有关微分与积分章节知识点的总结

1、有关微分与积分章节知识点的总结姜维谦 PB08207063一元函数的积分一求不定积分1. 积分基本公式2. 换元积分法凑微分法 / f(u(x)u '(x)dx =/ f(u(x)du(x)=F(u(x)+C第二换元法 / f(x)dx= / f(u(t)u ( (t)dt=F(u-1(x)+C注意：x=u(t)应单调(可以反解)一不单调时应分类讨论(e:g开方去绝对值时)3. 分部积分法/ u(x)dv(x)=u(x)v(x)-/ v(x)du(x)适用于解异名函数“反对幕三指”(与dx结合性递增)应用：解二元方程，递推式e.g: In= / (Inx)n( 次方)dx,n>=

2、1 ln= / dx/(x2+a2)An( 次方),n>=14. 模式函数：有理函数类整形分式一部分分式法(通解)/ P(x)/Q(x)dx 分离常数得既约真分式与多项式一一Q(x)因式分解化为部分分式和待定系数后比较系数(还可以结合赋值，求导数，取极限等)化为 lk= / dx/(x-a)Ak( 次方)类与 Jk= / (Bx+C)/(x2+bx+cFk(次方)dx 类积分 三角有理式万能代换(通解)特殊代换 R(cosx,si nx)=-R(cosx,-s inx)R(cosx,si nx)=-R(-cosx,si nx)R(cosx,si nx)=R(-cosx,-si nx)可有

3、理化的无理式三角换元代数换元/ R(x,(ax+b)/(cx+d)A1/m( 次方)/ R(x,(ax2+bx+c)A1/2( 次方)Euler 代换消除平方项注：三角有理式，可有理化的无理式均可以通过代换转化为标准有理函数形式后积分， 但通解过程均较繁琐。故而在求解有理函数类积分时应适当考虑凑配，变形等技巧 并利用上述常用方法简化运算详见书P103一.求定积分X1. N-L公式(形式直接易求)/ gt)dt=F(x)-F(a)(f(x)在a,b上连续，x在a,b上)(积分形式的微积分基本定理)微分形式：F(x)= / X f(t)dt 是f(t)的一个原函数a2. Riemann 积分步骤：

4、分割一一求和近似一一取极限求极限(T一般取等分)一一转化为相应定积分(注意x对应的上下限)3. 换元法 / 丄 / ? f(u(t)u ' (t)dtaa注：只需注意上下限的变化(不同积分变元) 变量代换思路：被积函数，积分上下限，无穷积分与常义积分的转化 观察利用被积函数在积分区间上的对称关系4 分部积分一求解函数异名&递推关系&方程组e.g:Im= / n 鸟nxm(0次方)dx= / n CosxAm(次方)dx05.广义积分-极限观点无穷积分/+ °f=lim/ b (b->+o° )aab瑕积分/a lim/b fa+ eCauchy

5、 主值 V.P.lim+ °=lim-°/ +A f-AbC- ebV.P .lima f=lim(爲f+/ c+广义积分也可以用上述解法求解注：求定积分时应结合分项积分与分段积分二积分的性质运用1. 单调性 2. 有界性 3.积分绝对值三角不等式(Riemann和理解)用于放缩为“易积分形式”如常值积分4. 区间加合性5.积分中值6.定理有关积分不等式的证明结合微分中值定理结合Rolle定理7.线性 8. 对称性四变上限积分Fz (x)=(/ x ) f) ' =f(x)aY (x)一般形式(/©(gt)dt)' =f( Y (x)(x)-f($

6、 (x)(x)-积分式求导一注意区分各步的积分与微分变元1.研究函数极值、拐点、单调性2. 结合R H法则求极限3 . Rolle 定理五定积分的应用举例(详见书)一元函数的微分 一.导数的求解1. 根据导数的定义F' (Xo)=lim(f(X)-f( Xo)/( X-X 0)( X-> XO)间断点可导性判断：比较limf ' (XO) (X->XO)与 lim(f( X)-f( X0)/( X-X 0)( X->X 0)2. 复合函数(f-1( yo)' =1/f ' (X0)(f(X)=f-1(y)3. 高阶导数 Leibniz 定理(u

7、v) A(n)(n 阶导数)=工 C k uA(n-k)v(k)化积商形式为和差形式ne.g:y=P n(x)y= In (ax+b)&(c/(ax+b)A(n)sinxA(n)=sin(x+nn /2)求递推关系三重要定理的运用Rolle 证明&存在性的等式(微分式的转化)注意辅助函数的构造f(a)=f(b) 形式Lagrange中值证明不等式求未定式极限 求函数导数研究函数性质单调性一不等式证明求极小(大)值、最值凹凸性判断定义f'' (x)渐近线求法垂直渐近线非垂直渐近线Cauchy中值证明不等式求未定式极限L'H法则 注：I可以无穷大，X0任意适用于0/0、8 /8型，其他形式未定式应做适当转化Taylor公式等价无穷小量有关&的恒等式证明四求未定式极限R'H法则(仅适用于未定式)中值定理重要极限幕指函数的转化等价无穷小量(因子替换)Taylor展开统一形式注：各种极限求法各有其使用范围，在具体求解过程中还应考虑比较优化、综合运用结