复变函数第6章

1、 在本章我们将从几何的角度来讨论解析在本章我们将从几何的角度来讨论解析函数的性质及应用。函数的性质及应用。1.1.导数的几何意义导数的几何意义2.2.共形映射的概念共形映射的概念3.3.共形映射的基本问题共形映射的基本问题 6.1.1. 6.1.1. 导数的几何意义导数的几何意义. . 设设 在区域在区域 内解析，在点内解析，在点 有有导数导数 我们考察我们考察导数的几何意义导数的几何意义: : 0()0,fz0z( )wf zD 过点过点 任意引一条光滑曲线任意引一条光滑曲线0z:( )(),C zz tt : ( )(),wf z tt , ,若若 存在且存在且 从而由第从而由第一章知，一

2、章知， 在在 有切线，有切线， 就是切向量，就是切向量，它的倾角为它的倾角为 经过变换经过变换 得得 的像曲线为的像曲线为00( )zz t0( )z t0( )0,z tC0z0arg( ).z t( )wf z0( )z tC由于由于000( )() ( )0,w tfzz t000arg( )arg()arg( ),w tfzz t于是于是0arg()(6.1)fz故故 在在 也有切线，也有切线， 就是切向就是切向量，其倾角为量，其倾角为00()wf z0( )w t06.1w（）式表明，像曲线 在像点处的切线由原像00Czarg()fz曲线 在原像点处的切线旋转一个角度而得到。C0z0

3、zz ( )wf z0w0wwOxyzOvuw0arg()C( )fzwf z称为曲线 经过函数映射后在点0()fz0z 处的旋转角，这是的辐角的几何意义。00Czz旋转角仅与有关，而与过的曲线无关，即( )wf z解析函数所构旋转成的映射有角不变性0arg(),fz 导数辐角的几何意义导数辐角的几何意义: :变换变换 在在 的的旋转角旋转角。( )wf z0z 导数模的几何意义导数模的几何意义: :0000( )()()limzzf zf zfzCzz称|为曲线经函数0( )wf zz映射后在处的伸缩率.它仅与它仅与 有关，而与过有关，而与过 的曲线的曲线 的方向无的方向无关。即解析函数关。

4、即解析函数 所构成的映射具有所构成的映射具有伸缩率不变性伸缩率不变性。0z0z( )wf zC 例例 1 1 试求变换试求变换 在在点点 处的旋转角，并指出它将处的旋转角，并指出它将 平平面的哪个部分放大？哪个部分缩小？面的哪个部分放大？哪个部分缩小？2( )2wf zzz12zi z 解解 因因( )222(1),fzzz( 12 )2( 121)4 ,fiii 故在故在 处的旋转角处的旋转角12i arg( 12 ).2fi 设设 则则 而而 的充要条件是的充要条件是zxiy22( )2 (1),fzxy( )1fz2221(1),2xy故故 把以把以-1-1为心，为心， 为半径为半径的圆

5、周内部缩小，外部放大。的圆周内部缩小，外部放大。2( )2wf zzz12解析函数的保角性解析函数的保角性： 考虑考虑z z 平面上过平面上过 的两条有向曲线的两条有向曲线 它们在的变换下它们在的变换下 的像曲线为的像曲线为 我们称我们称 的切线方向所成的夹角为两曲的切线方向所成的夹角为两曲线在该点的线在该点的夹角夹角。 12,C C12,. ( )wf z12,C C0z 设设 在点在点 处的切线倾角为处的切线倾角为12,C C0z12,. 设设 在点在点 处的切线倾角处的切线倾角为为 则由（则由（6.16.1）有）有12, 00()wf z12,. 1C0z( )wf z10wOxyzOv

6、uw22212C1 保角性保角性，这种保角性既保持夹角的大小，这种保角性既保持夹角的大小，又保持夹角的方向。又保持夹角的方向。11及及22,1212,6.2（）0126.2zC ,C（）式表明，经过点的任意两条曲线在01200z()wf z点的夹角与其像曲线 ，在点处的夹角大小相等且方向相同， 即解析函数具有 定理定理6.16.1 若函数若函数 在区域在区域 内内解析解析, ,则它在导数不为零的点处具有保角性则它在导数不为零的点处具有保角性和伸缩率不变性。和伸缩率不变性。( )wf zD6.1.2 6.1.2 共形映射的概念共形映射的概念1212( )6.,( )1(),( )wf zDz z

