数字信号处理数字滤波器设计PPT课件

1、概述IIR数字滤波器的基本网络结构FIR数字滤波器的基本网络结构IIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器的频率变换FIR数字滤波器的设计方法FIR数字滤波器与IIR数字滤波器的比较主要内容主要内容第1页/共226页第一节第一节 概述概述 数字滤波器的概念数字滤波器的概念 滤波器的分类滤波器的分类 滤波器技术要求滤波器技术要求数字滤波器的结构表示数字滤波器的结构表示第2页/共226页1.1数字滤波器概念数字滤波器概念.滤波器：-指对输入信号起滤波作用的装置。对线性移不变系统，有：时域：时域： 频域：频域：( )( )( )y nx nh n)()()(jjjeHeXeY第3页/共226页 2、

2、数字滤波器：当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应 h(n)时，这样的滤波器称作数字滤波器。H(ej)为矩形窗时的情形第4页/共226页(一)按实现方法分模拟和数字滤波器1. 模拟滤波器（Analog Filter-AF）：只能硬件实现R、L、C、Op、开关电容。2. 数字滤波器（Digital Filter-DF）：硬件实现延迟器、乘法器和加法器；软件实现线性卷积的程序。1.2滤波器的分类滤波器的分类第5页/共226页(二)一般分为经典滤波器和现代滤波器：1.经典滤波器：假定输入信号中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的频带。经典滤波器从功能上分： 低通(LP)、高通(H

3、P)、带通(BP)、带阻(BS)均有AF和DF之分。若信号和噪声的频谱相互重迭，经典滤波器无能为力。第6页/共226页模拟数字第7页/共226页模拟数字第8页/共226页2.2.现代滤波器：从含有噪声的时间序列中估计出信号的某些特征或信号本身。现代滤波器将信号和噪声都视为随机信号。包括Wiener Filter、Kalman Filter、线性预测器、自适应滤波器等。第9页/共226页(三)从设计方法上分：AF： Butterworth FilterChebyshev FilterEllipse FilterBessel FilterDF：FIR根据给定的频率特性直接设计 IIR利用已经成熟的

4、AF设计方法设计第10页/共226页(一)模拟低通滤波器的设计指标有： ：通带截止频率 ：阻带截止频率 ：通带 中的最大衰减系数 ：阻带 的最小衰减系数 ,ppsspsp(0 )p ss 10pcs()H j通通阻阻1.3滤波器的设计要求滤波器的设计要求第11页/共226页若若 处幅度已归一化到处幅度已归一化到1，即，即 ，则有：，则有：2222( 0)10lg()( 0)10lg()apapasasHjHjHjHj2210lg()10lg()papsasHjHj ( 0)1aHj0 第12页/共226页数字滤波器的传输函数：()()()jjjH eH ee (二)数字低通滤波器的设计指标阻阻

5、通通第13页/共226页：通带截止频率 ：通带允许的最大衰减；：阻带截止频率 ：阻带允许的最小衰减；：3dB通带截止频率：通带、阻带的容限（允许误差）， 分别定义为：式中均假定 （归一化）。当 时，ppssc12. .ps 00()20lg20lg() ()()()20lg20lg() ()()ppssjjpjjjsjH eH edBH eH eH edBH e 0()1jH epc3pdB第14页/共226页NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(H(z)X(z)Y(z)1、系统函数和差分方程系统函数和差分方程系统函数和差分方程DFDF的基本运算的基本运算DFDF的结构表示法的

6、结构表示法NkMkkkknxbknyany10)()()(1.4数字滤波器的结构数字滤波器的结构 表示表示第15页/共226页 2、实现DF的基本运算 实现滤波： -对输入序列x(n)进行一定的运算操作，从而得到输出序列y(n) -从运算上看,只需三种运算： 加法、单位延迟、乘法加法、单位延迟、乘法 因此实现的方法有两种： (1)利用通用计算机编程，即软件实现 (2)数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现第16页/共226页3、数字滤波器的结构表示法A、方框图法 方框图法简明且直观，其三种基本运算，如下图所示：第17页/共226页 x(n)b0b0 x(n) y(n)1Z1Z1a) 1(1ny

7、a2a)2(2nya) 1( ny)2( ny)()2() 1()(021nxbnyanyany第18页/共226页B、信号流图法 三种基本的运算：第19页/共226页 几个基本概念： 输入节点或源节点， 所处的节点 输出节点或阱节点， 所处的节点 分支节点，一个输入，一个或一个以上输出的节点 相加器（节点)或和点，有两个或两个以上输入的节点 *支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1 1；任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。 )(nx)(ny第20页/共226页1例和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7)(nx)2()1(21nyanya0b2)(ny3541Z1Z)1( n

8、y)2( ny1a2a)2(2nya)()2() 1()(021nxbnyanyany67a1y(n-1)y(n)第21页/共226页第二节第二节IIR数字滤波器的基本网络结构数字滤波器的基本网络结构 直接直接I I型型 直接直接II II型型 级联型级联型 并联型并联型 转置定理转置定理第22页/共226页IIR滤波器的系统函数NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()( 差分方程（N阶）NkMkknxbknyanykk10)()()(第23页/共226页IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应h(n)是无限长的。 2、系统函数H(z)在有限Z平面（ ） 上有极点存在。 3、结构上是递

