山东高考数学及世纪金榜答案PPT课件

1、第1页/共99页第2页/共99页第3页/共99页第4页/共99页第5页/共99页第6页/共99页第7页/共99页第8页/共99页 仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示:三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.第9页/共99页第10页/共99页1.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且AC=BC，则点A在点B的（ ）（A）北偏东15 （B）北偏西15（C）北偏东10 （D）北偏西10第11页/共99页【解析】选B.如图所示，ACB=90，又AC=BC，CBA=45，而=30，=90-45-30=15.点A在点B的北偏西15.第12页/共99页

2、2.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，如图所示则塔高CB为（ ）（A）（B）（C）（D）400 m34003 m32003 m3200 m3第13页/共99页【解析】选A.由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC在RtABD中， BAD=30，BD=ADtanBAD= tan30=又DC=OA=200200 3200tan30.3 200 3AD3，200 332003200400CBDCBD200.33第14页/共99页3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是（ ）（A）

3、,a,b （B）,a（C）a,b, （D）,b【解析】选A.当已知a,b时不能惟一确定三角形解的情况故不能确定AB的距离.第15页/共99页4.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120 m，则这条河的宽度为_.第16页/共99页【解析】如图.在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求河的宽度.在ABC中，CAB=30，CBA=75，ACB=75，AC=AB=120 m.在RtACD中，CD=ACsinCAD=120sin30=60(m),因此这条河宽为60 m.答案:60 m第17页/共99页5.一船自西向东匀速航行，上午

4、10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度等于_.第18页/共99页【解析】如图所示，设MN与PQ交于Q，则MQ=68sin75PQ=68cos75又NPQ=45，MN=MQ+QN= （海里），这只船的航行速度 （海里/小时）.答案: 海里/小时62681762 ,462681762 ,4QN1762（），34 6MN17 6v4217 62第19页/共99页1.解三角形应用题的步骤第20页/共99页2.解三角形应用题常有以下几种情形（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.（2

5、）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解.第21页/共99页（3）实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.第22页/共99页第23页/共99页 测量距离问题【例1】如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km.（1）

6、求证：AB=BD.（2）求BD.1第24页/共99页【审题指导】（1）由已知角度不难求得BCD，且易得AC，DC关系，利用三角形全等可得AB=BD.（2）求BD只需将其转化在某一三角形中利用已知条件即可求.第25页/共99页【自主解答】（1）在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30，所以CD=AC=0.1 km.又BCD=180-60-60=60，ACBDCB所以BD=BA.第26页/共99页（2）在ABC中，即ABAC,sin BCAsin ABCACsin603 26ABkmsin1520，3 26BDkm .20第27页/共99页【规律方法】1.利用示意图把已知量和待求量尽量

7、集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解.3.应用题要注意作答.第28页/共99页【变式训练】某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处，已知CD=6 km,ACD=45,ADC=75,目标出现于地面B处时，测量得BCD=30，BDC=15，如图，求炮兵阵地到目标的距离.第29页/共99页【解析】在ACD中，CAD=180-ACD-ADC=60，CD=6，ACD=45，根据正弦定理有同理，在BCD中，CBD=180-BCD-BDC=135，CD=6，BCD=30，根据正弦定理得又在ABD中，ADB=ADC+BDC=90，

8、根据勾股定理有所以炮兵阵地到目标的距离为CDsin452ADCD.sin603CDsin302BDCD.sin13522221ABADBDCD3242CD42 km).6（42km.第30页/共99页【例】如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN=30，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？第31页/共99页【审题指导】本题利用直线与圆的位置关系求解，可以以A为圆心以100为半径作圆，此圆与MN相交的弦

9、长即为学校受影响时拖拉机行驶距离，从而可求受影响的时间.第32页/共99页【规范解答】作ABMN，B为垂足，在RtABP中，ABP=90，APB=30，AP=160米， （米）.点A到直线MN的距离小于100米，所以这所中学会受到噪声的影响.如图所示，若以A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连接AC、AD，则AC=AD=100米，APAB802第33页/共99页结合勾股定理得：CB=DB= =60（米），CD=120米，学校受噪声影响的时间为 （秒）.答：学校受影响的时间为24秒.2210080120t3 6002418 000第34页/共99页【规

10、律方法】解决此类问题的关键是理清题意，画出示意图，找到解决问题的关键点，以A为圆心以100为半径作圆是解决此题的突破口，而后利用直线与圆的位置关系求弦长即可.第35页/共99页【变式备选】某观测站C在A城的南偏西20的方向.由A城出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米才能到达A城？第36页/共99页【解析】设ACD=,CDB=.在BCD中，由余弦定理得则而sin=sin(-60)=sincos60-cossin60在ACD中，由正弦定理得 222222BDCDCB20

11、21311cos,2BD CD2 20 217 4 3sin,7 4 31315 3,72271421AD,sin60sin第37页/共99页 （千米）答：这个人再走15千米才能到达A城.5 32121sin14AD15sin6032第38页/共99页 测量高度问题【例2】在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为,由此点向塔底沿直线行走了30 m,测得塔顶的仰角为2，再向塔底前进 又测得塔顶的仰角为4，则塔的高度为多少？【审题指导】此题可画出示意图后，标明已知的条件，将高转化到三角形内求解即可.10 3 m，第39页/共99页【自主解答】如图，依题意有PB=BA=30，在三角形BPC中，由余

12、弦定理可得所以2=30，4=60，在三角形PCD中，可得=15(m).答：塔的高度为15 m.PCBC10 3.222(10 3)30(10 3)3cos2,22 10 330 3PDPC sin410 32 第40页/共99页【规律方法】1.测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.2.分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.3.注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.第41页/共99页【变式训练】如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得BCD=75，BDC=60，CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60，则旗杆高AB为_.