7、Df zf zf zD 假设在区域内解析 若任意不同两点有那么单叶解析函称为内的，简数单定称为义叶函数。 定义定义6.26.2 设函数设函数 为区域为区域 内的内的单叶函数，且在区域单叶函数，且在区域 内的任一点处具有保内的任一点处具有保角性和伸缩率不变性，则称函数角性和伸缩率不变性，则称函数 构构成的映射为区域成的映射为区域 内的内的共形映射（或保形映共形映射（或保形映射）射），也称它为，也称它为 内的内的共形（保形）变换共形（保形）变换. . ( )wf z( )wf zDDDD 定理定理6.26.2 若函数若函数 是区域是区域 内内单叶解析函数单叶解析函数, ,且且 则则 构构成的映射是

8、区域成的映射是区域 内的共形映射。内的共形映射。( )wf zD( )0,fz( )wf zD 若若 在区域在区域 内内（整体）共形（整体）共形，必然在必然在 内处处内处处（局部）共形（局部）共形，但反过来不，但反过来不一定真。一定真。( )wf zDD 例例 2 2 讨论讨论 为正整数为正整数) )的保角的保角性和保形性性和保形性. .(nwzn解解 （1 1）因为）因为10(0),ndwnzzdz故故 在在 平面上除原点外，处处都是保平面上除原点外，处处都是保角的。角的。nwzz （2 2）由于）由于 的单叶性区域顶点在的单叶性区域顶点在原点，张度不超过原点，张度不超过 的角形区域。故在此

9、的角形区域。故在此角形区域内角形区域内 是共形的。在张度超过是共形的。在张度超过 的角形区域内，则不是共形的，但在其中各的角形区域内，则不是共形的，但在其中各点的邻域内是共形的。点的邻域内是共形的。nwz2nnwz2n6.1.3 6.1.3 共形映射的基本问题共形映射的基本问题 问题一问题一 已知区域已知区域 及定义在及定义在 内的内的解析函数解析函数 ，如何求像集，如何求像集 ，并讨论并讨论 是否将是否将 共形映射成共形映射成( )wf zD( )Gf DDD.G( )wf z 问题二问题二 已知区域已知区域 和区域和区域 ，如何求，如何求一个解析函数一个解析函数 ，使，使 将区域将区域 共

10、形映射成区域共形映射成区域DG( )wf z( )wf zD.G 定理定理6.36.3( (保域定理保域定理) ) 设设 在区在区域域D D内解析且不恒为常数内解析且不恒为常数, ,则则D D的象的象 也是一个区域也是一个区域. . ( )wf z( )Gf D 定理定理6.46.4( (边界对应定理边界对应定理) )设区域设区域 的边界的边界为简单闭曲线为简单闭曲线 函数函数 在闭区域在闭区域 上解析，且将上解析，且将 双方单值地映射成简单闭曲双方单值地映射成简单闭曲线线 , ,则则 将区域将区域 共形映射成曲线共形映射成曲线 所围成的区域所围成的区域 ，并使，并使 关于区域关于区域 的正向

11、的正向对应于对应于 关于区域关于区域 的正向的正向. . DC( )f zDDCC( )wf zDGCDG作业作业：P100.T1; T3.P100.T1; T3. 定理定理6.56.5( (黎曼定理黎曼定理) ) 设设 和和 是任意是任意的两个单连通区域，他们的边界至少包含两的两个单连通区域，他们的边界至少包含两个点，则一定存在解析函数个点，则一定存在解析函数 把区域把区域 共形映射成区域共形映射成区域 . . ( )wf zGDDG 一、一、分式线性函数的分解分式线性函数的分解 二、二、分式线性映射的性质分式线性映射的性质 三、唯一决定分式线性映射的条件三、唯一决定分式线性映射的条件 四、