9、归型的，即存在着输出到输入的 反馈。 Z0第24页/共226页N阶IIR滤波器的直接I型流程图(1)直接按差分方程可以画出结构流图2.1直接直接I型型 第25页/共226页直接I型，先实现 ，再实现 。MkkkzbzH01)(211( )1NkkkHzaz)(2zH)(1zH)()(1)()()(2110zHzHzazbzXzYzHNkkkMkkk(2)直接I的特点其中：第26页/共226页第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:)(0knxbNkk第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:Nkkknya1)(可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。 * *共需存储延时单元和乘法器各（共需

10、存储延时单元和乘法器各（M+NM+N）个。）个。第27页/共226页当IIR数字滤波器是线性非移变系统时，有：21( )( )( )( )( )Y zH zHzH zX z直接直接II型，先实现型，先实现 ，再实现，再实现 。)(2zH)(1zH)(nxz1a1a2aN 1z1aNz1z1z1b0b1b2bM 1bM)(nyz1反馈在前两列延迟z1z1b0b1b2bM 1bM)(ny)(nxaN 1aNz1a1a2z12.2 直接直接II型型第28页/共226页)(2zH)(1zHN阶IIR滤波器的直接II型流程图 特点：先实现系统函数的极点，再实现零点；需要特点：先实现系统函数的极点，再实现

11、零点；需要N个延迟器和个延迟器和2N个乘法器。个乘法器。第29页/共226页证明：由上图可知：证明：由上图可知：上述方程两边同时进行上述方程两边同时进行ZT，得：，得：整理上式得：整理上式得：12012( )( )(1)(2)()( )( )(1)(2)()NNw nx na w na w na w nNy nb w nbw nb w nb w nN121212012( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )NNNNW zX za z W za z W za zW zY zbW zb z W zb z W zb zW z121212012( )(1)( )( )()( )NN

12、NNW za za za zX zW z bb zb zb zY z第30页/共226页所以直所以直II型结构的系统函数为：型结构的系统函数为：0211( )( )( )( )( )1MkkkNkkkbzY zH zHzH zX zaz例例 数字滤波器的结构如下图所示。数字滤波器的结构如下图所示。)(nx)(ny1z1z62. 18 . 1（1）写出它的差分方程和系统函数；）写出它的差分方程和系统函数；（2）判断该滤波器是否因果稳定。）判断该滤波器是否因果稳定。第31页/共226页解解: (1) (直直II型结构的二阶基本节型结构的二阶基本节)(2)极点：极点极点：极点 均位于单位园内，均位于

13、单位园内，系统稳定；，故系统为因果系统。系统稳定；，故系统为因果系统。 1121( )1 1.81.62zH zzz( )1.8 (1) 1.62 (2)( )(1)y ny ny nx nx n1,20.90.9zjlim( )1zH z第32页/共226页先将系统函数按零、极点进行因式分解1221111111111110)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1)(NkNkMkMkNkkkMkkzdzdzczqzqzpAzazbZHkkkkkkk其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点，M=M1+2M2，N=N1+2N2 2.3 级联型

14、级联型 第33页/共226页 再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子， 则得11211121)1 ()1 ()1 ()1 ()(2211122111NkNkMkMkzzzczzzpAzHkkkkkk第34页/共226页为了方便，分子取正号，分母取负号；这样，流图上kkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(22112211 最后，将两个一阶因子组合成二阶因子（或将的系数均为正。一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则有第35页/共226页当（M=N=2）时22111122111111)(zzzzAzHAB11 21 11 21 1Z1Z)(nx)(ny直II型结构第36页/共226页 称为滤波器

15、的二阶基本节。称为滤波器的二阶基本节。LkkkkkkzzzzAzH12211221101)()(nh1( )LkkAHz120121212( )1kkkkkkzzHzzz则，对系统函数：则，对系统函数：其中：其中： 为实系数为实系数,第37页/共226页基本结构：二阶基本节，“田字型”结构。特点：1、二阶基本节搭配灵活，可调换次序；2、可直接控制零极点；kk21,仅影响第k对零点，同样kk2,1仅影响第k对极点，便于调节滤波器的频率特性。第38页/共226页3、存储器最少；4、误差较大。 级联的形式，导致了误差会逐级传递注意：会出现02k或者02k*通常M=N时，共有（N+1）/2节第39页/

16、共226页；121101*111)1)(1 ()1 (1)(NkNkNMkkkkkkkkkZCZdZdZgBZcAZH将H（Z）展成部分分式形式:其中，kkkkkCcgBA,均为实数，*kd与kd复共轭当M (1)假设模拟滤波器的传递函数假设模拟滤波器的传递函数 具有单阶极点，且分母的阶数高具有单阶极点，且分母的阶数高于分子的阶数，将于分子的阶数，将 展开成部分分式得：展开成部分分式得： ( )式中式中 为极点。对为极点。对 求求 变换得：变换得： ( )( )aHs( )ah t)()(nThnha( )H z)(sHa)(sHaNkkkassAsH1)(aks)(sHaLaplace)()

