二次函数知识点总结及相关典型题目

1、二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分第一部分 基础知识基础知识1.定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y ax的性质（1）抛物线y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax（a 0）.3.二次函数y ax bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.24. 二 次 函 数y ax bx c用 配 方 法 可

2、 化 成 ：y ax h k的 形 式 ， 其 中2222222b4ac b2h ，k .2a4a225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k；y ax h；2y ax h k；y ax2bx c.26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称

3、轴的方法b4ac b2b 4ac b22（，）（1）公式法：y ax bx c ax ，顶点是，对称轴是 2a4a2a4a直线x 2b.2a- 1 -（2） 配方法： 运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为y ax h k的形式， 得到顶点为(h,k)，2对称轴是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.（2）b和a

4、共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线222x bb，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；2aab 0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a2（3）c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c） ：c 0，抛物线经过原点; c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时开口向上当a 0时对称轴顶点坐标（

5、0,0）(0,k)(h,0)(h,k)2b 0.ay ax2y ax ky ax h2x 0（y轴）2x 0（y轴）x hx hx b2ay ax h k2y ax bx c2开口向下b4ac b2，()2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22- 2 - 3 -第二部分第二部分 典型习题典型习题.抛物线 yx 2x2 的顶点坐标是（）a.（2，2） b.（1，2） c.（1，3） d.（1，3）.已知二次函数y ax2 bx c的图象

6、如图所示，则下列结论正确的是（）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0aefdc2b第,题图第 4 题图.二次函数yax bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）aa0，b0，c0 ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c0abc中，bc=8，bc 上的高h 4，d 为 bc 上一点，e.如图，已知f / /bc，交 ab 于点 e，交 ac于点 f （ef 不过 a、 b） ， 设 e 到 bc 的距离为x， 则的面积y关于x的函数的图象大致为 （）def2y4444o2a4xo2b4o2c4o2d4ef4 x ef 82x, y x2 4x84.抛物线y x 2

7、x3与 x 轴分别交于 a、b 两点，则 ab 的长为21)x1与 x 轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2）6.已知二次函数ykx (2k，则对于下列结论：1)x10有两个不相等的实数根x1、当 x2 时，y1；当xx2时，y0；方程kx (2k2214k2x2；x11，x2 1；x2x1，其中所有正确的结论是（只需填写序号） k7.已知直线y 2x bb 0与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物线的解析式为y x2b 10 x c.（1）若该抛物线过点 b，且它的顶点 p 在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 b 作直线 bcab 交 x 轴交于点 c，若

8、抛物线的对称轴恰好过c 点，试确定直线y 2x b的解析式.- 4 -解：8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为 5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少

9、时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10 时到 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式第 9 题- 5 -10.已知抛物线y ax2(3a)x4与 x 轴交于 a、 b 两点，与y 轴交于点 c是否存在实数a，使得abc 为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由11.已知抛物线 yx2mxm2.（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 a、b 分别在原点的两侧，并且ab5，试求 m 的值；（2）设 c 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m、n，并且 mnc 的面积等于 27，试求 m 的值.解:12.已知：抛物线yax

10、4axt与 x 轴的一个交点为 a（1，0） （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标；（2）d 是抛物线与 y 轴的交点，c 是抛物线上的一点，且以ab 为一底的梯形 abcd 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）e 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点e 在（2）中的抛物线上，且它与点 a 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使ape 的周长最小?若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由- 6 -24313.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点m 的坐标（2）若点n 为线段 bm 上的一点，过点

11、n 作 x 轴的垂线，垂足为点q当点n 在线段 bm 上运动时（点n 不与点 b，点 m 重合） ，设 nq 的长为 l，四边形 nqac 的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 p，使pac 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 p 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将oac 补成矩形，使oac 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程） 14.已知二次函数yax 2的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的

12、交点的个数- 7 -215.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上，跨度ab5 cm，拱高 oc0.9 cm，线段 de 表示大桥拱内桥长，deab，如图（1） 在比例图上，以直线ab 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 de 与 ab 的距离 om0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到 1 米） 16.已知在平面直角坐标系内， o 为坐标原点， a、 b 是 x 轴正半轴上

13、的两点， 点 a 在点 b 的左侧， 如图 二次函数yax bxc（a0）的图象经过点 a、b，与 y 轴相交于点 c（1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 oc 的长度是线段 oa、ob 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4，ab4 3，求 a、c 的值- 8 -2第二部分第二部分 典型习题典型习题.抛物线 yx 2x2 的顶点坐标是（ d）a.（2，2） b.（1，2） c.（1，3） d.（1，3）.已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ c）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c02aefdcb第,题图