12、两类典型的分式线性映射四、两类典型的分式线性映射6.2.1 分式线性函数的分解分式线性函数的分解分式线性函数指如下形式的函数:1. 分式线性函数的定义分式线性函数的定义,azbwczd, ,0.a b cdadbc其中及 是复常数 且说明说明:1.0,.adbc 保证了映射的保角性2,0,()dwadbcwdzczd否则由于有常数.zw于是,整个 平面映射成 平面上的一点2.0,.azbcwczd 称整式线性映射3.azbwczd 由,dwbzcwa.即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射4.azbwCczd 将的定义域及值域推广到扩充复平面0,;azbcwzwczd 当将映射成0,;azbd

13、cwzzczdcawwc 当将及映射成及5. 一般的分式线性方程由下面四种简单的函数复合可得：(1)() ();wz 为常数 平移(2)() ();iwe z 为实数 旋转(3)() ();wz 为正实数 相似映射1(4)().wz 反演映射 分式线性变换可理解成下述简单类型变换的分式线性变换可理解成下述简单类型变换的复合复合: :( )(0),Iwkzhk1().IIwz2. 四种简单的分式线性映射四种简单的分式线性映射(1)() ();wz 为常数 平移(为方便起见为方便起见, 令令w平面与平面与z平面重合平面重合)o)()(wz zw, ()z在此映射下沿向量即复数所表示的向量 , .w

14、的方向平移一段距离后 就得到(2)() ();iwe z 为实数 旋转wzo)()(wz .zw把 旋转一个角度 得到(3)() ();wz 为正实数 相似映射.zw把| |伸长 倍后得到wo)()(wz z 定义定义6.36.3 关于圆周关于圆周 对称是指对称是指 都在从圆心都在从圆心 出发的同一条出发的同一条射线上射线上, ,且合且合 12,z z:CzaR12,z za212.za zaR 规定，圆周上的点和自己对称，规定圆规定，圆周上的点和自己对称，规定圆心和心和 对称对称. .1(4)().wz 反演映射?呢呢的的对对称称点点找找到到关关于于圆圆周周如如何何由由przp ., , ,

15、即即互互为为对对称称点点与与那那么么交交于于与与的的垂垂线线作作由由连连接接切切线线作作圆圆周周的的从从在在圆圆外外设设pppopTpopToppTppoPTP ,izre设1.wz反演映射111,.wwwz令则111 ,iwezr则有11,iwwer1 1.wz 从而1 1zwz 故 与是关于单位园周的对称点.ozw1ww.1w.z.关于单位圆对称关于单位圆对称关于实轴对称关于实轴对称6.2.2. 6.2.2. 分式线性变换的性质分式线性变换的性质. . 显然，分式线性变换在扩充显然，分式线性变换在扩充 平面上是平面上是单叶的。因此要证明它是共形的，只需证明单叶的。因此要证明它是共形的，只需

16、证明它是保角的。下面证明它是保角的它是保角的。下面证明它是保角的 z 对于反演变换对于反演变换 只要只要 则有则有1.wz0,z 210.dwdzz 平移、旋转和相似映射显然满足平移、旋转和相似映射显然满足0,dwdz由定理由定理6.16.1知它们们在是保角的。知它们们在是保角的。 由定理由定理6.16.1知反演变换在知反演变换在 的各处是的各处是保角的。至于在保角的。至于在 处，需要考虑两处，需要考虑两曲线在无穷远处的交角的意义。曲线在无穷远处的交角的意义。0,z 0,zz 定义定义6.36.3 二曲线在无穷远点的交角为二曲线在无穷远点的交角为 就是指它们在反演变换下的象曲线在原点处就是指它

17、们在反演变换下的象曲线在原点处的交角为的交角为 . 由定义由定义6.36.3知，知， 反演变换在反演变换在 处是保角的。因而在扩充处是保角的。因而在扩充 平面上是保角的。平面上是保角的。0,zz z 定理定理6.66.6 分式线性变换在扩充分式线性变换在扩充 平面上平面上是保形的是保形的. .z 注注 在无穷远点不考虑伸缩率的不变性在无穷远点不考虑伸缩率的不变性 性质性质1 1 分式线性映射具有保角性分式线性映射具有保角性. .分式分式线性变换的保圆性线性变换的保圆性. . 在平面上，圆周或直线的方程可表为在平面上，圆周或直线的方程可表为 0,(6.1)AzzzzC( ,A C为实数，为实数，

