数字滤波器PPT课件

1、四种典型的频率选择滤波器及指标四种典型的频率选择滤波器及指标（1）：选频特性（2）：对输出波形有要求：语音合成、波形传输、图像处理（3）：相位响应对频率导数的负值：常数-线性相位（4）在某些应用场合，也常以或作为滤波器指标1 011 0 1HLP(ej)HHP(ej)HBP(ej)HBS(ej)-c2-c1-c2c1-c2-c1-c2c1-c-c-c-c低频中频高频Fs = 第1页/共85页2021-11-26-2-理想数字低通滤波器的时、频域特理想数字低通滤波器的时、频域特性性arg()arg()j jL PL PHeaHeaw ww w= -cw-cw1 0 c c-|()|()|j jL

2、 PL PHeHew w第2页/共85页DFT变换忽略相位信息IDFT变换输出波形输入波形数据通信、调制解调器要求输入输出信号正交音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音第3页/共85页2021-11-26-4-数字滤波器技术指标数字滤波器技术指标: : 幅频响应幅频响应p, p ：通带截止频率（passband edge frequency）s, s ：阻带截止频率（stopband edge frequency）e2 ：通带波动（passband ripple parameter） = -20log10(1 + e2)c, c ：3dB截止频率（cutoff frequenc

3、y）阻带衰减（stopband attenuation in dB） = 20log10(d)通带过渡带阻带通带波动|H(ej)|21(1+e2)-1pc0.5sd d2pcs|H(j)|2以低通为例第4页/共85页2021-11-26-5-滤波器参数的确定方法滤波器参数的确定方法定义技术指标利用合适的方法确定滤波器系数选择合适的滤波器实现结构分析有限字长效应实现定义技术指标利用合适的方法确定滤波器系数选择合适的滤波器实现结构分析有限字长效应实现第5页/共85页IIR数字滤波器设计一、从模拟滤波器设计数字滤波器二、直接设计IIR数字滤波器三、IIR数字滤波器的优化设计方法1、从模拟滤波器设计数

4、字滤波器2、IIR数字低通滤波器的频率变换（高通、带通、带阻数字滤波器的设计1、IIR数字低通滤波器的频域直接设计方法2、IIR数字低通滤波器的时域直接设计方法1、最小均方误差方法2、最小p误差方法3、最小平方逆设计法4、线性规划设计方法（1）脉冲响应不变法（2）双线性变换法（1）直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换（2）从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换（1）零、极点位置累试法（点阻滤波器）（2）幅度平方函数法（1）帕德逼近法（2）波形形成滤波器设计IIRIIR数字滤波器参数的确定方法数字滤波器参数的确定方法第6页/共85页2021-11-26-7-数字数字模拟模拟数字数字 ？

5、可以利用模拟滤波器较为成熟的设计理论和方法 很多模拟滤波器设计方案具有简单的闭式设计公式，由此可得到简单的数字滤波器设计 将适用于模拟滤波器设计的标准近似方法直接移植于数字滤波器的设计当中，未必能够得到简单的闭式解第7页/共85页2021-11-26-8- 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshe

6、v Filter 椭圆滤波器（椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（双线性变换（Bilinear Transform） 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter）（熟练掌握） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter

7、） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform）第8页/共85页2021-11-26-9-巴特沃思滤波器：巴特沃思滤波器：|Ha(j)|21(1+e2)-1pc0.5sd d2 低通巴特沃思滤波器是全极点系统 N 阶幅度平方频率响应为其中N为滤波器阶数，c为3dB截止频率；p为通带截止频率；(1+e2)-1为通带截止频率处幅度平方频响值 若在阻带截止频率s处2 222222 21111|()|()|1111a aNNNNcpcpHjHjW WWWWWe eWWWW=骣骣鼢珑+鼢珑鼢桫桫2222|()|()|a

8、aHjHjWdWd=N第9页/共85页2021-11-26-10-巴特沃思滤波器：巴特沃思滤波器：|()|( )()()()()|()|( )()()()()()( )( )( )()( )( )( )()|( )()|( )aaaaaaaaaaj tstj tstaaaaaaaaajsaajsaHjAHjHjHjHjHjAHjHjHjHjHjht edtHsht edtHjht edtHsht edtHjHsHjHsW WW WWWWWWWWWWWWWW WW W*- - = -=-=蝌222211( )|( )()( )( )|( )()( )jsaaajsaaaN Nc cAHs HsQ

