二次函数知识点经典例题

1、二次函数知识点经典型例题及相应练习二次函数知识点经典型例题及相应练习一、基础知识点：一、基础知识点：21 1二次函数的定义二次函数的定义：形如y ax bxc（a0，a，b，c 为常数）的函数为二次函数2 2二次函数的图象及性质：二次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=ax2(a0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当 a0 时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大24ac b2by ax bx c（2）二次函数的图象是一条抛物线顶点为（2a，） ，对称轴x=4a2a；4ac b2bb（3）当 a0 时，当 x=2a时

2、，函数有最小值4a；当 a0 时，当 x x=2a时，函4ac b2数有最大值4ab3 3图象的平移：图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a0）的图象进行平移，可得到y=ax2c，y=a(xh)2，y=a(xh)2k 的图象 将 y=ax2的图象向上(c0）或向下(c 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax2c 的图象其顶点是（0,c）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同 将 y=ax2的图象向左 （h0） 或向右(h0） 平移|h|个单位， 即可得到 y=a(xh)2的图象 其顶点是（h，0） ，对称轴是直线 x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 将 y=ax2的图象向左（

3、h0)或向下(k0)平移|k|个单位，即可得到 y=a(xh)2+k 的图象，其顶点是（h，k） ，对称轴是直线 x=h，形状、开口方向与抛物线 y=ax2相同4. 4.小知识点总结：小知识点总结：（1 1） 、a a 的符号：的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定抛物线开口向上，则a0；物线开口向下，则 a0（2 2）b b 的符号由对称轴决定，的符号由对称轴决定，若对称轴是 y 轴，则 b=0；若抛物线的顶点在 y 轴左侧，顶点的横坐标2a0 即2a0，则a、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标2a0，即2a0则 a、b 异号简称“左同有异”“左同有异” （3 3）c c

4、 的符号：的符号：c 的符号由抛物线与 y 轴的交点位置确定若抛物线交y 轴于正半，则 c0，抛物线交 y 轴于负半轴则 c0；若抛物线过原点，则 c=0（4 4）的符号：的符号：的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定 若抛物线与 x 轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 2（5 5）a+b+ca+b+c 与与 a ab+cb+c 的符号：的符号：a+b+c 是抛物线y ax bx c(a0）上的点(1，a+b+c）的2纵坐标，ab+c 是抛物线y ax bx c(a0）上的点（1，abc）的纵坐标根据点的位置，可确定它们的符号.bbbb二二. .题型题型( (一一) )考查二

5、次函数定义考查二次函数定义1、下列函数中，不是二次函数的是（）xxay=2x22xby=x2 +1cy=x2 +1dy=3x(2x)332、当m时，函数y = (m - 2)x2+ 3x - 5（m为常数）是关于x的二次函数3、当m = _ _ _ _时，函数y =(m2+ m)xm4、当m = _ _ _ _时，函数y = (m - 4)xm( (二二) )配方配方11、通过配方把函数y=x22x1 表示为 y_,它的图象的顶点坐标是2_.2、若将二次函数 y=x22x+3 配方为 y=（xh）2k 的形式_( (三三) )已知解析式确定开口方向已知解析式确定开口方向. .顶点坐标和对称轴及

6、性质顶点坐标和对称轴及性质11、函数 y=（x2）2+5 的顶点坐标为（）2a （2，5）b （2，5） c （2，5）d （2，5）2、函数y 2x28x 3的对称轴为（）a、y=2b、y=2c、x=2d、x=23、已知 y（a3）x2+2xl 是二次函数；当 a_时，它的图象是开口向上的抛物线，抛物线与 y 轴的交点坐标是_34、抛物线 y=x2的开口，在对称轴左边，y 随 x 的_而增大45、抛物线y x 4x 9的对称轴是.6、抛物线y 2x 12x 25的开口方向是，顶点坐标是.( (四四) )二次函数的最值二次函数的最值1、二次函数 y(x1)22，当 x时，y 有最小值.1 12