18、2)AC当当 时表示直线。因此在这里，圆周时表示直线。因此在这里，圆周和直线等同看待和直线等同看待. .0A 由几何意义知，由几何意义知， 型变换将圆周（直型变换将圆周（直线）变为圆周（直线）。线）变为圆周（直线）。( ) I 型变换型变换 将（将（6.16.1）变成）变成()II1wz它表示圆周或直线。它表示圆周或直线。0,CwwwwA 因此因此 型变换将圆周（直线）变为圆型变换将圆周（直线）变为圆周（直线）。周（直线）。()II 又因为分式线性变换（又因为分式线性变换（6.36.3）是由几个）是由几个 型变换和型变换和 型变换复合而成，于是得型变换复合而成，于是得( ) I()II 定理定

19、理6.6.7 7 分式线性变换将扩充平面上分式线性变换将扩充平面上的圆周的圆周( (直线直线) )变为圆周或直线变为圆周或直线. . 注注 在扩充平面上，直线可看作经过无在扩充平面上，直线可看作经过无穷远点的圆周。穷远点的圆周。 引理引理6.16.1 扩充扩充 平面上两点平面上两点 关于关于圆周圆周 对称的充要条件是对称的充要条件是: :通过通过 的任意的任意圆周都与圆周都与 正交。正交。z12,z z12,z z 证证 当当 为直线时，定理显然成立。下为直线时，定理显然成立。下面证面证 是有限圆是有限圆 的情形。的情形。: zaR 必要性必要性 设设 关于圆周关于圆周 对称，则由对称，则由对

20、称点的定义知，过对称点的定义知，过 的直线必然与的直线必然与 正正交。交。12,z z12,z z分式分式线性变换的保线性变换的保对称点对称点性性. . 设设 是过是过 的任一圆周（非直线），的任一圆周（非直线），由由 引引 的切线的切线 为切点。由平面几何的为切点。由平面几何的定理得定理得12,z za,a 212.aza za图图7.57.5a 1z2z但由但由 关于圆周关于圆周 对称的定义，有对称的定义，有12,z z212.za zaR所以所以aR即即 是圆周是圆周 的半径，因此的半径，因此 与与 正交。正交。a 充分性充分性 设过设过 的每一圆周都与的每一圆周都与 正正交。过交。过

21、作一圆周（非直线）作一圆周（非直线） 则则 与与 正交。设交点之一为正交。设交点之一为 ，则，则 的半径的半径 必必为为 的切线。的切线。12,z z12,z z,a 联结联结 延长后必经过延长后必经过 （因过（因过 的的12,z z12,z za直线与直线与 正交）。于是正交）。于是 在从在从 出发的同出发的同一条射线上，并由平面几何的定理得一条射线上，并由平面几何的定理得12,z za2212.Raza za由定义知由定义知 关于圆周关于圆周 对称。对称。12,z z 定理定理6.8 6.8 设扩充设扩充 平面上两点平面上两点 关关于圆周于圆周 对称，对称， 为一分式线性变换为一分式线性变

22、换, ,则则 关于圆周关于圆周 对对称。称。z12,z z( )wL z1122( ),()wL zwL z( )L 证证 设设 是扩充是扩充 平面上经过平面上经过 的的w12,w w任意圆周。此时，必然存在一个圆周任意圆周。此时，必然存在一个圆周 ，经，经过过 并使并使 因为因为 关于圆周关于圆周 对对称，故由引理称，故由引理6.16.1， 与与 正交。由于分式正交。由于分式线性变换的保角性，线性变换的保角性， 与与 亦亦正交。正交。 再由引理再由引理6.16.1知知 关于关于 对称。对称。12,z z( ).L 12,z z( )L ( )L ( )L 12,w w 定理定理6.6.101

23、0 设分式线性变换将扩充设分式线性变换将扩充 平面平面上三个相异点上三个相异点 指定变为三个相异点指定变为三个相异点z123,z z z 则此分式线性变换被唯一确定则此分式线性变换被唯一确定, ,并并可写成可写成 即即 123,w w w123123(, )( , )w w w wz z z z311232:wwwwwwww131232:zzzzzzzz（即三对对应点能唯一确定一个分式线性变（即三对对应点能唯一确定一个分式线性变换）换） 例例1 1 求将求将 对应地变成对应地变成 的的线性变换线性变换. . 2, , 2i 1, ,1i解解 所求分式线性变换为所求分式线性变换为( 1, ,1,