17、(1tueAthtsNkkakb第108页/共226页(2)使用冲激不变法求数字滤波器的冲激响应使用冲激不变法求数字滤波器的冲激响应 。令令 ，代入上式，代入上式(b)得：得： ( c )(3)求求 的的z变换得变换得 ： ( d )(nhnTt 1( )()()knTNsakkh nh nTA eu nT)(nh)(zH01( ) ( )kNs nTnknkH zh nA ez 111TkNkskAez可简化步骤可简化步骤: :NkkkassAsH1)(11( )1TkNkskAH zez第109页/共226页3、几点结论（1）S平面的单极点变为Z平面单极点 就可求得H(Z)。（2） Ha(

18、s)与H(Z)的系数相同（3）AF是稳定的，DF也是稳定的。（4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不一一对应。TSkeZ 第110页/共226页)nT(Th)n(haN1k1TSkZe1TA)Z(Hk4、修正的H(Z)由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益过高，这样很不好，为此做如下修正：第111页/共226页例例 已知模拟滤波器的系统函数为：已知模拟滤波器的系统函数为：用冲激响应不变法将它转换成数字滤波器的系统用冲激响应不变法将它转换成数字滤波器的系统函数函数 (假设假设T=1),并画出其流程图。并画出其流程图。解：将解：将 分解得：分解得： ，故有：，故有：22(

19、)43aHsss( )H z121,3 ss( )aHs13111( )11TTH zezez11311111e ze z第112页/共226页13113142()1 ()eezeeze z1120.31811 0.41770.0183zzz其流程图如下：其流程图如下：直直II型、级联型型、级联型第113页/共226页1.双线性变换法设计数字滤波器双线性变换法是一种s平面到z平面的映射过程，定义为：11112zzTs11112 112 1( )( )|()1aazsTzzH zHsHTz4.3双线性变换法双线性变换法故有：第114页/共226页sj jze11112zzTs2 12tan(/2

20、)1jjejjTeT 2tan()2Tarc即：将 和 带入得：分析：双线性变换中 角频率和数字域频率的关系(1)数字域频率和模拟域频率之间是非线性关系： 当 从 从即：AF的全部频率特性，被压缩成等效DF在频率 之间的特性。0 0 0说明：(2)幅度上无混迭失真。第115页/共226页ps2()22()2ppsstgTtgT spAF就按这两个预畸变了的频率 和 来设计。双线性变换的频率标度的非线性失真可以通过预畸变的方法来补偿。设所求的DF的通带和阻带的截止频率分别为 和 ，则：第116页/共226页1122sTsTz sj (1)双线性变换是简单映射；(2)双线性变换是稳定的变换；即AF

21、在s平面左半平面的所有极点经映射后均在z平面的单位园内。S平面Z平面2222(1)()22|(1)()22TTzTT0| 1z 0| 1z 0| 1z 11112zzTs第117页/共226页原因：S平面一宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面2.双线性变换法变换原理问题：用冲激响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。1ST2TTTSeZ1第118页/共226页111111ZZCZZCS使AF和DF在低频处有较确切的对应关系TC2第119页/共226页3.双

22、线性变换的特点1)S平面的虚轴( )映射到Z平面的单位圆上。j2)稳定的AF，双线性变换后得DF也是稳定的3)突出的优点是避免了频响的混叠失真。)2(21Ttg说 明s平面的正虚轴Z平面单位圆的上半部S平面的负虚轴Z平面单位圆的下半部0000可见：S到Z平面，频率轴是单位变换关系第120页/共226页 时， 为折叠频率，所以不会有高于折叠频率的分量，因此不会产生混叠失真。4)频率的非线性失真说明零频附近，两者变换关系近似于线性，随着 的增加，表现出严重非线性。因此，DF的幅频响应相对于AF的幅频响应会产生畸变。只有能容忍或补偿这种失真时，双线性变换法才是实用的。只有能容忍或补偿这种失真时，双线

23、性变换法才是实用的。第121页/共226页5)双线性变换法的应用范围：能够设计的滤波器LP、HP、BP、BS。4. 设计步骤1)DF参数频率预畸变成对应AF参数2)设计模拟低通滤波器-双线性变换映射成数字低通滤波器第122页/共226页5. 设计方法1)直接代入法)1/()1(11)()(ZZcsaSHZH2)间接代入法先将AF的系统函数分解成级联或并联形式，然后在对每一个子系统函数进行双线性变换。miSHZHZHZHZHZHSHSHSHSHZZcsaiimamaaa,.,2 , 1,)()()().()()()().()()()1/()1(212111第123页/共226页冲激响应不变法冲激

