曲线与方程中的和、差、积、商

1、曲线与方程中的和、差、积、商摘要 和、差、积、商本来是代数中的数语，但是，在几何中也有用武之地，并且有不俗的表现，它把代数中的有关知识与几何中的有关知识联系起来，使人有耳目一新的感受.关键词 解析几何，和，差，积，商，距离，斜率解析几何是以坐标为核心的几何学，是用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.它以坐标法为基础，在坐标平面上，以坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过研究方程的特征，间接地来研究曲线的性质.因此，它主要有两方面作用：一，以代数为方法解决几何问题，也就是几何问题的代数化；二，给代数问题以一种几何解释，即代数关系的几何意义.距离、斜率是解析几何中的两个基本概念，在坐标平面

2、内，一条线段的长度或其所在直线的斜率与其上的两个点的坐标有关，所以，两点间的距离或经过两点直线的斜率是这两个点的坐标的函数.和、差、积、商，本来是代数中的基本运算，但是它在解析几何中也有不俗的表现，下面请看：一、与距离有关1、平面内到两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点、叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，则，常数，所以由条件有，即，化简得，其中(如图1).2、平面内到两个定点、的距离之差等于常数（小于）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点、叫做双曲线的焦点，两

3、焦点间的距离叫做双曲线的焦距.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则，常数，所以由条件有，即，化简得，其中(如图2) .3、平面内到两个定点、的距离的乘积等于常数的点的轨迹叫卡西尼卵形线.这两个定点、叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为卡西尼卵形线上任意一点，两定点、间的距离为，常数为，则，所以，即，化简得(如图3) .特别地，当时，得到贝努利双纽线(如图4) . 当时，得到没有自交点的两个卵形线.4、平面内到两个定点、的距离之

4、比等于常数（不等于1）的点的轨迹叫圆（也称阿波罗尼斯圆）.这个圆，是以两已知点为端点的线段的定比为常数（不等于1）的内外分点作为直径的两端点的圆.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为阿波罗尼斯圆上任意一点，两定点、间的距离为，常数为，则，所以由条件有，即化简得(如图5) .也就是说，是以的外角平分线及的平分线与、所在直线的交点为直径端点的圆.特别地，当时，轨迹为两定点所在线段的中垂线.二、与斜率有关1、平面内与两定点连线斜率之和为定值（不等于零）的点的轨迹是双曲线的一部分.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为曲线上任意一点

5、，两定点、间的距离为，定值为，则，所以，即，化简得，所以，满足条件的点的轨迹方程为.2、平面内与两定点连线斜率之差为定值（不等于零）的点的轨迹是抛物线的一部分.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为曲线上任意一点，两定点、间的距离为，定值为，则，所以，即，化简得，所以，满足条件的点的轨迹方程为.3、平面内与两定点连线斜率之积为定值（不等于零）的点的轨迹是圆或椭圆或双曲线的一部分.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为曲线上任意一点，两定点、间的距离为，定值为，则，所以，即，化简得，所以，满足条件的点的轨迹方程为.当定值时，轨迹

6、为圆的一部分；当定值时，轨迹为椭圆的一部分；当定值时，轨迹为双曲线的一部分.特别地，当定值取，取时，椭圆方程为；当定值取，取时，双曲线方程为.4、平面内与两定点连线斜率之商为定值的点的轨迹是直线的一部分.解析：以两定点、所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设为曲线上任意一点，两定点、间的距离为，定值为，则，所以，即，化简得，所以，满足条件的点的轨迹方程为.三、应用1、2011北京 曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点在曲线C上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是_.解：利用结论易知

7、：曲线C为卡西尼卵形线（如图），所以，设点为曲线C上任一点，则，化简得，经验证是错误的，是正确的；又，所以正确.因此，本命题中只有、是正确的.2、2008江苏 满足条件的三角形的面积的最大值为 .解：设BC，则AC ，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=，由三角形三边关系有解得，故当时，取得最大值.利用结论：由图易知，点的轨迹为阿波罗尼斯圆，当点到直径所在直线的距离为圆的半径时，取得最大值，所以，三角形的面积的最大值=. 3、2010山东 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点

8、. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线、的斜率分别为、，证明：. 解：（）略解：由题意易得，椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为.（）一般解法：设，则由（）知，因为点在双曲线上，所以，因此，即.利用结论知：.4、2011江西 是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线、的斜率之积为，求双曲线的离心率解：一般解法：因为点在双曲线上，所以有，由题意有可得.利用结论知：，即，又，所以.5、2010北京 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.求动点的轨迹方程.解：因为点与点关于原点对称，所以点的坐标为.设点的坐标为 由题意得，化简得 .故动点的轨迹方程为.6、2011湖北 平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系.解：利用结论，当时，由条件易得 ，由题意，曲线的方程为. 当时，曲线的方程为，曲线它表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线它表示圆心在坐标原点，半径为的圆； 当时，曲线的方程为，曲线它表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线它表