幂级数及泰勒展开习题解答

1、幂级数及泰勒展开求下列幕级数的收敛区间QOxn1. n±2n(2n-1)当x =1时，因12n(2n -1) 2n(n n -1)所以n4 2n(2 n 收敛,1)当X - -1时,二丄也绝对收敛,n4 2n(2n -1)=收敛区间为-1,1。an +lim2n (2 n-1)an11111nc2(n +1)(2 n+1)-1解：limn ?:32 £(-1)nxn.n£ 2巴 n解: limn :ian 1an=limn_：2n .1§2- n _ 1n . n 1 一 2当x = 2时,z (1为收敛的交错级数,n 1. n当x二-2时,打(-1)n

2、(-2)n_*nm2n n= 收敛区间为(一2,2。八上)n±L 2nn n nn-X 3 X解: limn ；：:an 1an二 lim收敛区间为寸4. <)n 害n 4 2n - 1二 limn 厂|2n 1解：limn :2n-1=1二 R=1故当2x 3 <1，即1 ex c2时级数绝对收敛。当宀时，二普A蔦的，艄氏发散， 当x = 2时，二为收敛的交错级数,门二 2n 1=收敛区间为（1,2。qi)n解：limn 二=limn¥ (n +2)1 n( n +1)ln(n 2)(n 1)=1二 R =1故当x1 <1，即0 ex c2时级数绝对收敛

3、。当x =0时，因为limln(n 1)nf(x)ln x 广 x c=limlim 0X r： xX r： 11 -ln x “、2： 0(x e)=xn 1ln x- 二 f (x)二xn_3 时，ln(n 2) :：: ln(n 1)n+2 n+1所以-(-1)nln(n 1)收敛,n =1当x =2时，因为当n _2时ln(n 1)1n 1 n 1发散,=收敛区间为0,2）。八今(x-1严n 1 n4解:2limn := limnc(x-1)2n 1 n4n(x1)2nJ1(n 1)4n 1-12故当1|x-14x1 c2，即1<xv3时级数绝对收敛。=1 时,J (_1 _1严

4、丁 O 为收敛的交错级数, n 4 n42 n 4 n=3时,、 dL（3_1）2nn为收敛的交错级数,n 4 n42nn=收敛区间为-1,3。二、求下列幕级数的收敛区间并求和函数n 土 2n -1解: limUn += limn-cUnnjcx1.x2n*(2 n-1)x2n(2 n 匚 1)2故当x <1=:1时级数绝对收敛，当I X I 1时，级数发散。:（一1）n 1: : （ _1）n当X二1时,'、匸匚（_1）2n口L为收敛的交错级数,n 2n -1n=1 2n -1当X =1时，J一口 为收敛的交错级数,n 壬 2n 1=收敛区间为-1,1。旳 1)n +x2n4-

5、令 S(x)八 一 S(0)=0n =12n 1cO彳彳S(x)二 (-1)n1x2n° = S(x)-S(0) 二dt 二 arctanxnJ1 +x故当x £1= x <1时级数绝对收敛，当|x|>1时，级数发散。'丿匕仆2S(x)二 arctanx(x _1).解：lim9n十= limUnn#2.x 2nx2n"n 1x2n 1(2n 2)2n»x 2noOqQ当 x=-1 时，、 2n(_1)2n= 2n 发散,n 4当x=1时,y 2 n发散,n 4O0令 S(x)八 2nx2nl : S(0)n =1-0x00 x 21

6、aoS(t)dt八o2门严気八2nxn =1S(x)=1-x3.oO' n(n 1)xnn 4=limn_?:解：limn 二(n 1)(n 2)n(n 1)=1=R =1QOn(n 1)(T)n发散,n =1CO当X =1时，7 n(n 1)发散；当n =1=收敛区间为（-1,1）。QO令 S(x)八 n(n 1)xn= S(0) =0n =1:x=0S(t)dt 八 0 n(n 1Xndt 八n =1n +nxn doO2n 1x ' nxn ：!2x(1-x)22xE|x52n解:= limI®x2n (2 n 1)2nlimn :x2n，2(n 1)(2n -

7、1)故当2x <1 二x <1时级数绝对收敛，当|x| 1时，级数发散。=1时,2n 一1 n 4 2n（通项不趋于零）发散,=收敛区间为(_1,1)。令S（x）八一纶n 4 2nx:0S(t)dt 八n =4S(X)八 x2njn£"牡4t2ndt =瓦丄 x2nJLnm 2n2nxn4 2n2n1S(x)(x = 0),S1(0) =0x3(x) -细0)15才(1-0时,S(x)S(x)二另解2-x-ln(1 -x2)2ln (1 x2)2x11-x2ln( 1-x2)2x21J 2小 21-x2x12，s(x)八一 1-21-n m I 2 n2n -2

