小晨精品第四周--数的整除-余数和周期问题上海四年级竞赛版-【XCJP】(共4页)

1、10.31-11.6第四周 数的整除，余数和周期问题1.【第 11 届中环杯初赛第 2 题】 a24b8 是一个五位数，且是 8 的倍数，则 a24b8 最大是（ ），最小是（ ）。2.【第 8 届小机灵初赛第 13 题】N 是一个四位数。如果 N+25 是 8 的倍数，N 的最小值是_。3.【第 14 届中环杯初赛第 2 题】在 325 后面补上 3 个数字，组成一个六位数，使它分别能被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能小，则这个新六位数是 _。4.【第 11 届小机灵杯初赛第 11 题】黑板上写有 1，2，3.，1989 这 1989 个连续的自然数，先做这样的变换：擦去黑板上任意的两

2、个数，并添上被擦去的两个数的和除以 19 所得的余数。经过若干次变换后，黑板上还剩下两个数，一 个是 89，另一个数是一位数，这个一位数是（ ）。5.【第 13 届中环杯初赛第 14 题】如果一个正整数除以它的数码和后所得的余数为 22，那么称这个正整数为“好数”。最小的“好数”是（ ）。110.31-11.66.【第 14 届中环杯初赛第 13 题】将既能被 5 整除又能被 7 整除的自然数自 105起从小到大排成一行，取前 2013 个数。这 2013 个数的和被 12 除的余数是_。7.【第 12 届中环杯初赛第 4 题】今年是中国共产党建党 90 周年。据考证，伟大 的中国共产党的确切

3、成立日期是 1921 年 7 月 23 日。今年（2011 年）的 7 月 23日是星期六，那么 90 年前的这一天是星期（ ）。8.【第 11 届中环杯初赛第 4 题】某年的 2 月有 5 个星期五，那么这年的 1 月 31日是星期（ ）。9.【第 8 届中环杯初赛第 2 题】从 1000 里减去 100，加上 50，再减去 100，再加上 50.这样算下去，要运算（ ）次后结果才是 0。10.【第 13 届中环杯决赛第 6 题】123123.123（2013 个 123）÷13 的余数是（ ）。210.31-11.6解析：1.【考点】数论（整除）【解析】能被 8 整除的特点是末三

4、位能被 8 整除，则这个数就能被 8 整除。4b8 最大是 488，最小是 408。所以这个五位数最大 92488，最小 12408。2.【考点】数论（整除）【解析】N+25 是 8 的倍数，且 25 除以 8 的余数是 1，那么 N 除以 8 的余数应该是 7，这样的最小的四位数是 1007。3.考点】数论整除【解析】先满足 4、5 的整除，个位为 0；再要最小，百位为 0，然后满足 3 的整除，十位为 2。这个六位数是 325020。4.【考点】余数性质【 解 析 】 根 据 和 的 余 数 等 于 余数 的 和的 余 数 ，（ 1+2+3+.+1989 ）÷19=104160.

5、15；89÷19=4.13；则剩下的数除以 19 的余数必然为 2，而且还是一位数，只能是 2。5.【考点】数论余数【解析】余数必然小于除数，余数为 22，除数最小为 23；此时这个数最小为 599；599÷23=26.1；不符合；继续检验 689=23×30-1 符合要求；而若正整数数码和大于等于 24，其至少要大于等于 699；所以 689 为最小的好数。6.【考点】余数与周期【解析】即求一个首项为 105、公差为5,7=35 的等差数列前 2013 项的和。第 2013 项为 105+（2013-1）×35=35×3+35×20

6、12=35×2015。前 2013 项的和为（105+35×2015）×2013÷2=35×1009×2013。35´1009 ´ 2013 º 11´1´9 º 3(mod12)，这个和除以 12 余 3。7.【考点】余数与周期【解析】 考虑 90 年（2011-90=1921）前，就要考虑过去了多少天。从 1921 开始到 2011 年，由 90÷4=22（个）.2（年）可知，共有 22 个闰年。那么，就一共过去了（365×90+22）天，我们需要算得

7、的是它除以 7 的余数，根310.31-11.6据我们学过的性质，可以分别求出各自除以 7 的余数以后进行简算，即（365×90+22）÷7 商为整数。即所有天数和能够被 7 整除，那么那一天，也仍然和今年的相同，为星期六。8.【考点】周期问题【解析】某年的 2 月有 5 个星期五，说明这个 2 月至少有 4×7+1=29 天，并且 2月 29 日是周五，所以 2 月 1 日也是周五，所以 1 月 31 日是周四。9.【考点】周期问题【解析】每操作两次实际就是少了 50，但是当减到 100 的时候，只减少一次就变成了 0。所以（1000-100）÷50=18（组）。经过 18 组操作后变成 100，所以18×2+1=37（次）变成 0。10.【考点】余数，周期问题【解析】123÷