孤岛疾病问题的探讨

1、孤岛疾病问题的探讨摘要建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律, 探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。本文是一个孤岛疾病传播问题。首先根据孤岛的自身特征方面的条件解决问题 a:列出假设1、2,问题b:根据模型建立的被感染人数 X与时刻t的关系，利用 matlab软件画出dX/dt关于X的图像。问题c:又假设感染的人数X1<N/2,画出X 关于t的图形。在此问题的基础上取 X仁N/4和X仁3N/4;问题d:求解出微分方 程,最后把X作为t的函数，解出前面给的模型。问题e:此模型方程是logistic 模型，求出X的表达式，得出当t趋于

2、无穷大时X的极限为N。问题f:有代表的 数据列出表格求解出这些数据，得出的这些数据支持该模型，估计模型中的常数 并预测t=12天被感染的人数，列出关系模型。问题 h:分析上述模型的优缺点， 试给出改进方案。【关键词】孤岛疾病微分方程关系模型改进方案一、问题重述如何确定孤岛的疾病传播速度问题通过正确的措施进行控制并对人们的身心健 康有很大的帮助，也是必不可少的。考虑在一个人口数量为N的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻 t将会被感染的人数X。考虑一下模 型，其中k>0为常数：dXkX (N - X )dt(a)列出这个模型所隐含的两条主要假设，

3、说明这些假设有什么依据?(b)画出dX /dt关于X的图形(C)若初始被感染的人数X N / 2，画出X关于t的图形；若初始被感染人 数为X, : N / 2，画出X关于t的图形。(d) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。(e) 由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。(f) 设岛上的人口有5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853In (X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？(g) 利用的结果估计模型中的常数，并预测t=l2天时被感染的人数。(h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。、模型假设1、人口数量N不

4、变，因为是孤岛。2、 人口分为健康人和被感染的病人，数量分别为X ,N-X3、在规定的时刻内人口变化 X取整数，因为人口为整数三、符号定义说明X( t)： t时刻被感染的人数S ( t)： t时刻未被感染的人数k :常数C1、C2皆为参数N :孤岛上的人口总数,即N=X(t)+S (t)四、模型的建立与求解4.1模型的建立依据(a)列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据?假设1人口数量N不变，因为是孤岛。假设2人口分为健康人和被感染的病人数量分别为X ,N-X。4.2模型的建立与求解 (b)画出dx /dt关于X的图形设 k=0.1X=0:0.1:1;ezplot('

5、0.1*X*(1-X) ',0,1);(C)若初始被感染的人数X：: N /2，画出X关于t的图形；若初始被感染人数为 X, N /2，画出X关于t的图形。1、取 XN / 4，贝Uy=dsolve('Dy=0.1*y*(1-y)','y(0)=0.25','x');ezplot(y0,50);2、Xi =3N / 4，贝Uy=dsolve('Dy=0.1*y*(1- y)',' y(0)=0,*X');ezplot(y0,50);11/(1+1/3 exp(-1/1 Ox)(d)把X作为t的函数，解出前面

6、给出的模型。dX kX (N - X ) dtsyms N k:X=dsolve('DX=k*X* (N-X )')X -N / ( 1 expk( N* t * C* N *NX.(C1N-N)e(e)由(d)，当t趋于无穷时求X的极限。Nlim X = limkT = NJ 1 (C1N -N )e天数t2610被感染人数X188740874853ln( X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型?N1 - (C1N - N)e 山Nkt _1 =(C1N _N )e_ 二 X=In (C1N _ N)e 虫=N -X 一1 =(C1N _N)e 虫二

7、In N "XXIn=kt -C 2可以看出In为线性变化的,所以可以认为这些数据支持该模型(g)利用(f)的结果估计模型中的常数，并预测 t=12天时被感染的人数。X，口 ,Inkt C2 得到 k=0.5N -X再代入 k 值，得 C2=1.5，而 N=5000， 当t=4+10=14时，可以解出 X的值： X= 4979确定参数C1=N/X0，则有X-N )e_kt五、模型评估及改进5.1模型的优点(0用假设分析、微分求导导数、线性相关等方法，解决问题，方法简单易懂，过程清晰且准确。(2)又利用matlab软件处理数据简单、准确、而且具有科学性，得到的结果更具说服力5.2模型的

8、缺点(1)在问题a的问题假设1没有考虑人口的流动量(2)在问题a的问题假设2没有考虑治愈问题等情况改进：将对象分为三类：病人，健康人与治愈的人。符号说明：s( t)：健康者在总人数N中占的比例i (t)：病人在总人数N中占的比例r(t)：病愈免疫的移出者在总人数 N中占的比例模型假设：t三类人在总1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出三类，时刻 人数N中占的比例分别记为 s(t)、i(t)、r(t).2病人的日接触率为 k日治愈率为卩，传染期接触数为=丸/卩模型构成：由假设 1 可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1(1)对于病愈免疫的移出者有drNNi(2)dt再记初始时刻

9、的健康者和病人的比例分别是So(So >0)和io (io >0)(1)、(2)模型的方程可以写成i 一i,i(O) 7。dtds=一，si, s(0) = s0i(t)、s(t)图形我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i (t) ,s (t)的性质。D =(s, i) | s>0 i >0 s + i 任1在方程(3)中消去dt并注意到c的定义，可得dids11-1 Jd sdi1 1s cIq临 1s ci所以：didsi lsiQ的解为：i = (sQ，iQ) -s利用积分特性容易求出方程1 sIn(6)CT Sq在定义域D内,(5)式表示的曲线即为

10、相轨线，如下图所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向P1: sQ>1存> i(t)先升后降至Q =传染病蔓延P2: sQ<1/二> i(t)单调降至Q =传染病不蔓延1/二阈值1. 提高阈值1/;= 降低二（="）二二叽-（日接触率）0二卫生水平7日治愈率）=医疗水平2. 降低sX提高rO=群体免疫a 的估计So + io +0 11 sSo io_s：ln = 0忽略io；.- 一 InSons :° soso Sqo参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社.数学分析，陈纪修，于崇华，金路,高等教育出版社附录：fun ct