三角函数基础知识

1、三角函数基础知识三角函数基础知识(精华)1、任意角(终边相同的角、轴线角、象限角)与a(O。WaV360° )终边相同的角的集合(角a与角4的终边重合)：.夕=-360。+夕/间象限角：第一象限的角表示为a|k.36()oVaV k-360°+90°, (keZ) ；第二象限的角表示为a|k-360o+900<a<k-360o+180°, (keZ) ；第三象限的角表示为a|k-360o+1800<a<k-360o+270°, (kcZ) ；第四象限的角表示为a|k-360o+2700<a<k-360o+36

2、0°, (keZ) ； 或a|k-360°-90°<a<k-360°, (keZ) .轴线角：终边在X轴正半轴上的角的集合：a|a=k-360°, kcZ；终边在X轴负半轴上的角的集合：a|a=k360o+180。，kcZ；终边在x轴上的角的集合:a|a=k180°, kcZ；终边在y轴正半轴上的角的 集合：a|a=k-360°+90°, keZ；终边在y轴负半轴上的角的 集合：a|a=k.360°+270°, keZ；终边在y轴上的角的集合:a|a=k-180°+90&#

3、176;, keZ；终边在坐标轴上的角的集 合：a|a=k-90°, keZ.2、弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧 度的角.它的单位是rad读作弧度，这种用 “弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制性质：平角、周角的弧度数，(平角=7crad、 周角二2兀rad)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0角a的弧度数的绝对值同(/为弧长,为半径)角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一 样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、 尺、寸，反映了事物本身不变，改变的 是不同的观察、处理方法，因此结果就 有所不同.用角度制和弧度制来度量零角

4、，单位不同，但数量相同（都是0）;用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不 同，量数也不同.角度制与弧度制的换算：racl = ( ' 六 57.30° =5738'360°=2k rad A 180°=n rad1°= rad x 0.01745Md1803、扇形相关公式 弧长公式：，"必周长公式：c = 2厂+ /扇形面积公式s = Lr = 同相221 1其中夕是圆心第11页角，/是扇形弧长，R是圆的半径4、三角函数定义：a的垓边P(x,y)设a是一个任意角，在°的终边上任取 （异于原点的）一点P （x, y）

5、P与原 点的距离为r,贝!正弦:sina =)余弦:cosa = 2 ；正切:tan 2 = x余切:cota = 2 ； v5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）X正弦.余割+ X余弦、正割正切.余切6、特殊角的三角函数值:角 度(F30°45°6aj90。12。135°150。180弧 度0716717乃7兀2271T3死T67Tsin（正弦）0£ 2比 2正 21小 "T正 2£ 20cos（余弦）1正 2叵 2£ 202_V2 2_走 V-1tan（正切）0正 31小8-107、同角三角函数的基本关系

6、式:cosa= cola sinatana-cota = lsin a =lan acosasin2 a + cos2 a8、诱导公式:把舁a的三角函数化为她三角函数，概括沏“奇变偶不变，符号看象限”公式组一公式组三sin(2k/r + x) = sinxcos(2k/r + x) = cos xtan(24 + x) = tan x公示四sin(-x) = -sinxcos(-x) = cos x tan(-x) = 一 tan xsin(-x) = cos.rcos(-x) = sin x 2tan(-.r) = cotx 2公式组四公式组六sin(%+ x) = -sinx cos(4

7、+ x) = -cosx tan( + x) = tan xsin(-x) = sinx cos(万一 x) = -cosx tan(-x) = -tanx9、三角恒等变换公式cos(a + /?) = cos a cos /7-sin a sin pcos(a = cos ex cos p sin a sin J3 cos2a = cos2 er-sin2 a = 2cos2 cr-1 = l-2sin2 asin(a + /7) = sin acos A+cosasin 0sin(a - p) = sin a cos p - cos a sin p, 小tan a + tan 尸tan(a

8、 + /?)=-1-tanor tan/7a , /1 + cosofC°S-2 = V 2公式组二sin(+ x) = cos.rcos(+ x) = -sin x 2tan(+ x) = -cotx 2公式组sin(2 %- x) = -sinx cos(2 %一x) = cosx tan(2 - x) = - tan xsin 2a = 2 sin a cos a-2 tanatan2a =1-tair a.a11-cosaSin1 = ±,2tan(a-/7) =tana-tan/7l + tan(ztan/7a /1-cosa tan= ±j2 v l