7、、函数 y(x1)23，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而增大.2 22222- 2m- 1是关于x的二次函数- 5m+ 6+3x 是关于x的二次函数3、已知函数y 3x 29.2（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当 x=时，抛物线有最值，是.（3）当 x时，y 随 x 的增大而增大；当 x时，y 随 x 的增大而减小.4、函数y 2x2 x有最_值，最值为_；5已知二次函数 y=x22ax+2a+3，当 a=时，该函数 y 的最小值为 0.6已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m _ 。7已知二次函数 y=x24x+m3 的最小值为 3，

8、则 m。( (五五) )二次函数的平移及对称变换二次函数的平移及对称变换1 . 若二次函数 y=2x2的图象向下平移 3 个单位，向右平移4 个单位，得到的抛物线的关系式为_.2、将抛物线y 12x向下平移 2 个单位得到的抛物线的解析式为,再向上平移 3 个3单位得到的抛物线的解析式为,并分别写出这两个函数的顶点坐标、.3、将抛物线y 2x21向上平移4 个单位后，所得的抛物线是，当 x=时，该抛物线有最（填大或小）值，是.4、把二次函数y = -125x - 3x -的图象向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位，则两22次平移后的函数图象的关系式是5、抛物线 y=3(x-2)2+3

9、绕顶点旋转 180得抛物线_，y=3(x-2)2+3 关于 x 轴对称的抛物线为_，关于 y 轴对称的抛物线为_( (六六) )已知图像确定字母的值的范围已知图像确定字母的值的范围21 1、 （ 潍坊）已知二次函数y ax bx c的图象如图l22 所示，则 a、b、c 满足（）aa0，b0，c0ba0，b0，c0ca0，b0，c0da0，b0，c022 2、 （天津）已知二次函数y ax bx c(a0）且 a0，ab+c0，则一定有（）ab24ac0bb24ac0cb24ac0db24ac02c3 3、 （重庆）二次函数y ax bx c的图象如图 1210，则点（b，）在（）aa第一象限

10、b第二象限c第三象限d第四象限24 4、函数y ax与y ax b的图象可能是（）abcd5、函数y ax b与y ax2bxc的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）a、ab 0,c 0b、ab 0,c 0c、ab 0,c 0d、ab 0,c 06、已知函数y ax2bxc的图象如图所示，则函数y ax b的图象是（）( (七七) )二次函数与点二次函数与点. .方程方程, ,不等式的关系不等式的关系1 1、 （ 贵阳）已知抛物线y 3(x4)23的部分图象（如图 1-2-1） ，图象再次与 x 轴相交时的坐标是（）（a） （5，0） （b） （6，0）（c） （7，0） （d） （8，0）

11、2 2、 （ 宁安）函数 y= x24 的图象与 y 轴的交点坐标是（）a.（2，0） b.（2，0） c.（0，4）d.（0，4）3、二次函数y = mx+ 2x + m - 4m的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是24、如果抛物线y = ax + bx + c与y轴交于点a(0,2)，它的对称轴是x = - 1，那么221ac=b5、已知二次函数y kx 7x 7与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是.26、关于 x 的一元二次方程x x n 0没有实数根，则抛物线y x x n的顶点在第22_象限；7、抛物线y x 2kx 2与x轴交点的个数为（）2a、0b、1c、2d、以上都不对8、

12、二次函数y ax2bxc对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（）a、a 0, 0b、a 0, 0c、a 0, 0d、a 0, 09、y x2 kx1与y x2 x k的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则 k 为（）a、0b、-1c、2d、21410、若方程ax bx c 0的两个根是3 和 1，那么二次函数y ax2bxc的图象的对称轴是直线（）a、x3b、x2c、x1d、x1(八) 二次函数解析式的求法二次函数解析式的求法2若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y ax bx c；2若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程， 则可采用顶点式：y a(x h) k其中顶点为(h，k)对称轴为

13、直线 x=h； 若 已 知 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 或 交 点 的 横 坐 标 ， 则 可 采 用 交 点 式 ：y a(x x1)(x x2),其中与 x 轴的交点坐标为（x ，0） ， （x2，0）1（1 1） 、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式 y=axy=ax +bx+c+bx+c，然后解三元方程组，然后解三元方程组求解；求解；1 1已知二次函数的图象经过 a（0，3） 、b（1，3） 、c（1，1）三点，求该二次函数的解析式。2 2已知抛物线过a（1，0）和 b（4，0）两点，交y 轴于 c 点且 bc5，

