浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理)第11章11.9轨迹问题

1、1.方程x2+xy=x表示的曲线是( ) A一个点 B一条直线 C两条直线 D一个点和一条直线C解析：方程可变形为x(x+y-1)=0， 所以x =0或x+y-1=0，表示两条直线2.到两定点A(0,0)，B(3,4)的距离之和为5的点的轨迹是( ) A椭圆 BAB所在的直线 C线段AB D无轨迹C解析： |AB|=5，所以动点的轨迹为线段AB.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是( ) A2x+y+1=0 B2x-y-5=0 C2x-y-1=0 D2x-y+5=0D解析： 设Q (x，y)，则

2、可得P(-2-x,4-y)， 代入2x-y+3=0，得2x-y+5=0.4.已知实数m，n满足m2+n2=1，则P(m+n，m-n)的轨迹方程是_.x2+y2=222222.2 12.xymmnxmnyxynmnxy令，得又因，解为得析：5.设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程 .解析：(代入法)设M(x,y)，P(x1,y1)，则又即x1=2x，y1=2y,代入得x2-4y2=1.xy2214x2-4y2=1.xy221114,xxyy11221.曲线与方程的关系一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个

3、二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：( 1 ) 曲 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 ；方程的解方程的解( 2 ) 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 均 是 .那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）的坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的 .(3)将动点M的坐标 ，列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.曲线上的点曲线上的点几何条件的集合几何条件的集合代入几何条件代入几何条件(4)化简方程f(x,y)0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有

4、点是否都满足已知条件.注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价变换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.3.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的 ，则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一

5、曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；定义定义(4)参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程；(5)交轨法：在求两动曲线交点的轨迹问题时，通过引入参变量求出两曲线的轨迹方程，再联立方程，通过解方程组消去参变量，直接得到x,y的关系式. 考点考点1：直接法求轨迹方程：直接法求轨迹方程例题1：设动直线l垂直于x轴，且

6、与椭圆x2+2y2 =4交于A，B两点， P是l上满足PAPB =1的点，求点P的 轨迹方程. 解析：设P点的坐标为（x,y)，用直接法求得P点的轨迹方程，要注意x的范围，通过直线l与椭圆相交获得. 设P点的坐标为（x,y),则由方程x2+2y2=4,得2y2=4-x2,所以所以A，B两点的坐标分别为,xy 242,),( ,),xxxx224422（又PAPB=1，所以即 所以又直线l与椭圆交于两点，所以-2x2,所以点P的轨迹方程为,) ( ,)1,xxxx224422（,xy22412,xy22163().xyx2212263 点评：求动点的轨迹时应注意它的完备性与纯粹性.化简过程破坏了

7、方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）.A( 2y)B(0)2C(xy)C.yABBC 平面上有三点， ， ， ，若则动点 的轨迹方程为_ 2y8x拓展训练：222(2)()222048 .8 .yyABBCxyABBCAB BCxyxCyx根据题意， 因为，所以， 即故动点 的轨迹方程为解析： 例题2：如图，已知圆A：（x+2)2+y2=1与点A(-2,0)，B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程：（1）PAB的周长为10；（2）圆P过点B（2，0） 且与圆A外切

8、（P为动圆圆心）；（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.考点考点2 定义法球轨道方程定义法球轨道方程分析： 根据题意，先找出等价条件，再根据条件判定曲线类型，最后写出曲线方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (2)|PA|-|PB|=1. (3) P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离解析：（1）根据题意知，|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P点的轨迹是椭圆，且2a=6,2c=4,即因此其方程为 (y0).,acb32525xy2219（2）|PA|-|PB|=1. 解

9、析：设圆P的半径为r，则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1,2c=4,即因此其方程为,acb115222().xyx224141152（3）P点到A的距离比P点到直线x=1的距离多1，即P点到A的距离等于P点到直线x=2的距离. 解析：依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.因此其方程为y2= -8x. 点评：(1)本题为利用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程的问题.若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的

10、轨迹方程. (2)圆锥曲线的定义揭示了其本质特征，而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同，因而掌握定义是根本.考点考点3 代入法代入法(相关点法相关点法)求轨迹方程求轨迹方程1,02,FMxPyMNMP PMPFPyN 设，点在 轴上， 点在 轴上，且当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹方程 例题3：分析：(1)确定M与P的坐标关系 (2)寻找动点N与点M、P的关系 (3)用代入法求轨迹方程0,00000000000000000(0)(),()(1)()(1)00.2,()2()2122M xPyN xyNPMPF PMxyPFyxyyxyMNMPxxyxyxxxxxyyyyN 设， ，点 为轨迹

11、上任意一点 因为， 所以，所以 由得， 所以即 故所析求：的点解 ，24 (0)yx x的轨迹方程是点评：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程拓展训练：如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2 =36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 分析：动点Q与AB两点的变化有关，由圆的弦的性质知点Q与AB的中点R有关，因此可先求出R点的轨迹方程，再转化为点Q的轨迹方程 .解析：设AB的中点为R（x,y)，则在RtARO中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-