9、+ cosasin a 1-cosa1 + cosa sin a升越公式:降幕公式:)1 + cos lacos* a =2.)1 一 cos 2。sin a =2l+cos2a = 2cos%1-cos la = 2sin: a1 + sin 2a = (sin a + cos a)21-sin 2a = (sin a -cos a)2辅助角公式：l：x/：sino±x/Jcosa = 2sin(a±)6： 1型:x/Jsinn 士 cosq = 2sin(a 土马 61:1型:sin。土cos = V2sin(±) 410、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性

10、质:/y = sin xy = cosxv = tan.v定 义 域RRJnI.t w A.IlxH A厅+ 1都" ezj4g域-M-iaiR周 期 性2ttInn奇 偶 性奇函数偶函数奇函 数单调 性-+2k+2k/r匕为增函数；£ + 2%肛¥ + 24幻22减函数（Q3一1),2人团；上为增 函数2丘,(2&+1)加上为减 函数(kZ )V+*W+可上为增函数(A eZ )对称轴X = % (%是函数取最:的X，大或最小值时对应 直)无对称中心(%0)(函数图像与X轴的交点)/y = tan （cox+（p）y = Asin（XK +（p）（A、&

11、#169; >0）定 义 域xlxeRilxk/r.k eZR 域.1R-aa周 期 性nCD2兀 石奇 偶 性/（O） = OiM,为奇函数/(O) = OII-t，为奇函数；”0)是极值时，为偶函数单 调 性*，江，乃zj K7r-<cox +（p<K7r + 时，为增函数（丘z）当24乃-2«8+0«2左乃+2时,为增 22函数；当 2k7： + <cox +(p< 2k7t + 时 f 达 22函数(s)对称轴无X", （ %是函数取最大或最小 值时对应的X值）对称中心（质,0）（函数图像与X轴的交点）注意：），门与nx的单调

12、性正好相反；尸.8sx与 的单调性也同样相反。）=卜叫与y=|c°sx|的周期是4.（§） y = sin（6iv+（p）y = cos（tuv + （ h 0 ） 的周期丁 = *.网tan的周期为2万（, =向=7 = 2开，如图，翻折无 y = sin（tav+）的对称轴方程是J（A“），对称中JL? （女万,0 ） ； y = cos（5 + *）的对称轴方程是八="（ez）,对称中心（丘+ Lo ）； y = tai3 + °）的对称中心（¥，0 ）o22tanatcin/? = L a + /3 = k/r + g(k eZ)tan

13、a lan尸=T, a-。= ka + g(k eZ) y = cosa-与y = sin1+尹2可是同一函数,而y = cos（公y +。） 是 偶函数，则y = cos(3x +。) = sin(vvx + A/r + 一) = ± cos(vvx) 函数 L在R上为增函数,（X）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域， 三皿为增函数，同样也是错误的.明不是周期函数；尸卜山目为周期函数（）;是周期函数；，外网为周期函数（"）;os2x +1的周期为乃（如图），并非所有ea都有最小正周期，例如:y = /(x) = 5 = f (x + k),k e R 11三角函数

14、图象的作法: 1 ）>几何法:2 ）、描点法及其特例一一五点作图法（正、余弦曲线）,三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和 相位变换等.函数y=Asin （ x+ 4> ）的振幅|A|,周期二至,co频率广L曳，相位皿+夕初相。（即当X = 0时的相'T 2笈位）.（当A>0, 3>0时以上公式可去绝对值符号）,由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长（当或缩短（当OV|A|V1） 到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y

15、=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变， 横坐标伸长（0<|«|<1）或缩短（|<0|>1）到原 来的倍，得到y=sins x的图象，叫做周期变换 。或叫做沿X轴的伸缩变换.（用3 X替换X）由y=sinx的图象上所有的点向左（当4）>0）或向右（当6 V0）平行移动| 4）I个单位，得到 = sin （x+ 4）的图象，叫做相位变换或叫做沿轴方向的平移.（用x+小替换x）由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0） 或向下（当b<0）平行移动I b I个单位，得到y = sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b） 替换y）由y = sinx的图象利用图象变换作函数y = Asin（3x+6） （A>0, （o>0） （xSR）的图象， 要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不 同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。正弦定理及变形：（A, B, C为三角形三个顶角，a,b, c,R为外接圆半径）sin A sin Bsin C sin A + sin B + sin C=2R变形:67 = 2/?sin Ab = 2