8、11-x22nR11-x2学丄x2nx nd 2n三、求下列级数的和QO也可以考虑利用幕级数、'nJ借nx 二(|x|Q):2n送3nn 2 3S 13n431 °Of(2-1)(21)H(1)nl2-12n11 :2 nA丄(-1)2n-12n二32=2nJ 1 (n 二 k1)2n 1n J (-12n -12心2k -1=arcta n1 - -2兀 1=42四、利用直接展开法将下列函数展开成幕级数1. f (x)二ax(a 0,a =1)解：f(n)(x)=ax(l na)n二 f(n)(0)=(l na)QOa Zn =0皿nn!n£ n!limn :an

9、 1anl:na1=0= Rh；3故该级数的收敛区间为（：，F）。再由因a，有界,Z(Tx) n十x(n 1)!<M lim(ln a)：xC(n + 1)!n 1|x| =0& #1 x nHa"(l na)、丿卅 x(n +1)!(ln a)n 1(n 1)!意的x上式均成立。=x2. f (x) =sin 2|x|n 1是收敛级数八业X n£ n!_（lnaLxn（_： : X：-）的一般项，所以对任心n!（-二：x ： ：）。解：f(n)(x)=-sin 陛十12n (2 2 丿h f(n)(0)=1 .歹sin0, n 二 2k斜 n = 2k 1二

10、 f (n)(0) n!(n) /xn=22*n 1）广1，2n 3 Xnm22n*(2 n3)!22n 1 (2 n 1)!2n 3R-故该级数的收敛区间为。再由lim | R/x) |=lim2n 3|X|.2n 3 rxsin I 二I 22丿22n 3(2 n 3)!2n 3X2n 3|x|_ lim 鼎0X 厂23(2n 3)!qQ因V为绝对收敛级数 '匚2 3 （2 n 3）!(-1)n n22n1(2 n 1)!X2n+ （虫 x v邑）的一般项，所以对任意的x上式均成立。 =sin° =2 (-1)x2n±2(2 n+1)!2n 1（-：:X ；：n

11、）。五、使用间接展开法将下列函数展开成幕级数常用幕级数展式：(1):- ny()(2)sin x 八(-1)n £2n 1n X,("V X < +)(2n 1)!oOcosx 二' (-1)n =02nn ,(- ： ： X ：)(2n)!QO(1 x) T '"厂 C -n J,(_1*1)n =0(3)1 :xn,(_1：:X：:1)1 x n 卫11 x11= J(_1)nxn,(1：:X：:1)n =0qQ2 八 一(-1)*二(-1：:X：:1) -x n卫(6)qQln (1 x) = 一(-1)n 4nnd、n(7)oOarc

12、tanx 八(_1)nn=02n 1x2n 1°°x2 n鳥册乔，"S(-：:x - )。基本方法：代数法，即代换；利用幕级数性质.对复杂函数可以先求导看是否为幕级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幕级数展式。1.2f(x)解:QCi ”由et;討一 t），令得2n2.f (x) = sin 2xf2n 1oO解:由sint "I)，令5得sin2x，11)n 沁n =0(q < x < 母)。(2n 1)!3.f (x) = sin2 xC0e"1 e : X ：。)n=0n!oO由 COst：3)n(2n)!4.sifxH

13、n罢，(1)n1 (2t)2n(2n)! nw2 (2n)!f (x)二 arctanx解:t (：:n -)，及 sin2x =丄 1-cos2x 令t = 2x得2解:1°°f (x)2 二' (T)nx2n( T ： x ： 1)=1 +xn=earcta nx =0 1 +t旳x 2dt(_1)n 0t2ndt 八(-1)x 12n z0:x2n 1訂1*1)n0X = 1时，均为收敛的交错级数。1f(x):5 2x5.解:由丄1 -toO八tnn=05-|x1 2，令t = 一 x得56.解:7.解:f (x) =15-2(x£f (x)二 In

14、(x. 1 x2)由I11f (x)二oO、(-1)n 4x1x2X . 1 x2n1 32 4(2 n)门吕_ _1_1 x2(2n 一 1)!tn(1 :t 岂 1)，得 (2n)!=1 J(_1)n(|书!x2n(|x|)=. nm(2n)!x 1dtJ J1丄栏、n (2n -1)! 2nf 一、二x ' (-1)x (|x|_1)(2n + 1)(2 n)!In x 1 x21亠Xf(x)yf (x)QO=2、x2n(-1 ： x <1)-n =0xt2n21 -x2 ： x2n 12dt =2(一1 ： x ：1)。1 -t2n2n 1六、在指定点处将下列函数展开成幕

15、级数1. f (x) = In x,在x =2处.n解：由 In(1 t)八(-1)小(-1 21)及n =1nIn x = ln(2 x -2) =ln2 i1I 2=l n2 In 1 心I 2（-：x ：）=1 n2、(1)2 x-2 3n=1nn/0*4)。oOIn x =1 n2 、(一1严n =12. f (x)二 ex,在x =1处解: ex=eexQ 3(。n卫n!七、求函数f (x) = xx a 二 In(1 x)在X = 0处的n阶导数(n 2):kk -2解: f (x) =X2、(一1)2丄八(1)kx - kAkkAk(n)(x)M 2)(kxk2l k =n -2