9、sAHs HsQss sj jW WW WW W= -=-=骣+桫 Qa(s) 有偶数个极点，它们关于虚轴对称 根据因果性要求，Ha(s) 的极点在 s 左半平面第10页/共85页2021-11-26-11-巴特沃思滤波器：巴特沃思滤波器：()()()()21211222212122220 121c co os ss si i n n, , , ,. . . . . ., ,k kk kN NN Nj jj jk kc cc ck kk kN NN Nc cc cs sj je ee ej jk kN Np pp pp pp pW WW WW Wp pW Wp p+=+=-()21222221

10、101()()k kN NN Nc cN NN Nj jjkjkc cs sj js seeeej jp pp pW WW W+骣+=桫轾骣= -=犏臌桫先考察 Qa(s) 的极点分布：/Ns sj jW Wc cW W第11页/共85页巴特沃思滤波器：巴特沃思滤波器：s sj jW W()+=-k kN Nj jk kc cs se ek kN N; ;, , , ,. . . . . ., ,p pp pW W21220 11( ),( )( ),( )()()()()()()aaaaN NK KHsHHsHssssssssssss-=-01101L阶次阶次1234/ /( () )c c

11、c cc cs ss sW WW WW W+2222/()/()ccccs sWWWW+/ /( (. . . .) )c cc cc cc cc cs ss ss ss sW WW WW WW WW W+44322342 6133 4142 613/ /( () )c cc cc cc cs ss ss sW WW WW WW W+3322322第12页/共85页给定指标，如何求给定指标，如何求 N & c ? 在通带范围内允许的最大衰减为在通带范围内允许的最大衰减为 (1+e e2)- -1 或或 p dB，截止频率为，截止频率为 p 在阻带范围内允许的最小衰减为在阻带范围内允许的

12、最小衰减为 d d 2 或或 s dB，临界频率为，临界频率为 s 10102 22 2222210101 110l gl g(1)10110l gl g(1)10111011010l g1010l g10p ps sp pp ps sa aa aa aaeeaeee edaddad-骣= -+=-桫= -=+( )( )( )2 22 222222 22121111111|()|()|11111 1p pc cp pc ccpcpapapN NNNNNHjHjW WW WW WW WWWWWW Weeeeeeee-蕹+蓿蕹|Ha(j)|21=-p/ 10101e e -=s2/ 1010d

13、d ( )( )( )2222222 22 222221 1|()|()|1 11111s sc cssssccccasasN NNNNNHjHjW WW WWWWWWWWWWddWdddddd-+蕹-蕹-( )/10/102 2/10/102 21011011 1l g l gl g l g1011011 1l g2l gl g2l gs sp ps sp pN NssssppppN Na aa aW WW Wd dd de ee eWWWWWWWW-骣骣-鼢-桫桫侈骣骣鼢珑鼢珑鼢珑桫第13页/共85页2021-11-26-14-给定指标，如何求给定指标，如何求 N & c ?( )

14、1 1/10/1011/11/2 2(101)(101)p pc cp pN NN NN Ncppcppa aW WW WeWW eWeWW eW-侈-( )111122/1022/1022221(1)(101)1(1)(101)s ss sc cN NNNNNcsscssW Wa aW WdWWdWdWWdW-蓿-=-()()-轾-犏犏臌p ps sN NN Ncpscps1 11 12 22 210101010101,101101,101a aa aWWWWWW|Ha(j)|21第14页/共85页2021-11-26-15- 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel

15、Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform） 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev F

16、ilter） Chebyshev Type I（了解） Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform）第15页/共85页2021-11-26-16-|Ha-Butterworth(j)|2第16页/共85页Chebyshev Filters：切比雪夫滤波：切比雪夫滤波器器|Ha(j)|21(1+e2)-1psd d2 切比雪夫I 型模拟低通滤波器 N 阶幅度平方频率响应为其中C

17、N()为N 阶切比雪夫多项式： 切比雪夫II 型（逆切比雪夫）模拟低通滤波器2 222221 1|()|()|1()1()p pa aN NHjHjC CW WW WW We e=+2 22 22 21 1| |( () )| |( (/ /) )1 1( (/ /) )a aN Ns sp pN Ns sH Hj jC CC CW WW WW We eW WW W=轾犏+犏臌-=N NN NC CN N1 11 1c co os s c co os s ( ( ) ) | | |1 1( ( ) )c co os sh h c co os sh h( ( ) ) | | |1 1W WW W

18、W WW WW Ws带内极值点个数 = N第17页/共85页2021-11-26-18- 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform） 根据给定指标设计模拟