24、响应不变法双线性变换法双线性变换法幅频响应有失真幅频响应有失真幅频响应无混迭幅频响应无混迭频率之间呈线性频率之间呈线性频率之间有失真频率之间有失真2)不同点：6.冲激响应不变法和双线性变换法比较：1)相同点：首先设计AF，再将AF转换为DF。第124页/共226页例例 二阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数二阶巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数为：为：采样间隔采样间隔 ， 截止频率截止频率 ，用双线，用双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器 。（1）求出）求出 ；（2）画出数字滤波器的直）画出数字滤波器的直II型结构流图。型结构流图。21( )21 aHs

25、ss2Ts 3dB1/ crad s H z H z第125页/共226页解：解：(1) (2)DF的直的直II结构图如下：结构图如下：112 11( )( )|azsTzH zHs1121211|21 zsTzss1 21222(1)121(22)(22)2222122zzzzzoooooooooo1z1z22212222x(n)y(n)第126页/共226页4.44.4数字数字ButterworthButterworth滤波器滤波器 AF的设计有一套相当成熟的方法：设计公式；设计图表； 典型的滤波器，如:巴特沃斯切比雪夫一一. .模拟模拟ButterworthButterworth滤波器滤

26、波器二二. . 设计数字设计数字ButterworthButterworth滤波器滤波器第127页/共226页半功率点半功率点其中： 是角频率 N 是滤波器阶数 是3dB截止频率； 当 时，1. 幅度平方函数:NcajH22)(11| )(|c0 |()| 1aHj 一一. .模拟模拟ButterworthButterworth滤波器滤波器第128页/共226页 通带内幅度响应最平坦最平坦； 通带和阻带内幅度特性单单调下降调下降； N增大，通带和阻带的近似性越好，过渡带越窄； 不管N为多少，都通过 点。)3(2/1dB1.00N=2N=4N=8|()|aHj12c2.幅度响应特点：第129页/

27、共226页sj 21( )()1 ()aaNcHs Hssj21()0Ncs()22,0,1,.,(21)kjNNkcsekN 3.极点分布特点：令 ，得极点：2()()()()()aaaaaHjHjHjHjHj 第130页/共226页极点分布特点：极点分布特点：l 在在s平面上共有平面上共有2N个极点等角距地分布在个极点等角距地分布在半径为半径为 的圆的圆(巴特沃斯圆巴特沃斯圆)上；上；l 极点对称于虚轴，虚轴上无极点；极点对称于虚轴，虚轴上无极点；N为奇数，实轴上两个极点；为奇数，实轴上两个极点；N为偶数，实轴上无极点；为偶数，实轴上无极点；l 各极点间的角度为各极点间的角度为 。cN()

28、22,0,1,.,(21)kjNNkcsekN 第131页/共226页N=2N=3944jcSe341jcSe542jcSe743jcSej1S4S3S2Sj6S5S1S2S3S4S231jcSe736jcSe2jcSe534jcSe433jcSe25jcSe第132页/共226页4. 的确定方法：( )aHs21( )()1 ()aaNcHs Hssj( )aHs()aHs分析： 和 的极零点均在其中若能分出极零点的归属，若能分出极零点的归属，即可确定系统函数即可确定系统函数分析Ha(S)、Ha(-S)的零极点分布特点已知，求系统函数？转化为转化为第133页/共226页H Ha a(s)H(

29、s)Ha a(-s)(-s) 的零极点分布特点的零极点分布特点 C.虚轴上没有极点（傅立叶变换存在）；D.由于稳定，故Ha(s)的极点一定在左半平面； 最小相位延时，应取左半平面的零点如无此要求，可取任一半对称零点为Ha(s)的零点 B.虚轴上的零点一定是二阶的 因ha(t)是实数时,Ha(s)的零极点为共轭对A.如S1是Ha(s)的极点，则-S1就是Ha (-s)的极点 如S0是Ha(s)的零点，则-S0就是Ha (-s)的零点 Ha(s)Ha (-s)的零极点是呈对称的第134页/共226页j34j4j311j11j22j22j第135页/共226页（A）分解 的确定方法：( )aHs21

30、( )()1 ()aaNcHs Hssj（C）按频率特性确定增益常数。（B）极点：左半面的极点归于Ha(s)零点：对称的零点任一半归Ha(s)要求最小相位延时，取左半面零点 （全部零极点位于单位圆内）。得到各零极点第136页/共226页例 由确定系统函数 。解：A.分解极点为C.由 ，因此因222216(25)( )()(49)(36)aaSHs HsSS22222|()|16(25) /(49)(36)aHj( )aHs1,23,47,6ss 5j5j( )aHs20(25)( )(7)(6)aKSHsSS025(0)7 6aKH25 4(0)( 0)49 36aaHH04K 224100(

31、 )1342aSHsSS零点为B.为 选极点-6，-7，一对虚轴零点可得第137页/共226页为得到稳定的系统，由S平面左半平面的极点构成传递函数Ha(s)：21( )()1 ( /)aaNHs Hssj c11()()NNkrkkABssssksrs1( )()aNkkAHsss其中， 为左半平面极点， 为右半平面极点；A、B均为常数。特别，对于Butterworth滤波器第138页/共226页式中： 为左半平面的极点， 是 的共扼极点ks*ksksA0 /2/222/2*111(0)1NNNakccNkkkkkAHAss s /2*11( )()()()aNNkkkkkAAHsssssss