16、f(n)(0)=(_1)nJ3(_1)2n(n -1)(n -3)!。1，记它们的交点横坐标的绝对值为n 1n 22 1 2八、设有两条抛物线 y = nx2 和y =(n 1)x2 n(1)求an的表达式(2)求这两条抛物线所围成的图形的面积(3)解：(1)ann(n 1)an !212nx2(n 1)x2 -m n4 34oO(3)由、n =1= lim£ 1 = lim£I：n(n 1) n ；：k1k(k 1) n 厂心 k k 1 n .=："叫 _n (n + 1)=1,得幂级数部分习题课常用幕级数展式：O0 xn（1） ex, （-： x ： ：）n

17、n!(2)sin x 八(_1)nn z02n 1X(2n 1)!八(1)2n 42ndX(2n_ 1)!(3)oOcosx - ' (_1)nn卫2nx丽(> 一 1).(： _ n 1) n(1x)=1xnnzgn!（一 1 ： x ：1）1旳1lnx ,1 _ x n Z0（-1 ： x ：1）0n n八(-1) x ,n =0（-1 ： x ：1）11 x2八(1)nx2n, n =0（一1 ： x ：1）O0(6) ln(1 x)二' (-1)(-1QO(7) arctanx 八(-1)nn =0x2n12n 1QOn £2n 4(廿詰（一仁 x）基本

18、方法：代数法，即代换；利用幕级数性质.对复杂函数可以先求导看是否为 幕级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幕级数展式。补充例题1.、把下列函数展成x的幕级数解:9 x2f(x)二 x2n :x2n19 x21 x dfx 2疋瓷(T)nZ ±(-1)n33*3)。n=0n=02x、1x22*1 x2xf (x) = arctanx21 +x=arctanx = '、' (_1)n2n 1 x及 f (0) =0 二3.解:f(x)1f(x)=4ln1 x1 -xn=02n 2x(2n 1)(2 n 2)1arcta nx-x2,(一1 mx 乞1)。由 f (x

19、) J -4 (1+x 1x 丿 21+xA旳2 _ 1玄1二"x ，(1：%：1)1 -xn =4及 f (0) =0 二4.xf(x)° f (t)dt 八:x4n1,(_1 <x<1)。n 4n 1f (x)二 In(1 x x2 x3 x4)解:234f (x) =l n(1x x2 x3 x4)ln(1d)八廿皿=-n5n xnln(1-x)八(_1)2匕丛,(-仁 X ：1) n,(-仁 x ：1) nf (x)=4n x(1_x )xn,(1 玄x<1)。n*n nnn=1n把下列函数在指定点展成幕级数1.f (x) = In x 在 x =

20、1 处解:f (x) =1 nx =1 n1 (x 一1)八(_1)n4(X- X5=lnIn (1x5) I n(1 x)(x=1)1 - x),(0 ： x空 2)2.1f(x)二x2 3x 2解:f (x) _(X 1)(x - 2)x 12 (x -1)2 A x -12 12111 11111x 23 (x -1)X -1 +八(-1)n=0解:4.解:31312“ 1 - & 1、d/ x、e -ef (x)=dxl x j丿在x =1处3.oO/f(x)八(-1)nn =0丄(1)n匸3nJ , 3n八(")n”73(x")n,(-2*4)13(x1)

21、n,(1：x :： 3)ex ”3 = nzsn!ex-e、二(x-1)nexx-1n a n!f(x)T/ x、e -el xj兀oO化匸严1)。f (x) =sin x 在 x 处4由-JI (Msin x =sin | , x 一Ml4丄ji (兀)=sin cosI x -4.4f n sin I x -一I 4丿n _2(x-1)31cos sin I x -4上二二 cos42 一.ji x . H sin x - 4.42n 1 H YoO八(-1)nn=0(A V X v 址)(2n1)!2n(COS I x 一I 4丿jix八(T)nT)T( n=o(2n)!4 *2'：-sinx 、 (_1)n2 n2n -1r n fX f八(2n 1)!(2n)!JI（-：:X ：:：）三、幕级数求和步骤：1.求出给定级数的收敛区间;2.两种途径:适当变形=逐项积分=常见函数之幕级数(ex,si nx,cosx,l n(1x),几何级数等)=逐项求导=得和函数适当变形=逐项求导=常见函数之幕级数（ex,si nx,cosx,l n(1 x),几何级数等)=逐解：由limn ；=limn 厂(n 1)!2n 1项积分=得和函数1,n卫n!2n 亠 3 n!2设S（X）八：空2费 n z0n!，逐项积分得x:： x2n 10S(t