12、（x2+y2).又有（x-4)2+y2=36-(x2+y2).即x2+y2-4x-10=0.因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.| |()ARPRxy224，设Q(x1,y1),由R为PQ的中点，所以有代入方程x2+y2-4x-10=0得,整理得即点Q的轨迹方程为x2+y2=56.,xyxy11422，()(),xyx22111444100222,xy221156点评：在某些较复杂的探求轨迹的过程中，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.考点考点4 用参数法求轨迹方程用参数法求轨迹方程例题4：已知抛物线

13、y2=4px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M点，求点M的轨迹方程 分析：(1)动点M(x，y)的坐标之间的关系不易找 到 (2)动点M与A、B的直接关系不明显，因此 需引入参数 (3)由OAOB建立联系，消去参数得解0000222221222(). 4240.440ABM xyABykxbxOMABkyypxykxbyk xxkbpbbx xkxkypypb 直线斜率存在时，设， 直线的方程为由，得， 由，及， 消去 ，得， 所以 消去 ，得解析：，121212220000022224.444040(0)0114 ,040(0)40(0)pby y

14、kOAOBy yx xpbbbkpkkykxbk xpxkxypxxyABxOAOBMpxypxxMxypxx 所以 由，得，所以，故把代入，得当轴时，直线、的斜率分别为 和，易求得，也符合所以点的轨迹方程为点评：在一些很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式的情况下，往往借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x= (t)，y= (t)，再通过一些条件消掉t就间接找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程拓展训练：过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹

15、方程 1111122111211110 101lylkklllklybkxalybxakayMxak 当 不平行于 轴时，设 的斜率为 ， 则，因为，所以 的斜率为，的方程为， 的方程为 在中令，得点的横坐标为解析：， 11221122()2222220()2()2 2.1 2220.2MNPxyabxkbaykakaxbyabxa blyMNMNPaxbyab设的中点 的坐标为 ， ，则有，消去 ，得当 平行 轴时，的中点为， ，其坐标满足方程综合知，的中点 的轨迹方程 为设椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2F1F2,原点O到直线AF1的距离为 (1)证明

16、:a=2b;证明：方法方法1：由题设AF2F1F2及F1(-c,0),F2(c,0),不妨设点A(c,y)，其中y0.由点A在椭圆上，有22xyab221|.OF113,cyab22221即解得 从而得到直线AF1的方程为整理得b2x-2acy+b2c=0.由题设，原点O到直线AF1的距离为即将c2=a2-b2代入上式并化简得a2=2b2,即.abyab222221,bya2( ,).bA ca2(),byxcac22|,OF113,cb cba c242234.ab2方法方法2：同证法1，得到点A的坐标为过点O作OBAF1，垂足为B，易知F1BOF1F2A.故( ,).bca2|.|F AB

17、OOFF A211由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a.又所以解得而故得 即|,BOOF113|,|F AF AF AaF A2212132|,aF A 22|,bF Aa22,2baa2.ab2(2)设Q1,Q2为椭圆上的两个动点OQ1OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D，求点D的轨迹方程.解析：(2)设点D的坐标为(x0,y0),Q1(x1,y1),Q2(x2,y2). 当y00时，由ODQ1Q2知，直线Q1Q2的斜率为-x0y0，所以直线Q1Q2的方程为 或y=kx+m, 其中()xyxxyy 0000,.xxkmyyy 200000点Q1(x1,y1),Q2(x2,

18、y2)的坐标满足方程组 y=kx+m x2+2y2=2b2.将式代入式，得x2+2(kx+m)2=2b2.整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2b2=0，于是2,.kmmbxxx xkk 22121242212122由式得y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.mbkmkkmmkkmb kk22222222222421212212由OQ1OQ2知x1x2+y1y2=0，将式和式代入得即3m2=2b2(1+k2).将 代入上式，整理得当y0=0时，直线Q1Q2的方程为x=x0.,mbb kk22222322012,xxkmyyy 200000.xy

19、b2220023点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)的坐标满足方程组x=x0 x2+2y2=2b2，所以x1=x2=x0,y1，2由OQ1OQ2，知x1x2+y1y2=0，即 解得这时，点D的坐标仍满足综上，点D的轨迹方程为.bx 220222,bxx2200202.xb22023.xyb2220023.xyb222231.曲线与方程关系的理解.(1)曲线方程的实质就是曲线上任意一点的横、纵坐标之间的关系，这种关系同时满足两个条件：曲线上所有点的坐标均满足方程；适合方程的所有点均在曲线上.(2)如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.(3)视曲线为点集，曲线上的点应满足的条件转化为动点坐标所满足的方程，则曲线上的点集(x,y)与方程的解集之间建立了一一对应关系.2.求轨迹方程方法实质剖析.寻找点的两坐标之间的关系展开探究.(1)轨迹问题的实质就是用动点的两坐标x,y一一对应的揭示曲线方程解的关系.在实际计算时，我们可以简单地认为，求曲线方程就是求曲线上动点的坐标之间的关系.当两坐标之间的关系为直接关系f(x,y)=0，就是曲线方程的普通形式;当