24、 )(2, , 2, ),iwiz即即1 1 1222:,12wzwiizii 化简后得化简后得6.32ziwiz 例例2 2 把上半把上半 平面共形映射成上半平面共形映射成上半 平面的分式线性变换可写成平面的分式线性变换可写成zw,azbwczd其中其中 是实数是实数, ,且满足条件且满足条件 , , ,a b c d0adbc20,()dwadbcdzczd 事实上，事实上，上述变换将实轴变为实轴，且上述变换将实轴变为实轴，且当当 是实数时是实数时z即实轴变为实轴是同向的，因此上半平面共即实轴变为实轴是同向的，因此上半平面共形映射成上半平面。形映射成上半平面。 也可由下面推导看出：也可由下

25、面推导看出：11Im()22azbazbwwwii czdczd221()Im .2adbcadbczzziczdczd 例例 求出将上半求出将上半 平面共形映射成上平面共形映射成上半半 平面的分式线性变换平面的分式线性变换 使合条件使合条件 zw( )wL z1( ),0(0).iL iL 解解 设所求分式线性变换设所求分式线性变换 为为( )wL z,azbwczd其中其中 都是实数，且都是实数，且, , ,a b c d0.adbc 由于实轴变成实轴，且由于实轴变成实轴，且 必必 因而因而 用用 除分子分母，则除分子分母，则 变变形为形为( )wL z0(0),L0,b 0.a a,zw

26、ezf其中其中 都是实数，都是实数，,cdefaa 再由条件再由条件 得得1( )iL i 1,iieif 即即()()fei fei所以所以0,1,fefe解得解得1,2ef故分式线性变换所求为故分式线性变换所求为2.11122zzwzz 例例3 3 求出将上半平面求出将上半平面 共形映共形映射成单位圆射成单位圆 的分式线性变换，并使上的分式线性变换，并使上半平面上一点半平面上一点 变成变成Im0z 1w 0.w (Im0)zaa 解解 点点 关于实轴的对称点为关于实轴的对称点为 而而 关于单位圆周对称点为关于单位圆周对称点为 根据分式线性根据分式线性变换保对称点的性质知，所求变换应把点变换

27、保对称点的性质知，所求变换应把点 变到变到 把点把点 应该变到应该变到 把把 变到变到 因此，这个变换应当具有形式因此，这个变换应当具有形式a, a0w .w ;w a0;w aIm0z 1.w ,z aw kz a其中其中 为复常数。为复常数。 k(Im0).6.2izaweaza（）.awka因此因此1.awkka所以，可令所以，可令 是实数）得所求变换为是实数）得所求变换为(ike 的确定的确定：如果：如果 是实数，如是实数，如 则则它变到单位圆周上的一点它变到单位圆周上的一点k0,z z 由于由于 是实数时，是实数时， 因此它把直线因此它把直线z1.w 映射成圆映射成圆 从而把上半平面

28、从而把上半平面Im0z 1.w 映射成映射成 或或 又因当又因当 时，时， 因此这个函数正是我们所要求因此这个函数正是我们所要求的。的。Im0z 1w 1,w za01,w 在变换（在变换（6 6. .2 2）中，即使）中，即使 给定了，还给定了，还需需确定一个实参数确定一个实参数 为了确定为了确定 需指出实需指出实轴上一点与单位圆周上某点的对应关系。或轴上一点与单位圆周上某点的对应关系。或需指出需指出在在 处的旋转角处的旋转角 我们可我们可以验证变换（以验证变换（6.26.2） 在在 处的旋转角处的旋转角a.,zaarg( ),w azaarg( ).2w a , 10)Im( wz映射成单

