立体几何的展开问题

1、例3如图，在正三棱锥p-abc中，明=2, zy4pb=30°,经过点a的平面与侧棱pb、pc交于e、f两点，贝ijaaef周长的最小值为分析：将正三棱锥p-abc的侧面沿侧棱彷剪开后，铺成平面图形pabca1 （五边形）,如右图所示，然后利用定理“两点z间，线段最短”可以得出：aef周长的最小值就是解答：将正三棱锥p-abc的侧面展开得到五边形pabca则aef周长=ae+ef+far >aa当且仅当a、e、f、af四点共线时，aef的周长取得最小值，即线段aa'的 反度，因为在正三棱锥pmbc小，zapb=zbpc=zapc=30°,所以在五边形pabca

2、'中,zapaf =90°,又par =pa=2 ,所以a4' =22 ,即aaef周长的最小值为2血例 4 如图，在长方体 abcd-aibicidi 中，ab=a, bc二b, a4）=c,且 a>b>c,动点 p 在长方体的表面上从点4出发运动到g，求动点p的最短路程.分析：此题需要“展开”长方体中含有点a和点g的相邻两个面，其展开方法有三种 （如图1、2、3所示），分别在每个展开图中，连结aq,即可得岀点4与g之间的最短路 程，然后利用勾股定理求出各自结果，再通过比较大小确定最后答案.在图 1 中，acl = + 疔 +（? = la2 +b2 +

3、c2 +2ab :在图2中，ac】=折 +（卄门2 =如+胪+疋+2加；在图 3 111 > acj = j(a + c) + b j+ c" + 2ac ； a > b > c > 0, ab > ac> be ja? +b? +c? +2ab > ja? +b? +c? + 2bc > 如+戻+<?+2oc所以图2中的路程最短，最短路程为+疋+2bc .【反思】“展开问题”是指将立体图形的表血（或部分表面）按一定的要求铺成平面图 形，再利用平面图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是：确定需要展 开立体图形中的哪

4、几个面（有时需要分类讨论），以及利用什么平而定理来解决对应的立体问题.1. 下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，给出以下四个命题：cn与be是异面直线；cn与bm所成的角是60° ；mb与de平行；dm与bn垂直.其中正确命题的序号为（）a.b.c.d.ndc m/e ab（第1题图）1 解析：首先将正方体的平面展开图还原成正方体，然后利用正方体中的线面关系即 可判断四个命题中、正确，选d.2. 正方形abcd的边长为2, e、f分别是和cd的屮点，将正方形沿ef折成直 二面角（如图所示），m为矩形aefd内一点，如果zmbe=zmbc.且mb和平面bcf所 成角的正切值为

5、丄，那么点m到直线ef的距离为（）2v2v31a b 1c. d2222.解析：过点m作连结则mn丄平面bcfe,二zmbe二zmbc,:.bn为zebc为角平分线，:zebn=45° , bn=j1,又竺. =从而mn二迄，选abn 223. 设正三棱柱abc-ac,的底面边长为1,高为3, 质点自a点出发，沿着三棱 柱的侧而绕行西囲到达a点，则质点运动的最短路线长为3.解析：将正三棱柱abc-ac,的侧面展开两次，得到一个长为6、宽为3的矩形,此矩形的对角线就是所求的最短路线，其长度等于j&+32 =3运.答案：3a/5 .5如图，在直三棱柱 4bc4|b|c中，ab=b

6、c=迈,bb、=2, zabc = 90°, e、f 分别为aa】、05的中点，沿棱柱的表面从e到f两点的最短路径的长度为5.解析：将三棱柱abc-ac.中含有点e和点f的相邻两个面展开（注意分类： 如图1-4所示），分别求出各不同的展开图中线段ef的长度，其中最小的数是班.故答案为:芈.例3.如图5,设正三棱锥sabc的底面边长为a,侧棱长为2a,过a作与侧棱sb、sc 都相交的截血aef,求这个截面周长的最小值。分析：沿侧棱sa将三棱锥的侧面展开如图6,求aaef周长最小值问题就转化成了求a、a，两点间的最短距离。图6；、c为其上的三个点，则在正解析：b如图a7 7 设zasb

7、= e,则由余弦定理得cos& = ,所以cos3& = 4cos3& cos& = 8 128可求得aa'=a,即所求截而周长的最小值为耳。4418.如图，是一个无盖正方体盒子的表ifi 方体盒子中，zabc等于( )a. 45°b. 60°c. 90°d. 120°右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：ab与cd所在直线垂直；cd与ef所在直线平行ab与mn所在直线成60°角；mn与ef所在直线异面其中正确命题的序a-b.c.d解析：d如右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，a、b、c是展开图上的三点, zabc的值为.a. 180°c. 45°则在正方体盒子屮,b.