19、原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform）第18页/共85页2021-11-26-19-模拟原型滤波器数字化设计方法模拟原型滤波器数字化设计方法 首先按一定指标设计出满足要求

20、的模拟原型滤波器，再将其通过某种方式数字化 将微分方程转换为差分方程 将连续时间单位冲激响应ha(t)转换为离散时间单位脉冲响应h(n) 将传递函数Ha(s)直接通过某种映射关系转换为系统函数H(z) s-平面的左半平面应映射至z-平面的单位圆内，即系统稳定性要在转换中能够保持； 保形要求（频率选择能力）第19页/共85页2021-11-26-20- 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Ty

21、pe II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform） 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter

22、） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变：时域方法 双线性变换（Bilinear Transform）第20页/共85页脉冲响应不变法脉冲响应不变法（Impulse Invariance） H(T)2/T0H1(T1)2/T100Ha(j)tha(t)nh(n)=ha(nT)nh1(n)=ha(nT1)Time domainFrequency domain数字化准则：h(n) = ha(t)|t = nT第21页/共85页,1111111 1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )KKKKKKaa kaa kkaa kaa kkkkkkk

23、kK Kk kk kHsHshthth nhnHsHshthth nhnHzHzHzHz=邋1 11111( )( )( )( )( )()()( )( )( )()()kkkkN Nk ka ak kk kNNNNs ts T ns ts T nakakakakkkkkc cHsHssssshtc eu th nhnTc eu nThtc eu th nhnTc eu nT=-=邋()1 11101101 1| | | | |11111111( )( )()( )( )( )()( )1()1()l i ml i m1111kkkks Ts Tk kk kkkkkNNNNn nns Tnns

24、 Tns Tnns Tkkkknnkknnnkkns TNs TNNNNNzezek kk ks Ts Ts Ts TN NkkkkHzh n zc ezu ncezHzh n zc ezu ncezezcezcc cezezezez-= - = - =-=-=-邋邋邋How H(z) is obtained from Ha(s)?order reductionHa,1(s)Ha,2(s)Ha,K(s)|eskT|Re(z)jIm(z)H1(z)H2(z)HK(z) 极点变化： sk - eskT 模拟稳定，数字化后亦稳定第22页/共85页2021-11-26-23-Ha(j)1、增益过高()

25、1 11 12 2( )()( )()( )( )1 1()()k ka aN Nk ks Ts Tk kj jTTTTa am mh nT hnTh nT hnTT cT cHzHzszszH eHjjmH eHjjmw wp pw w-= - =-=-H(ej)第23页/共85页2021-11-26-24-/T/THa(j)高通、带阻 ？阻带性能降低2、混叠效应-/T/T( () )j jH H e ew w ( () )H Hj jW W-第24页/共85页2021-11-26-25-脉冲响应不变法的主要步骤脉冲响应不变法的主要步骤 步骤一步骤一: 确定滤波器的技术指标（通常在数字域给出

26、） 通、阻带的波动 通、过渡、阻带的截止频率 频率选择特性（低通低通） 步骤二步骤二: 对截止频率作如下线性变换（如果给定的是数字指标）： = /T (数字化过程中从模拟到数字频率变换的逆关系） 步骤三步骤三: 选择模拟逼近方法并确定其传递函数Ha(s)（巴特沃思巴特沃思） 步骤四步骤四: 按下述方法将Ha(s)转变为H(z)，完成数字化： 步骤五步骤五: 检验结果是否满足指标，如果不满足，返回步骤三-=-k kN Nk ks Ts Tk kT cT cHzHzezez1 11 1( )( )1 11 1( )( )N Nk ka ak kk kc cHsHsssss=-第25页/共85页 -

27、2|H(ej)|20pc-3s -160.20.6 -2 -16|Ha-Butterworth(j)|21-3pcs0.2/T0.6/T第26页/共85页2021-11-26-27-x x( (n n) )y y( (n n) )1.05-0.360.30z-1z-1()-=c ct taccacchtet u thtet u t( )si n( )( )si n( )W WWWWW22222%李勇，廉保旺，张诒. 数字滤波器设计中采样频率的作用和影响. ，2001，23(3): 38-40. n()-=c cn ncccch nen u nh nen u n( )si n( )( )si n

28、( )W WWWWW22222%damped sinusoid 第27页/共85页2021-11-26-28-01-30-25-20-16-10-3-20analog/digital frequency (T=1)AF/DF magnitude frequency response (dB) DF (impulse invariance)AF (order-2 Butterworth)由于混叠效应，数字化后阻带性能下降，并不满足最初要求 !c 0.72/ 0.23in 第28页/共85页2021-11-26-29- 根据给定指标设计模拟原型