29、位圆映射成单位圆求将上半平面求将上半平面 .0)2(arg , 0)2( 性映射性映射的分式线的分式线且满足条件且满足条件 iwiw解解 : 0)2( 知知由由条条件件 iw . 0 2 wiz映映射射成成依上题结论得依上题结论得),22(izizewi 例例 ,)2(4)(2iziezwi 因因为为).4()2(ieiwi 所所以以)4arg(arg)2(argieiwi 从而所求映射为从而所求映射为).22(iziziw , 0)2( .2 所以所以 例例4 4 求出将单位圆求出将单位圆 共形映射成共形映射成单位圆单位圆 的分式线性变换，并使一点的分式线性变换，并使一点1z 1w 变换成变

30、换成 (1)za a0.w 解解 所求变换应把所求变换应把 内的点内的点 （不妨（不妨设设 ）变成）变成 把把 变成变成 根据分式线性变换保对称点的性质，点根据分式线性变换保对称点的性质，点 关关于于 的对称点的对称点 变成变成 关于单关于单位圆位圆 的对称点的对称点 因此所求变换具因此所求变换具有形式有形式1z 0a 0;w 1;w 1z aa1z 1aa.w 1w 0w ,1zawkza整理得整理得1,1zawkaz其中其中 为复常数。为复常数。1, k k111,1aka 的确定：的确定：如果如果 例如例如 则它则它变到变到 上的点上的点 ，于是，于是 1,z 1,z 1w 1k所以，可

31、令所以，可令 是实数）得所求变换为是实数）得所求变换为1(ike(1).(6.3)1izaweaaz 的确定还需附加条件，类似于例的确定还需附加条件，类似于例3 3我们可我们可以验证，对于变换（以验证，对于变换（6.6.3 3），有），有arg( ).w a例例 .021, 021的的分分式式线线性性映映射射圆圆且且满满足足条条件件求求将将单单位位圆圆映映射射为为单单位位 ww解解 : 0)21( 知知由由条条件件 w . 021 wz映映射射成成依上题结论得依上题结论得.212zzewi ,3421 iew 由由此此得得.212zzw , 021 w因为因为,21为正实数为正实数则则 w所以

32、所求映射为所以所求映射为 .21arg w故故 . 0 得得例例5解解Im01. zw 求将上半平面映射成单位圆的分式线性映射123123 1, 0, 1 1 1,1.xzzzwwwi w 在 轴上任取三点使之依次对应于上的三点)(zoxy)(wouv1 .1.i.1 .1.123123 , zzzwww由于与绕向相同123123(,)( , ,),w w w wz zz z所求的线性函数为11 11 1 1:,10 10wzwiiz 即 .1ziwiz化简得 注意注意: 本题中如果选取其他三对不同点本题中如果选取其他三对不同点, 也能得也能得出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射出满足要求

33、但不同于本题结果的分式线性映射.可见可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不唯一不唯一, 有无穷多个有无穷多个.第三节第三节 某些初等函数所构成的共形映射某些初等函数所构成的共形映射 1 1 幂函数与根式函数幂函数与根式函数 先讨论幂函数先讨论幂函数 ,nwz其中其中 是大于是大于1 1 的自然数的自然数. .除了除了 及及 外，它处处具有不为零的导数，因而在这些外，它处处具有不为零的导数，因而在这些点处是保角的点处是保角的. . 0z z n 幂函数幂函数 在角域在角域 内内是单叶的是单叶的 ，因而是共形的。于是，因而是共形的。于是nwz:0argd

34、z2(0)nuvOOxy幂函数幂函数 将角域将角域 共形映射成角域共形映射成角域nwzd:0arg.DzndnDnwznwzzxyOnnnzwnwzvuOw特别地，特别地， 将角域将角域 共共形映射成平面上除去原点及负实轴后所剩的形映射成平面上除去原点及负实轴后所剩的区域区域. .nwz:argdznn 作作 的逆变换的逆变换 nwz,nzw将将 平面上的角域平面上的角域 w:0arg.Dzn(0 共形映射成共形映射成 平面上的角域平面上的角域 2)nz:0argdz 例例 1 1 求一变换求一变换, ,把具有割痕把具有割痕Re,0Imzazh的上半的上半z z平面保形变换成上半平面保形变换成上半w w平面平面解解 如图所示的五个变换的复合如图所示的五个变换的复合22().wzahazOxy1zOxy2zOxy3zOxy4zOxywOuv()C aihBDBD( )C ihBD2()Ch(0)C2()D h2()B h()Bh()D ah( )C a(