圆半

2、径)sin a sin b sin c变形：(3)余弦定理：a2 = b2+c22bccosa； b1=c2+a22cacosb； c2=a2+b2 2abcosco变形：3.三角形的面积公式：s= absmc= bcsina = acsinb；2 2 24.三角形中的角变换sin(a+b)=sinc； cos(a+b)=cosc； tan(a+b)=tanco sin "十" =cos ,cos += sin ;2 2 2 25.理解仰角、俯角、视角、方位角的概念易错点：i、在aabc中，已知日,力力，讨论三角形解的情况分析：先由sin/=bsina可进一步求出b；a1.

3、当a为钝角或直角时，必须a>b才能有且只有一解；否则无解。2.当a为锐角时，如果qb,那么只有一解；如果a<b,那么可以分下面三种情况來讨论：(1)若a>bsina, sinb<l,则有两解；(2)若日= z?sin/l, sinb=l,则只有一解；(3)若日vbsin/, sinb>l,则无解。评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形吋，只有当a为锐角且bsina<a<b吋，有两解；其它情况时则只有一解或无解。ii.在aabc中，己知臼=7, 6 = 5, c = 3,判断aabc的类型。 分析：由余弦定理可知2 2 2 c c c +

4、+ +2 2 2 b b 一一 > <2 2 2 55臼0 m是直角o aabc是直角三角形 o /是钝角o aabc是钝角三角形 o昇是锐角竝abc是锐角三角形(注意：/是锐角扬aabc是锐角三角形)二.典例解析题型1：利用正余弦定理解三角形例 1.在aabc 中，己知 a=2, b=2迈，b=45° ,求 a。练习：1.在4abc 中，若 67 = 713, c = 4, a = 6o0f 则5=2. 在a abc中,若 b =近,j=30°,c = 105°，则此三角形的周氏为3.根据f列条件，判断三角形解的个数(i) tz = 80, b= 1

5、00, j=30°(2) a = 50, b= 100, j=30°(3) 67 = 40, b= 100, =30°求b及a；例 2在"bc 中，己矢口 a=2巧，c=v6+v2 , b=45练习：1.已知aabc三边长分别为a,b,c且/+庆-c，=,求zc2. 在 a nbc 屮，若(a + b + c)(c + b-q)= 3bc ,则 a =().3. 三角形的三边之比为3:5:7,则其最大角为()4在 abc 中，己知 sina : sinb : sinc = 4:5:6,贝lj cosa : cosb : cosc =题型2：判断三角形的形

6、状例3. (1)在 aabc 中，acos/=bcos0,判断 aabc 的形状。(2)在厶abc 'lb 若 2cosbsim4=sinc,判断aabc 的形状。y -1-o 口 a练习.若亍鬲试判断"bc的形状。题型3：三角形面积例 4.在 a abc 中，已知 c = 4,力=45° , 3 = 60。，求 q、b,和 s.、abc练习:(1.)已知 abc 若 «=4, b=5, 5=5 a/3 ,求 c.例5.在abc中,sin a + cos av22ac = 2, ab = 3,求abc的面积。求abc的而3 cos/sin c,a 2a/5

7、例6.在"bc中，角“c所对的边分别为讥c,且满足cos矿*'阿心3.积;题型4：综合应用 例7. mec中，内角a、b、c的对边长分别为q、b、c ,已知a2 -c2 =2b ,且sin / cosc例8"中,a b为锐角，角4 b、c所对的边分别为。、b、e,且求4 + b的值；(ii)若a_b =近,求q、b、c的值。练习1.在 abc屮，cosfi = -,13(ii)设厶abc的面积s血cosc(i)求心的值;33t求bc的长.7t2.在 abc中，内角4 b, c对边的边长分别是g b, c,已知c = 2, c = -.3(i )若的面积等于命，求q,

8、 b ；(ii)若sinc + sin(b /) = 2sin2/,求的面积.题型5：正余弦定理的实际应用(理解仰角、俯角、视角、方位角的概念)1：如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d.现测得 乙bcd = a,乙bdc =卩,cd = s ,并在点(7测得塔顶力的仰角为&,求塔高ab .42：如图，甲船以每小时3()血海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于旳处时, 乙船位于甲船的北偏西105°方向的冋处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达/处时，乙船航行 到甲船的北偏西12(t方向的5处，此时两船相距10&

9、#169;海里，问乙船每小时航行多少海里？7、如图，一游人由山脚/沿坡角为30°的山坡力3行走600m,到达一个景点再由e沿山坡行走200m 到达山顶c ,若在山顶c处观测到景点b的俯角为45° ,则山高cq为多少8、用同样高度的两个测角仪ab和cd同时望见气球e在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是a 测角仪的高度是b,求气球的高度作业:a. 30°b. 60°c. 120°d.150°1、在aabc 中，若/二f+bc+c则4=()2、3、a. 10b. 20c. -10在中，若b = 2asinbf 则/二()d.204、5、a. 30°b- 60°c. 30°或 150°d.60° 或 120°在zabc 中，若acosa + bcosb = ccosc.则厶abc 的形状是(a.锐角三角形b.直角三角形c.钝角三角形d.在abc中，角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足cos# =