29、低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换（Bilinear Transform） 根据给定指标设计模拟原型低通滤波器 贝塞尔滤波器（Bessel Filter） 巴特沃思滤波器（Butterworth Filter）

30、 切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter） Chebyshev Type I Chebyshev Type II or Inverse Chebyshev Filter 椭圆滤波器（Elliptic Filter） 将模拟原型滤波器数字化 脉冲响应不变（Impulse Invariance） 双线性变换：频域方法第29页/共85页脉冲响应不变法频域映射特征回顾脉冲响应不变法频域映射特征回顾Ha(j)-/T/T第30页/共85页如果如果 ？Ha(j)-/T/T第31页/共85页双线性变换方法（双线性变换方法（Bilinear TransformationBilinear Transfo

31、rmation）jRe(z)jIm(z)1（1）因果稳定性数字化后可以保持( )( )( )( )/( /)/( /)( );( )| |:( )arctan( );( )| |:( )arctan/( /)/( /)a aj jHsHzHsHzsjsjzTsTTzTsTTszzszzzrezreTzTsTTzTsTw wsWsWsWWsWWw wsWsW-=+骣-+=桫=+-+1221222 12212321222频域直接映射：t ta an nj jj jj jj je eT Te ej jT Te ej jT TT Tw ww ww wW WW WW Ww wW W+-=+-骣=桫22

32、12122- = T = 2arctan(T/2)第32页/共85页双线性变换方法（双线性变换方法（Bilinear TransformationBilinear Transformation）( )( )( )( )/ /( );( );/ /arctanarctan( ),( ),tantana aj jHsHzHsHzTszTszzszsTsTzTsTzT TsjzesjzeT Tw wW Ww wW Ww wW W-+-=-+骣=镧桫=骣= 桫 1122 112122222-/T/THa(j)频域直接映射-H(ej)-2-22-2预畸pppppp(2) 保形？第33页/共85页 若数字

33、带通滤波器的四个截止频率为若数字带通滤波器的四个截止频率为 ； 按线性变换所对应的四个模拟截止频率分别为：按线性变换所对应的四个模拟截止频率分别为： 再进行模拟带通滤波器的系统函数的求解；再进行模拟带通滤波器的系统函数的求解； 求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器 显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求，即现在带通的四显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求，即现在带通的四个截止频率不等于原来的个截止频率不等于原来的 ，需对第二步进行预畸：，需对第二步进行预畸：为什么要预畸呢？为什么要预畸呢？, , , ,T TT TT

34、 TT Tw ww ww ww wW WW WW WW W= = = = =12341234, , , ,w ww ww ww w1234t ta an nT TW Ww w-骣=桫1221 12 23 34 4, , , ,w ww ww ww w()tg()()tg()kkkkT TWwWw=/=/22/12341234第34页/共85页, ,( )( )( )( )KKKKk kaa kaa kkkkkk kc cHsHsHsHsssss=-邋11()()( )()( )()( )( )()()()()( )()( )()( )() ( )()( )() ( )()( )()( )()(

35、 )()( )()()/( )()/() ()/ ( )()()/( )()/() ()/ ( )()nTnTnTnTkkkkkkkkkkkkkky ny ny ny nydydy nTynTy nTynTy ny ny ny nTTTTT Ty ny ny ny ny ny ny ny nT Tc x nc x ns y ns y nc x nc x ns y ns y nT sy nT sy nT cx nx nT sy nT sy nT cx nx ntttt-=轾轾+-+-犏犏=犏犏臌臌-+-=+-+-+-=+-1111221121121212121考虑第 k 个一阶子系统，其微分方程

36、为注意到ha,k(t)x(t)y(t)hk(n)x(n)y(n)()()( )( )( )( )() ) )()()kkkkkkkky nTs y nTc x nTy nTs y nTc x nTy nc x ns y ny nc x ns y n+-=( )( )( )( )( )( )kkkky ts y tc x ty ts y tc x t-=(n-1)TnTy (t)t第35页/共85页2021-11-26-36-脉冲响应不变法的主要步骤脉冲响应不变法的主要步骤 步骤一步骤一: 确定滤波器的技术指标（通常在数字域给定） 通、阻带的波动 通、过渡、阻带的截止频率 频率选择特性（低通低通