14、第 4 题图.二次函数yax bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）aa0，b0，c0 ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c0.如图，已知abc中，bc=8，bc 上的高h 4，d 为 bc 上一点，ef / /bc，交 ab 于点 e，交 ac于点 f （ef 不过 a、 b） ， 设 e 到 bc 的距离为x， 则def的面积y关于x的函数的图象大致为 （）24y444o2a4xo2b4o2c4o2d4ef4 x ef 82x,y x24x84.抛物线y x 2x3与 x 轴分别交于 a、b 两点，则 ab 的长为 421)x1与 x 轴交点的横坐标为x1、x2（x

15、1x2）6.已知二次函数ykx (2k，则对于下列结论：1)x10有两个不相等的实数根x1、当 x2 时，y1；当xx2时，y0；方程kx (2k2214k2x2；x11，x21；x2x1，其中所有正确的结论是（只需填写序k号） 7.已知直线y 2x bb 0与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物线的解析式为y x2b 10 x c.- 9 -（1）若该抛物线过点 b，且它的顶点 p 在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 b 作直线 bcab 交 x 轴交于点 c，若抛物线的对称轴恰好过c 点，试确定直线y 2x b的解析式.解： （1）y x 10或y x

16、4x 622b10b216b100,)， 由 题 意 得将（0，b)代 入 ， 得c b. 顶 点 坐 标 为(24b10b216b1002b ，解得b1 10,b2 6.24（2）y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为 5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解： （1）设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c,a(2)2 b(2) c 5c 3a 1则a02 b0 c 3,即2a b 4 ,解得b

17、2a b c 4c 3a b 1故所求的解析式为:y x2 2x 3.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x 1或x 39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中， 在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?第三天 12 时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10 时到- 10 -第 9 题 22 时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4 时到

18、 16 时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时第三天 12 时这头骆驼的体温是3912x 2x 2410 x 22164210.已知抛物线y ax (3a)x4与 x 轴交于 a、3y b 两点，与 y 轴交于点 c是否存在实数 a，使得abc 为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 c 的坐标为（0，4） 设点 a、b 的坐标分别为（x1，0） ， （x2，0） ，2由ax (3a)x4 0，解得x1 3，x2 4343a点 a、b 的坐标分别为（-3，0） ， （ab |4，0） 3a43|，ac ao2oc25，3a42| 423

19、abc bo2oc2| ab |241641683|22239 29，3a9a3a9aa1622ac 25，bc 169a2当ab ac bc时，acb90由ab ac bc，222222168169 25(16)229aa9a1解得a 4116625400222当a 时，点 b 的坐标为（，0） ，ab ，ac 25，bc 4399得于是ab ac bc- 11 -222当a 21时，abc 为直角三角形422当ac ab bc时，abc90由ac ab bc，得25 (解得a 222168169) (16)22a9a9a49444当a 时， 3，点 b（-3，0）与点 a 重合，不合题意9

20、3a349当bc ac ab时，bac90由bc ac ab，得解得a 2222221616816 25 (9)9a29a2a4不合题意91时，abc 为直角三角形4综合 、 、 ，当a 11.已知抛物线 yx2mxm2.（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 a、b 分别在原点的两侧，并且ab5，试求 m 的值；（2）设 c 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点m、n，并且 mnc 的面积等于 27，试求 m 的值.解: (1)（x1，0）,b(x2，0) .则 x1，x2是方程 x2mxm20 的两根.x1 x2m , x1x2=m2 0 即 m2 ;2又 abx1 x2

21、（x1+x2）4x1x25 ,m24m3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 .（2）m(a，b)，则 n(a，b) .m、n 是抛物线上的两点,yc ca mam2 b,2a mam2 b.2mmoxn n得：2a22m40 . a2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点m、n.a 2m .这时 m、n 到 y 轴的距离均为2m,- 12 -又点 c 坐标为（0，2m）,而 s m n c= 27 ,21（2m）2m=27 .2解得 m=7 .12.已知：抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 a（1，0） （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标

22、；（2）d 是抛物线与 y 轴的交点，c 是抛物线上的一点，且以ab 为一底的梯形 abcd 的面积为 9，求此抛物线的解析式；（3）e 是第二象限内到 x 轴、y 轴的距离的比为 52 的点，如果点e 在（2）中的抛物线上，且它与点 a 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使ape 的周长最小?若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2抛物线与 x 轴的一个交点为 a（1，0） ，由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点 b 的坐标为（3，0） （2）抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 a（1， 0）

23、，221)t0 t3ayax 4ax3aa(1) 4a( d（0，3a） 梯形 abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线yax 4ax3a上， c（4，3a） ab2，cd4梯形 abcd 的面积为 9， a12所求抛物线的解析式为yx 4x3或y x 4ax 3222211(abcd)od9(24)3a922（3）设点 e 坐标为（x0，y0）.依题意，x00，y00，且55y0 x02x022y0设点 e 在抛物线yx 4x3上，y0 x04x032- 13 -15x ，x06，0y0 x0,2解方程组得2515；y0y x24x 3 y 00004点 e 与点 a 在对称轴 x2 的同