32、当N为偶数，有 由滤波器在 处的单位响应来确定，即：第139页/共226页当N为奇数时，也可得到同样的结果，故：( )aHs/2*1()()NcNkkkssssks*ksks式中, 为左半平面极点 为 的共扼极点 为实轴上的极点。(1)/2*1( )()()()NcaNpkkkHssssssspsN为偶数。N为奇数。第140页/共226页A. 根据实际需要，规定DF在数字临界频率 和 处衰减(单位为分贝) ；B. 确定模拟Butterworth滤波器的指标；二. 设计数字Butterworth滤波器pT步骤：例如，一低通DF的指标：在 的通带范围，幅度特性下降小于1dB；在 的阻带范围，衰减大

33、于15dB；抽样频率 ；试将这一指标转换成ALF的技术指标。0.20.310sfkHz第141页/共226页 处幅度频响的归一化值为1，即：000.200.320lg|()()| 120lg|()()| 15jjjjH eH eH eH e0|()| 1jH e解：按照衰减的定义和给定指标，则有0.20.320lg|()|120lg|()|15jjH eH e 由于 ，所以当没有混叠时T()()()jaaH eHjHjT0.220lg|()|10.220lg|()|15aaHjTHjT 冲激响应不变法，冲激响应不变法，才能这么转化才能这么转化第142页/共226页20lg|()|20lg|()

34、|appassHjHj20lg|()|20lg|()|psjpjsH eH e负值负值冲激响应不变法冲激响应不变法 双线性变换法双线性变换法DFDF指标指标AFAF指标指标2()22()2ppsstgTtgT /ppssTT指标转化流程指标转化流程第143页/共226页C. 确定模拟Butterworth滤波器的阶数N和截止频率 ；c20lg|()|20lg|()|appassHjHj2210lg|()|10lg|()|appassHjHj将幅度平方函数代入，解方程，求得N和c第144页/共226页D.求模拟Butterworth滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成传递函数E.使用冲激不

35、变法或双线性变换法将 转换成数字滤波器的系统函数 。传递函数：( )aHs()22kjNNkcse /2*1()()NcNkkkssss(1)/2*1( )()()()NcaNpkkkHsssssss( )aHs( )H z( )aHs极点： k0，1，2，N1（N为奇数）（N为偶数）第145页/共226页(B)设 ，将数字域指标转换成模拟域指标得：例 设计一个数字Butterworth低通滤波器，在通带截止频率 处的衰减不大于 ，在阻带截止频率 处衰减不小于 。0.2p1dB15dB0.20.320lg()120lg()15 jjH eH e20lg( 0.2 )120lg( 0.3 )15

36、 aaHjHj0.3T1T解：(A)根据滤波器的指标得：第146页/共226页20.10.21()10Nc21.50.31()10Nc5.8858N6,0.7032 cN(C)将幅度平方函数代入以上两式得：按此值设计的滤波器满足通带指标要求，阻带指标将超过给定值。解这两个方程得： 取第147页/共226页(D)由 求得s平面左半平面的极点分别为： cN 和0.18200.6792 j0.49720.4972 j0.67920.1820 j/2*1( )()()NcaNkkkHsssss2220.12093(0.36400.4945)(0.99450.9945)(1.35850.4945)sss

37、sss由这3对极点构成的滤波器的传递函数为：极点对1：极点对3：极点对2：第148页/共226页(E)将 用部分分式展开，由冲激响应不变法求得数字滤波器的系统函数为：1112121120.2871 0.44632.1428 1.1454( )1 1.29720.69491 1.06910.36991.85570.6304 1 0.99730.2570zzH zzzzzzzz( )aHs(F)验证所设计的数字滤波器是否达到指标第149页/共226页第150页/共226页例 双线性变换法设计一个数字Butterworth低通滤波器，在通带截止频率 处的衰减不大于 ，在阻带截止频率 处衰减不小于 。

38、采样频率为 。1dB15dB1pfkHz1.5TfkHz10sfkHz22000 ,23000 ,10.001ppTTsffTf 0.2 ppT0.3 TTT所以因为解：(1)将模拟截止频率转换成数字截止频率：第151页/共226页(2)计算 和 ：0.20.320lg()120lg()15 jjH eH eNc2tan()22tan()2ppTTTT截止频率预畸变截止频率预畸变0.220lg( 2tan()120.320lg( 2tan()152 aaHjHjDFDF指标指标AFAF指标指标是无关紧要的参数，为计算方便。令T1T2tan()21 100.32tan()2

39、1 10NcNc将幅度平将幅度平方函数代方函数代入入第152页/共226页解得:1.50.11 lg(101)/(101)5.304662 lgtan(0.15 )/tan(0.1 )N6N0.76622 cc可以验算这个 值所对应的阻带指标刚好满足要求，而通带指标已经超过要求。取 ，再代入解得:Nc(3)由 和 求模拟Butterworth滤波器的极点，并由左半平面的极点构成传递函数第153页/共226页左半平面的3对极点分别为：cos15sin15 ccjcos45sin45 ccjcos75sin75 ccj2220.20238( )(0.39600.5871)(1.08350.5871