14、求该二次函数的解析式。（2） 、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常2 2设解析式为顶点式设解析式为顶点式 y=a(xy=a(xh)h) +k+k 求解求解。例例已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二次函数的解析式。2 23 3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点p（2，0）点，求二次函数的解析式。（3） 、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式 y=a(xy=a(xx x1

15、1)(x)(xx x2 2) )。4 4二次函数的图象经过 a（1，0） ，b（3，0） ，函数有最小值8，求该二次函数的解析式。(九)二次函数在生活中的应用1某商场以每台 2500 元进口一批彩电。 如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？2.某商店购进一批单价为16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖360 件若按每件 25元的价格销售时，每月能卖210 件。假定每

16、月销售件数 y(件）是价格 x 的一次函数.(1)试求 y 与 x 的之间的关系式.(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本）3、如图，有一抛物线形拱桥，拱顶 m 距桥面1 米，桥拱跨度ab12米，拱高mn4 米.求表示该拱桥抛物线的解析式；按规定，汽车通过桥下时载货最高处与桥拱之间的距离cd 不得小于0.5 米.今有一宽4 米，高2.5 米（载货最高处与地面ab的距离）的平顶运货汽车要通过拱桥，问该汽车能否通过？为什么？yomdcan12 米bx( (十十) )二次函数综合题二次函数综合题例 1.

17、矩形 oabc 在直角坐标系中的位置如图所示，a、c 两点的坐标分别为 a（6，0）、c（0，3），直线与 bc 边相交于点 d。（1）求点 d 的坐标；（2）若抛物线经过 d、a 两点，试确定此抛物线的表达式；（3）p 为 x 轴上方（2）中抛物线上一点，求poa 面积的最大值；例 2. 已知抛物线（1）若点在抛物线与 x 轴交于上，求 m 的值；（2） 若抛物线都在抛物线与抛物线上，则关于 y 轴对称， 点，的大小关系是_（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；（3）设抛物线的顶点为 m，若amb 是直角三角形，求 m 的值。例 3 如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc 是矩形，点b

18、的坐标为（4，3） 平行于对角线 ac 的直线 m 从原点 o 出发， 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动， 设直线 m与矩形 oabc 的两边分别交于点 m、n，直线 m 运动的时间为 t（秒） (1) 点 a 的坐标是_，点 c 的坐标是_；(2) 当 t=秒或秒时，mn=1ac；2(3) 设omn 的面积为 s，求 s 与 t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数 s 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由例 4. 二次函数为对称轴。（1）求此函数的解析式；的图像经过点 a （3， 0） ， b （2， -3） ， 并且以（2）作出二次函数的大致图像；（

19、3）在对称轴上是否存在一点 p，使pab 中 papb，若存在，求出 p 点的坐标，若不存在，说明理由。例 5.（2010 年聊城市）如图1，已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为x1，且抛物线经过 a（1，0） 、c（0，3）两点，与 x 轴交于另一点 b（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x1 上求一点 m，使点m 到点 a 的距离与到点 c 的距离之和最小，并求此时点 m 的坐标；（3）设点 p 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点，求使pcb90 的点 p 的坐标课堂作业课堂作业k1已知反比例函数 y=的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，则二次

20、函数 y=2kx2xx+k2的图象大致为图 123 中的（）22已知二次函数y ax bx c的图象如图 114 所示，下列结论中abc0；b=2a；abc0；a+b+c0 正确的个数是（）a4b3c2dl23已知二次函数y ax bx c(a0）与一次函数 y=kx+m(k0）的图象相交于点a（2，4）,b(8，2)，如图 127 所示，能使 y1y2成立的 x 取值范围是_24 若二次函数y ax bx c的图象如图 128，则 ac_0（ “” “”或“=” ）5.直线 y=x+2 与抛物线 y=x2 +2x 的交点坐标为_12 抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（）a第一象

