《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习：必修部分 开卷速查23 解三角形应用举例

1、开卷速查(二十三)解三角形应用举例A级基础巩固练1一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D.20海里解析：如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)，故选A.答案：A2在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为2，继续在水平地面上前进300 m

2、后，测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A300 mB.450 mC300 mD.600 m解析：如图所示，易知，在ADE中，DAE2，ADE180°4，AD300 m，由正弦定理，得，解得cos2，则sin2，sin4，所以在RtABC中山峰的高度h300sin4300×450(m)答案：B3要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是()A100 mB.

3、400 mC200 mD.500 m解析：由题意画出示意图，设塔高ABh m，在RtABC中，由已知得BCh m，在RtABD中，由已知得BDh m，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BC·CDcosBCD，得3h2h25002h·500，解得h500(m)答案：D4如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan等于()A. B.C. D.解析：由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB2AC

4、2BC22×AC×BC×cosACB，即3.521.422.822×1.4×2.8×cos()，解得cos，所以sin，所以tan.答案：A52015·辽宁丹东模拟如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos等于()A.B.2C.1 D.解析：在ABC中，由正弦定理可知，BC50()在BCD中，sinBDC1.由题图知，cossinADEsinBDC1.答案

5、：C6如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30°B.45°C60°D.75°解析：依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理，得cosCAD，又0°CAD180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案：B7在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75°，CBA60°，则A，C两点之间的距离为_千米解析：由已知条件CAB75

6、76;，CBA60°，得ACB45°.结合正弦定理，得，即，解得AC(千米)答案：8如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8n mile，BSA45°，由正弦定理，得，v32 n mile/h.答案：329某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到

7、达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为_m.解析：过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30°，故ADE150°.于是ADB360°150°60°150°.又BAD45°30°15°，故ABD15°，由正弦定理得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin45°500(1)(m)答案：500(1)10已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何

8、方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解析：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC0.5x，AC5海里，依题意，BAC180°38°22°120°，由余弦定理可得BC2AB2AC22AB·ACcos120°，所以BC249，BC0.5x7，解得x14.又由正弦定理得sinABC，所以ABC38°，又BAD38°，所以BCAD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船B级能力提升练11某城市有一块不规则的绿地如图所示，

9、城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD14，BC10，AC16，CD.(1)求AB的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计建造费用最低？请说明理由解析：(1)在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BCcosC1621022×16×10cosC，在ABD中，由余弦定理及CD，整理得AB2AD2BD22AD·BDcosD1421422×142cosC.由得：1421422×142cosC1621022

10、5;16×10×cosC，整理得cosC.C为三角形的内角，C60°.又CD，ADBD，ABD是等边三角形，故AB14，即A、B两点的距离为14.(2)小李的设计使建造费用最低理由如下：SABDAD·BDsinD，SABCAC·BCsinC.AD·BDAC·BC，且sinDsinC，SABDSABC.由已知建造费用与用地面积成正比，故选择小李的设计使建造费用最低12如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山

11、，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由正弦定理，得AB×sinC×1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，