40、)1 (1.48020.5871)aHsssssss由此得传递函数为：第154页/共226页(4)使用双线性变换求得数字Butterworth滤波器的系统函数为：11124121211 2.01831.0186( )( )5.7969 101 0.94590.2342 azszzzH zHszz12121 1.98140.98171 1.05410.3753zzzz121212.0041 1.31430.7149zzzz第155页/共226页(5)验证所设计的数字滤波器是否达到指标第156页/共226页第157页/共226页第五节第五节 IIRIIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换 两

41、种常用设计方法两种常用设计方法 频率变换概述频率变换概述 频率变换的设计公式频率变换的设计公式第158页/共226页5.15.1IIRIIR数字滤波器的两种常用设计方法数字滤波器的两种常用设计方法1. 数字滤波器的指标数字滤波器的指标 模拟低通滤波器的指标模拟低通滤波器的指标 模拟低通滤波器模拟低通滤波器 映射成数字低通滤波器映射成数字低通滤波器 通过频率变换求数字通过频率变换求数字HP/BP/BS滤波器。滤波器。2. 数字滤波器的指标数字滤波器的指标 模拟低通滤波器的指标模拟低通滤波器的指标 求模拟低通滤波器求模拟低通滤波器 模拟低通模拟低通 转换成模拟转换成模拟HP/BP/BS滤波器滤波器

42、 将模拟将模拟HP/BP/BS滤波器映射成所求的数字滤波器。滤波器映射成所求的数字滤波器。)(sHa)(sHa)(zH)(sHa)(sHa第159页/共226页5.25.2IIRIIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换设设 是数字原型低通滤波器的系统函数，是数字原型低通滤波器的系统函数， 是所是所要求的滤波器（要求的滤波器（LP、HP、BP、BS）的系统函数。为了将稳定、因）的系统函数。为了将稳定、因果的果的 变换成稳定、因果的变换成稳定、因果的 ，要求：，要求：1. v平面到平面到z平面的映射平面的映射 是是 的有理函数；的有理函数；2. v平面的单位圆内部映射成平面的单位圆内部映射成

43、z平面的单位圆内部。平面的单位圆内部。)(vH)(zHd)(vH)(zHd)(11zFv1z第160页/共226页设设 和和 分别表示分别表示v平面和平面和z平面的频率变量，平面的频率变量，即：即： ， ；则：；则：故要求：故要求： 及及 满足上面要求的函数就是全通函数，可表示为：满足上面要求的函数就是全通函数，可表示为：其中其中 是是 的极点，为满足稳定性，要求的极点，为满足稳定性，要求jev jez arg()|()|jjjjF eeF ee|()| 1jF earg ()jF e NkkkzzzFv111111)(k1()F z| 1k第161页/共226页最简单的映射：把一个最简单的映

44、射：把一个LPF变换成另一个变换成另一个LPF，如：如：将将 ， 代入上式得：代入上式得：1111()1zvF zzjvejze1jjjeee22(1)sin2(1)cosarctg第162页/共226页由图可见，除由图可见，除 外，频率标度有明显的扭曲。外，频率标度有明显的扭曲。0第163页/共226页如果数字原型低通滤波器的截止频率如果数字原型低通滤波器的截止频率 ，要求的数字低通滤波器的截止频率为要求的数字低通滤波器的截止频率为 ，则有：则有：由此得到所要求的低通滤波器的系统函数为：由此得到所要求的低通滤波器的系统函数为：sin()2sin()2pppp1111( )( )zdvzHzH

45、 vpp第164页/共226页5.35.3频率变换的设计公式频率变换的设计公式1. LPLP： ：要求的截止频率；：要求的截止频率；2. LPHP： ：要求的截止频率；：要求的截止频率；1111zvzsin()2sin()2ppppp1111zvz s()2s()2ppppcoco p第165页/共226页3. LPBP： ：要求的上、下截止频率；：要求的上、下截止频率；4. LPBS： ：要求的上、下截止频率；：要求的上、下截止频率；21121211112111kkzzkkvkkzzkk1212s()2s()2coco21()t()22pkctgg12, 21121211112111kzzk

46、kvkzzkk1212s()2s()2coco21()t()22pktgg12, 第166页/共226页例：例：已知一个数字低通滤波器的系统函数为已知一个数字低通滤波器的系统函数为 ，若用下图中所示结构代替，若用下图中所示结构代替 中的每一个中的每一个延时单元延时单元 ，所得到的系统函数为，所得到的系统函数为 ，求：，求：1. 与与 的映射关系？的映射关系？2. 是一个低通、高通还是带通滤波器？为什么？是一个低通、高通还是带通滤波器？为什么？1( )H v1( )H v( )H zvz( )H z1v第167页/共226页解：解：(1)设图的输入为设图的输入为 ，输出为，输出为 ，则有：，则有