13、第42页/共99页【解析】在三角形BCD中，由正弦定理得：在直角三角形ABC中，答案:aBC6BCa,sin45sin60263 2ABBCtan60a3a.22 3 2a2第43页/共99页 测量角度问题【例3】在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？31（）10 3第44页/共99页【审题指导】本例应首先画出示意图，结合所给的两船各按直线航行，相遇时

14、所用时间相同，从而可构造三角形求解.第45页/共99页【自主解答】设缉私船用t h在D处追上走私船（如图），则有CD= t,BD=10t,在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC10 3AB31 AC2BAC120，223122 ( 31) 2 cos1206, BC6,第46页/共99页且ABC=45,BC与正北方向垂直.CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船.AC232sin ABCsin BAC.BC226BD sin CBD10tsin1201sin BCD,CD210 3t第47页/

15、共99页【规律方法】解决测量问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解，本例中求出ABC=45，进而得出BC与正北方向垂直非常关键，这对确定CBD的大小，进而用正弦定理确定BCD的大小非常关键.第48页/共99页【变式训练】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船沿与AC夹角为角的方向沿直线前往B处救援，问的正弦值为多少？第49页/共99页【解析】如题图所示

16、，在ABC中，AB=20，AC=10，BAC=120，由余弦定理知BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=202+102-22010( )=700.由正弦定理得即sin为12BC10 7.ABBC,sinsin BACAB2021sinsin BACsin120.BC710 7 21.7第50页/共99页第51页/共99页 三角形中实际应用问题的答题技巧【典例】(12分)(2010福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v

17、海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.第52页/共99页(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【审题指导】首先将本题依据题目所给信息作出示意图，并将问题转化到三角形中利用余弦定理可解(1)，对于(2)中问题则可用余弦定理转化为v与t的函数关系式进行求解即可.第53页/共99页【规范解答】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示.在AOB中A=90-30=60 4分故当 时， 此时

18、即小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. 6分2S900t4002 30t 20 cos602900t600t40021900(t)300.3minS10 3,10 3v30 3.1330 31t3第54页/共99页(2)由题意可知OB=vt在AOB中利用余弦定理得：v2t2=400+900t2-22030tcos60故 8分0v30，即 解得又 时，v=30(海里/小时).故v=30时，t取得最小值，且最小值等于 .22600400v900tt2230,tt2t,32t3232600400900900tt，第55页/共99页此时，在OAB中，有OA=OB=AB=20，故可设

19、计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 12分第56页/共99页【失分警示】解答本题时有两点易造成失分：一是第(1)问转化为余弦定理后计算错误.二是不会构建v与t的函数关系式，不会利用条件解不等式.解决此类问题时以下几点易造成失分：1.对题目所给条件不能作出相关示意图.2.不会将实际问题转化到三角形中利用正、余弦定理求解.3.解题过程中计算失误造成失分.第57页/共99页【变式训练】如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里.当甲

20、船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距 海里.问乙船每小时航行多少海里？30 210 2第58页/共99页【解析】如图，连接A1B2,由已知22A B10 2,第59页/共99页又A1A2B2=180-120=60,A1A2B2是等边三角形，由已知，A1B1=20,B1A1B2=105-60=45,12122220A A30 210 2,A AA B ,601212A BA A10 2.第60页/共99页在A1B2B1中，由余弦定理，得因此，乙船的速度的大小为 (海里/小时）.答：乙船每小时航行 海里.22212111211122212B BA BA

21、 B2A B A B cos4522010 22 20 10 2200.2B B10 2. 10 26030 22030 2第61页/共99页第62页/共99页1.(2011龙岩模拟）已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得ABC=120，则A，C两地的距离为（ ）（A）10 km （B） km（C） km （D） km10 310 510 7第63页/共99页【解析】选D.如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-21020cos120=700AC10 7 km .第64页/共99页2.（2011北师大附中模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度

22、沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（ ）（A） 海里 （B） 海里（C） 海里 （D） 海里10 210 320 220 3第65页/共99页【解析】选A.如图所示，由已知条件可得，CAB=30ABC=105即AB=40 =20（海里）BCA=45由正弦定理可得： (海里）.12ABBCsin45sin30，1202BC10 222第66页/共99页3.（2011潍坊模拟）已知A船在灯塔C北偏东80处，且A船到灯塔C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40处，A、B