21、限b第二象限c第三象限d第四象限6. 已知 m、n 两点关于 y 轴对称，且点 m 在双曲线 y=1上，点 n 在直线上，设点 m2x的坐标为(a，b)，则抛物线 y=abx2+(ab）x 的顶点坐标为_.27. 如果二次函数 yx 4xc 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c（写一个即可）28. 二次函数 yx -2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为29. 抛物线 y3x 2x1 的图象与 x 轴交点的个数是( ) a.没有交点 b.只有一个交点 c.有两个交点 d.有三个交点210. 如图所示，二次函数yx 4x3 的图象交 x 轴于 a、b 两点， 交 y 轴于点 c，

22、则abc 的面积为( )a.6 b.4 c.3 d.1211. 已知抛物线 y5x (m1)xm 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧，它们的距离平方等于49为，则 m 的值为( )25a.2b.12 c.24 d.4812. 若二次函数 y(m+5)x +2(m+1)x+m 的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是213. 已知抛物线 yx -2x-8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 a、b，且它的顶点为 p，求abp 的面积。14 当 b0 时，一次函数y=ax+b 和二次函数 y=ax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是图129

23、中的（）215已知函数y ax bxc的图象如图 1211 所示，给出下列关于系数a、b、c 的不等式：a0，b0，c0，2ab 0，abc0其中正确的不等式的序号为_-2y ax bx c与 x 轴交点的横坐标16已知抛物线为1，则 ac=_.2217抛物线y ax bx c中，已知 a：b：c=l：2：3，最小值为 6，则此抛胸的解析式为_18已知二次函数的图象开口向下， 且与 y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_.219抛物线y ax bxc如图 1212 所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的解析式是_.220抛物线y ax bxc（a0）的顶点在 x 轴上方的条

24、件是（）a b24ac0b b24ac 0c b24ac0d c017、 行驶中的汽车刹车后， 由于惯性的作用， 还会继续向前滑行一段距离， 这段距离称为 “刹车距离” 某车的刹车距离 s(m） 与车速工 （kmh） 间有下述的函数关系式： s=0. .01x+0. .002x，现该车在限速 140km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为465m请推测刹车时汽车（是、否）_超速18、某涵洞是抛物线型，它的截面如图 l-2-52，得水面宽 ab=16m，涵洞顶点 o 到水面的距离为 2.4m， 在图中直角坐标系中， 涵洞所在抛物线的函数关系式是_-219、已知抛物线y ax bx

25、 c的对称轴为 x=2，且经过点(0，4）和点（5，0） ，则该抛物线解析式为_.20、已知两个正数的和是60，它们的积最大是_.221如图，抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴的负半轴相交于 a、b 两点，与 y 轴的正半轴相交于 c点，与双曲线 y=6的一个交点是(1，m)，且 oa=oc.求抛物线的解析式x222抛物线 y=2x +bx+c 与 x 轴交于（1,0） 、 （3,0） ，则 b，c .23若抛物线与 x 轴交于(2，0)、 （3，0） ，与 y 轴交于(0，4)，则该二次函数的解析式。24根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当 x=3 时，y最小值=1，且图象过

26、（0，7）3（2）图象过点（0，2） （1，2）且对称轴为直线 x=2（3）图象经过（0，1） （1，0） （3，0）（4）当 x=1 时，y=0; x=0 时,y= 2，x=2 时，y=3（5）抛物线顶点坐标为（1，2）且通过点（1，10）25.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10

27、千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20 元。（1）设 x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出 p 关于 x 的函数关系式。（2）如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 千克蟹的销售额为 q 元，写出q 关于 x的函数关系式。（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收购成本费用） ，最大利润是多少？26.某商场批单价为 25 元的旅游鞋。为确定 一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30 元的价格销售时，每天能卖出60 双；按每双 32 元的价格销售时，每天能卖出 52 双，假定每天售出鞋的数量y（双）是销售单位 x 的一次函数。 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？227.27. 如图2，一元二次方程x 2x 3 0的两根x1，x2（x1x2）是抛物线c的横坐标， 且此抛物线过点a （3， 6） y ax2bx c(a 0)与x轴的两个交点b，(1)求此二次函数的解析式