47、：系统函数为：系统函数为：即：即：( )x n( )y n1( )(1) (1)( )2y nx ny nx n1112112zz111122 zvz第168页/共226页(2)设设 ， ，则有：，则有：当时当时 ， ；当时当时 ， ；当时当时 ， 。所以所以 是一个低通滤波器。是一个低通滤波器。jvejze122 jjjeee00c0.75sin1 1.25coscccarctg( )H z第169页/共226页主要内容：主要内容：概述概述IIR数字滤波器的基本网络结构数字滤波器的基本网络结构FIR数字滤波器的基本网络结构数字滤波器的基本网络结构IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法

48、IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换FIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法FIR数字滤波器与数字滤波器与IIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较第170页/共226页第六节第六节FIRFIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 窗函数法窗函数法 频率取样法频率取样法第171页/共226页FIR数字滤波器基本特性：数字滤波器基本特性：1. FIR滤波器永远是稳定的（极点均位于原点）；滤波器永远是稳定的（极点均位于原点）；2. FIR滤波器的冲激响应是有限长序列；滤波器的冲激响应是有限长序列；3. FIR滤波器的系统函数为多项式；滤波器的系统函数为多项式；4. FIR滤波器可具

49、有线性相位。滤波器可具有线性相位。设计的基本方法：设计的基本方法：窗函数法，频率抽样法和等波纹逼近法等。窗函数法，频率抽样法和等波纹逼近法等。第172页/共226页6.1 6.1 窗函数法窗函数法 一、窗函数法原理一、窗函数法原理1.问题提出()jdHe0 0cc理想LF特点：1. 幅频响应为矩形，则冲激响应序列 无限长；2. 非因果3. 不是绝对可和，即理想LPF是不稳定的)(nhd0, 0)(nnhdnncsinLFLF为例：为例：理想理想理想LPF不可实现的。第173页/共226页窗函数法逼近：截断无限长时间冲激响应序列得到一个有限长序列。即：用有限长的冲激响应序列 来逼近无限长的冲激响

50、应序列 。所能设计的FIRfilter的频响理想的filter频响 )e (Hjd)e (Hj逼近逼近)(nh)(nhd2.解决方法第174页/共226页有限长序列即FIR的冲激响应无限长序列)(nhd)(nh将理想低通滤波器的单位取样响应序列 截断（等效于加矩形窗） )(nhd加矩形窗加矩形窗截取截取设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应 ，然后加时间窗 对 截断，以求得FIR filter的单位抽样响应h(n)。)n(hd)(nw)n(hd第175页/共226页cccjjdeeH, 0,)(设理想低通滤波器：截止频率为截止频率为 时延为时延为二二 加窗对频响产

51、生的影响加窗对频响产生的影响1 10 0()jdHecc0 0为群延时( ) 第176页/共226页()()1( )211122()sin()()cccccjj ndj nj nch neededejnnn 对应单位冲激响应为：是以是以 为中心的无限长非因果序列为中心的无限长非因果序列延迟延迟第177页/共226页而寻找有限长 ， 应满足：1. 应满足FIR滤波器的基本条件；2. 应为偶对称或奇对称以满足线性相位的条件；3. 应为因果序列。)(nh逼近)(nhd)(nh)(nh)(nh)(nh其它, 010),()(Nhnhnhd21N( )( )( )dRh nh nw n可知，为线性相位需

52、满足偶对称，取：窗函数，截断第178页/共226页第179页/共226页结论：1. FIR数字滤波器的频谱是理想LPF的频谱与窗函数频谱的卷积；2. 采用不同的窗函数， 就有不同的形状。其中，窗函数为：1,01( )0,RnNwn其它)(nh)(*)(21)(jjdjeWeHeH)(jeH的频谱为：矩形窗第180页/共226页1 1 以矩形窗以矩形窗 为例为例矩形窗的频谱为：( )Rw n1120sin(/2)()( )sin(/2)NNjjj njRRnNW eeeWe21)2/sin()2/sin()(NNWR其中：幅度幅度相位相位第181页/共226页 之间的部分称为窗函数的之间的部分称

53、为窗函数的主瓣主瓣主瓣两侧呈衰减振荡部分称为主瓣两侧呈衰减振荡部分称为旁瓣旁瓣。)(nWRNN22矩形窗矩形窗 的幅频特性图的幅频特性图第182页/共226页理想LPF的频响可表示为：jdjdeHeH)()(ccdH, 0, 1)()(*)(21)(jRjdjeWeHeHdeWeHjRjd)()(21)()()(21dWHeRdjFIR数字滤波器的频率响应为：其中：()1( )()2jjdRHeWed 幅频幅频第183页/共226页FIR滤波器的幅度函数为：dWHHRd)()(21)(可知：由理想LPF的时间函数加窗后得到的FIR滤波器的幅度函数是理想LPF的幅度函数与窗函数幅度函数的周期卷积