24、侧，点 e 坐标为（15，） 24设在抛物线的对称轴x2 上存在一点 p，使ape 的周长最小 ae 长为定值，要使ape 的周长最小，只须 pape 最小点 a 关于对称轴 x2 的对称点是 b（3，0） ，由几何知识可知，p 是直线 be 与对称轴 x2 的交点设过点 e、b 的直线的解析式为ymxn，115m,mn ,2 24解得3n .3mn0.2直线 be 的解析式为y点 p 坐标为（2，131x把 x2 代入上式，得y2221） 222设点 e 在抛物线y x 4x 3上，y0 x0 4x035y x0,302解方程组消去y0，得x0 x03022y x2 4x 3.0000 .此

25、方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点p（2，解法二：（1）抛物线yax 4axt与 x 轴的一个交点为 a（1，0） ，21） ，使ape 的周长最小21)t0 t3ayax 4ax3aa(1) 4a(令 y0，即ax 4ax3a0解得x11，x23抛物线与 x 轴的另一个交点 b 的坐标为（3，0） （2）由yax 4ax3a，得 d（0，3a） 2222- 14 -梯形 abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线yax24ax3a上， c（4，3a） ab2，cd4梯形 abcd 的面积为 9，3a3 a12所求抛物线的解析式为yx 4x3或yx 4x321(abcd)od9解得 o

26、d32（3）同解法一得，p 是直线 be 与对称轴 x2 的交点如图，过点 e 作 eqx 轴于点 q设对称轴与 x 轴的交点为 fbfpf11pfpf55bqeq2241点 p 坐标为（2，） 2由 pfeq，可得以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点m 的坐标（2）若点n 为线段 bm 上的一点，过点n 作 x 轴的垂线，垂足为点q当点n 在线段 bm 上运动时（点n 不与点 b，点 m 重合） ，设 nq 的长为 l，四边形 nqac 的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点

27、p，使pac 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 p 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将oac 补成矩形，使oac 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程） 解： （1）设抛物线的解析式y a(x 1)(x 2)， 2 a1(2)a 1y x x 22其顶点 m 的坐标是，1294（2）设线段 bm 所在的直线的解析式为y kxb，点 n 的坐标为 n（t，h） ，- 15 -0 2k b，3 91解得k ，b 32k b. 423x3231112321h t 3，其中 t 2s 12(2t 3)t t t

28、 122223423211 s 与 t 间的函数关系式是s t t 1，自变量 t 的取值范围是 t 2422线段 bm 所在的直线的解析式为y （3）存在符合条件的点 p，且坐标是p1， ，p2，设点 p 的坐标为 p(m，n)，则n m m225 72 4 3254pa2 (m1)2 n2，pc2 m2(n 2)2，ac2 5分以下几种情况讨论：i）若pac90，则pc pa ac2n m m 2，2222m (n 2) (m 1) n 5.222解得：m155 7，m2 1（舍去） 点p1， 22 4222ii）若pca90，则pa pc ac2n m m2，2222(m1) n m (

29、n2) 5.解得：m353 3点p2，m4 0（舍去）422iii）由图象观察得，当点p 在对称轴右侧时，pa ac，所以边 ac 的对角apc 不可能是直角（4）以点 o，点 a（或点 o，点 c）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边oa（或边 oc）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点d（1，2） ，以点 a，点c 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边ac 的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是 e， ，f，1 25 5 4585- 16 -图 a图 b214.已知二次函数yax 2的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数解：根据题意

30、，得 a21. . a1 这个二次函数解析式是yx 2因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2） ，所以该函数图象与x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上，跨度ab5 cm，拱高 oc0. .9 cm，线段 de 表示大桥拱内桥长，deab，如图（1） 在比例图上，以直线ab 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） 2（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 de 与 ab 的距离 om0. .45 cm，求卢浦大桥拱内实际

31、桥长（备用数据：2 1.4，计算结果精确到 1 米） 解： （1）由于顶点 c 在 y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为yax 9105529185因为点 a（，0） （或 b（，0） ）在抛物线上， 所以0a() ，得a22210125182955x ( x )因此所求函数解析式为y12510229918295x ，得x2（2）因为点 d、e 的纵坐标为， 所以202012510459952，2，所以点 d 的坐标为（） ，点 e 的坐标为（） 4420202- 17 -所以de555 22(2)4425 2110000.01275 2 385（米） 2因此卢浦大桥拱内实际桥长为16.已知在平面直角坐标系内， o 为坐标原点， a、 b 是 x 轴正半轴上的两点， 点 a 在点 b 的左侧， 如图 二次函数yax bxc（a0）的