23、两船间的距离为3 km,则B船到灯塔C的距离为_km.【解题提示】画出示意图，设出BC的长度，利用余弦定理解方程可得.第67页/共99页【解析】如图，由题意可得，ACB=120，AC=2，AB=3.设BC=x,则由余弦定理可得：AB2=BC2+AC2-2BCACcos120,即32=22+x2-22xcos120,整理得x2+2x=5,解得 （另一解为负值舍掉）.答案:x6161第68页/共99页4.(2011南安模拟)如图，公园有一块边长为2的等边ABC的地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上，设AD=x,ED=y，则用x表示y的函数关系式为_.第69页/

24、共99页【解析】答案:224yx2x第70页/共99页第71页/共99页一、选择题（每小题4分，共20分）1.(2011潍坊模拟）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m,ACB=45，CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）（A）50 m （B）50 m（C）25 m （D） m23225 22第72页/共99页【解析】选A.B=180-45-105=30.在ABC中，由 = 得AB=100 =50 m.ABsin4550sin30222第73页/共99页2.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔

25、相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）（A）20（ + ）海里/小时（B）20（ - ）海里/小时（C）20（ + ）海里/小时（D）20（ - ）海里/小时26623663第74页/共99页【解析】选B.由题意知NMS=15+30=45，MNS=60+45=105，由正弦定理得 ,MN= =10( - ),货轮的速度为 =20( - )海里/小时.MSMNsin105sin180 -(45 +105 )20 sin30sin10510624MN126262第75页/共99页3.线段AB外有一点C，ABC=60，AB=200 km

26、,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_h后，两车的距离最小.（ ）（A） （B）1 （C） （D）269437043第76页/共99页【解析】选C.如图所示，设过x h后距离为y，则BD=200-80 x，BE=50 x，y2=(200-80 x)2+(50 x)2-2(200-80 x)50 xcos60整理得y2=12 900 x2-42 000 x+40 000(0 x2.5)当x= 时y2最小.7043第77页/共99页4.地上画了一个角BDA=60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走1

27、4米正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )(A)14米(B)15米(C)16米(D)17米第78页/共99页【解析】选C.如图，设DN=x m,则142=102+x2-210 xcos60,x2-10 x-96=0,(x-16)(x+6)=0,x=16或x=-6(舍).N与D之间的距离为16米.第79页/共99页5.(2011长沙模拟)某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75，距离为 n mile,灯塔C在A的北偏西30，距离为 n mile,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60，则C与D的距离为( )(A)20海里 (B) 海里(C)

28、海里 (D)24海里12 68 38 323 2第80页/共99页【解析】选B.在ABD中，ADB=60，B=45，由正弦定理得AD= =24(n mile).在ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2ADACcos30,解得CD= 海里.ABsinBsin ADB212 62328 3第81页/共99页二、填空题(每小题4分，共12分)6.已知函数f(x)=1- sin(2x- )，在锐角ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边且f(A)=- ，c=3,ABC的面积为3 ，则边a=_.33123第82页/共99页【解析】f(A)=1- sin(2A- )=- ,sin(2A- )

29、= .又ABC是锐角三角形，- 2A- ,2A- = ，即A= .由SABC= bcsinA= =3 ,得b=4.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=42+32-243 =13,即a= .答案: 33123223333333123b2323121313第83页/共99页7.(2011东营模拟）如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M的方位角为北偏东角,前进m(km)后在B处测得该岛的方位角为北偏东角,已知该岛周围n(km)范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当与满足条件_时,该船没有触礁危险.第84页/共99页【解析】由题可知,在ABM中,根据正弦定理: 解得要使船没有

30、触礁危险需要所以与的关系满足mcoscosnsin(-)时船没有触礁危险.答案:mcoscosnsin(-)BMm,sin 90sinmcosBM,sinBMmcos cosn,sin 90sin第85页/共99页8.(2010江苏高考改编)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角ABE=,ADE=.该小组已测得一组,的值，算出了tan=1.24,tan=1.20,则H=_m.第86页/共99页【解题提示】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】由AB= ,BD= ,AD= 及AB+BD=AD，得 + = ,

31、解得H= = =124(m).因此，算出的电视塔的高度H是124 m.答案:124HtanhtanHtanHtanhtanHtanhtantantan4 1.241.24 1.20第87页/共99页三、解答题(每小题9分，共18分)9.某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57，俯角为30,同时测得B在南偏东78，俯角是45，求山高(设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1 m).第88页/共99页【解题提示】解答本题的关键是画出示意图，分析题意，然后借助正、余弦定理,求出相应的山高.【解析】画出示意图(如图所示)：设山高PQ=h,则APQ、BPQ均

32、为直角三角形，在图(1)中，PAQ=30，PBQ=45.AQ=PQ = h,BQ=PQ =h.1tan3031tan45第89页/共99页在图(2)中，AQB=57+78=135,AB=2 500 m,所以由余弦定理得：AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB，即2 5002=( )2+h2- hhcos135=(4+ )h2,h= 984.4 (m),所以山高约984.4 m.3h2 36250046第90页/共99页10.(2010陕西高考)如图，A，B是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点.现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？20 35(33)第91页/共99页【解题提示】在DAB中，由正弦定理可求DB，在DBC中，由