54、。第184页/共226页当（1） 时，01(0)1()2ccRHWd也就 在 到 全部面积。)(WR)(Hd0 0cc从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:0 0( )RW2 / N2 / N)(Hdcc2 /cN1( )2RWd用H(0)归一化：H(0)/H(0)=1第185页/共226页)(WRc（2） 时c5 . 0)0(/ )(HHc 与 的一半相重叠。( )dH()RW即卷积值仅0频处的一半，有第186页/共226页cNc2(3) 时Nc2 的主瓣全部在 的通带内)(RW)(dH()/(0)(0)/(0)HHHH出现正的肩峰。()RW第187页/共226页（4） 时时Nc/2cN

55、c/2()RW()/(0)(0)/(0)HHHH出现负的肩峰。 的主瓣全部在 的通带外)(RW)(dH第188页/共226页（5）当）当 时，随时，随 增加，增加， 左边左边 旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积 也随着也随着 的旁瓣在通带内的面积的旁瓣在通带内的面积 变化而变化，故变化而变化，故 将将围绕着零值而波动围绕着零值而波动。Nc2()RW()RW( )H( )H第189页/共226页(6)当当 时，时， 的右边旁瓣将进入的右边旁瓣将进入 的通带，右边旁瓣的起伏造成的通带，右边旁瓣的起伏造成 值围绕值围绕 值而波动。值而波动。N2c)(WR)(Hd)(H )0(H

56、100.5)0(H/ )(H 第190页/共226页第191页/共226页(2) 在 处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡宽度结结 论：加窗对频响的影响论：加窗对频响的影响N4)(H N2c(1)滤波器的频率响应在不连续点不连续点出现了过渡带过渡带由窗函数频谱的主瓣引起的，其宽度取决于主瓣的宽度。而主瓣的宽度与成反比，振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，振荡的多少则取决于旁瓣的多少。第192页/共226页不会改变归一化频响 的肩峰的相对值。对于矩形窗，最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是 8.95% 的绝对值的大小主瓣的宽度 旁瓣的宽度窗函数的幅频函数为)2sin(/ )2Nsin()

57、(WR)(WR)N/4( )N/2( )(H (3)吉布斯（Gibbs）效应 滤波器在通带和阻带产生了一些起伏振荡的波纹旁瓣造成很特殊的函数很特殊的函数不能改变主瓣与旁瓣的相对比例改变N 变变不变不变P142第193页/共226页在一般情况下，希望得到较好的低通性能，对窗函数的有所要求窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱希望的低通特性希望的低通特性对应窗谱要求对应窗谱要求原原 因因较陡的过渡带较陡的过渡带主瓣的宽度尽量窄主瓣的宽度尽量窄过渡带等于主过渡带等于主瓣宽度瓣宽度减少通带减少通带/ /阻带阻带中的波纹中的波纹尽量减少窗谱的旁瓣尽量减少窗谱的旁瓣高度，使能量集中在高度，使能量集中在主瓣

58、主瓣旁瓣造成吉布旁瓣造成吉布斯斯两条要求相矛盾：降低旁瓣高度，会使主瓣变宽，反之，压窄主瓣宽度，又会使旁瓣变高第194页/共226页为了达到设计要求，采取的措施为：采用不同的窗函数采用不同的窗函数 采用窗函数法设计出来的FIR数字低通滤波器的频率响应，它对理想低通滤波器的频率响应的逼近程度，取决于窗函数的频谱的主瓣宽度和旁瓣衰减的大小。第195页/共226页3 3 几种常用的窗函数几种常用的窗函数(1)Bartlett窗：(2)Hanning窗：(3)Hamming窗：(4)Blackman窗：(5)Kaiser窗：第196页/共226页(1)三角形（Bartlett）窗)(nw21Nn0 ,

59、1Nn21Nn21N,1Nn222sin()22( )()1sin()2NWN三角窗与矩形窗比较，三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣无负旁瓣N/8第197页/共226页(2)汉宁（Hanning）窗 汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：汉宁窗可以看作是3个矩形窗频谱之和，括号中两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 2N，从而使旁瓣较大程度地互相抵消旁瓣较大程度地互相抵消, ,但主瓣加宽一倍但主瓣加宽一倍见下页图12( )1 cos()( )21Nw nn RnN122( )( )()()24RRRWWWWNN其窗谱为：第

60、198页/共226页)(W21R)N2(W41RN4N2N2N4第199页/共226页1、汉宁窗主瓣宽且低2、汉宁窗旁瓣则显著减第一个旁瓣衰减一32dB，矩形窗第一个旁瓣衰减一13dB3、汉宁窗的旁瓣衰减速度较快汉宁窗与矩形窗的谱图对比汉宁窗与矩形窗的谱图对比可知：可知：从减小纹波观点出发，汉宁窗优于矩形窗从减小纹波观点出发，汉宁窗优于矩形窗但汉宁窗主瓣加宽，相当于过渡带宽但汉宁窗主瓣加宽，相当于过渡带宽 第200页/共226页(4)哈明（Hamming）窗 海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：哈明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。哈明窗加权的系数能使旁瓣达到