37、） 步骤二步骤二: 进行下述频率预畸（针对数字域指标）： = ( 2/T ) tan( /2) 步骤三步骤三: 选择模拟逼近方法并确定其传递函数Ha(s)（巴特沃巴特沃思思） 步骤四步骤四: 双线性变换，即将Ha(s)中的“s”按下式进行变换以得到H(z)而而完成数字化： s = ( 2/T ) (1- -z- -1)/(1+z- -1) 步骤五步骤五: 检验结果是否满足指标，如果不满足，返回步骤三第36页/共85页重做第41页题 -2|H(ej)|20pc-3s -160.20.6 -2 -16|Ha-Butterworth(j)|21-3pcs2tan(0.1)/T2tan(0.3)/T第

38、37页/共85页x x( (n n) )y y( (n n) )0.67-0.250.15z-1z-10.300.15第38页/共85页00.6511.522.753-18-16-14-12-10-8-6-4-20analog frequency (rad)AF magnitude frequency response (dB)2tan(0.3)01-160-140-120-100-80-60-40-16020digital frequency (in )DF magnitude frequency response (dB)第39页/共8

39、5页数字高通、带通、带阻滤波器的设计数字高通、带通、带阻滤波器的设计 把一个归一化原型模拟低通滤波器变换成另一个所需类型的模拟滤波器，再将其数字化 直接从模拟滤波器通过一定的频率变换关系完成所需类型数字滤波器的设计 先设计低通型的数字滤波器，再用数字频率变化方法将其转换成所需类型数字滤波器第40页/共85页2021-11-26-41-一、窗函数方法窗函数方法： Windowing二、频率采样方法频率采样方法： Frequency-Sampling三、优化设计方法：Optimum Approximations四、Least-Squares Inverse (Wiener) FilterFIR数字

40、滤波器的设计1、瑞梅兹交换法2、线性规划方法低通、高通、带通、带阻均要掌握第41页/共85页2021-11-26-42- IIR滤波器幅度特性好，但一般无法实现线性相位，需附加滤波器幅度特性好，但一般无法实现线性相位，需附加调相网络调相网络 IIR滤波器需要注意稳定性问题滤波器需要注意稳定性问题 由于单位冲激、脉冲响应特点不同，由于单位冲激、脉冲响应特点不同，IIR滤波器设计方法不滤波器设计方法不能移植于能移植于FIR滤波器的设计滤波器的设计 在图像处理，数据传输和现代通信系统中多要求系统具有在图像处理，数据传输和现代通信系统中多要求系统具有线性相位特性。方便起见，很多时候均使用线性相位特性。

41、方便起见，很多时候均使用FIR滤波滤波 FIR滤波可利用快速傅立叶变换滤波可利用快速傅立叶变换 鉴于鉴于FIR滤波器可以做到线性相位，可专门讨论线性相位滤波器可以做到线性相位，可专门讨论线性相位FIR滤波器的设计，因为若对相位响应不感兴趣，可用阶滤波器的设计，因为若对相位响应不感兴趣，可用阶数低很多的数低很多的IIR滤波实现滤波实现第42页/共85页2021-11-26-43-H(ej)H(ej)IIRFIRnh(n)数字模拟nh(n)从理想频率响应（低通、带通、高通及带阻）出发，通过在域的合理舍弃，将理想系统由非因果变为因果！strategy第43页/共85页( )()1 1()()0 01

42、11100001 10 01 10 01 10 0()( )( ):( )( )()( )( ):( )( )( )cos()( )si n()( )cos()( )si n()( )cos()( )si n()( )cos()( )si n()( )si n()( )si n()si n()si n()cos()cos()( )cos()( )cos()si n0si n0N Njjj njjj nn nNNNNnnnnN Nn nN Nn nN Nn nHeHeh n eHHHeHeh n eHHHjHh nnjh nnHjHh nnjh nnh nnh nnh nnh nnh nnh n

43、nwa wbwwa wbwwwwwwwwa wbwa wbwwwa wbwa wbwww wa wba wba wba wbw wawbawb-+-*=-=-=-=-=+-+=-+=+-+=邋hol ds fhol ds fw wor or ( (1 1) )0 0, ,( (1 1) )/ /2 2( ( ) )( (1 1) )( ( ) )( (1 1) )( (2 2) )/ /2 2, ,( (1 1) )/ /2 2( ( ) )( (1 1) )( ( ) )( (1 1) )N Ns s n ns s N Nn nh h n nh h N Nn nN Ns s n ns s N

44、 Nn nh h n nh h N Nn nb ba ab bp pa a=-= -=-= =-=-= -线性相位条件：( ( ) )( (1 1) )h h n nh h N Nn n= -s(n)系统具有线性相位响应的必要条件系统具有线性相位响应的必要条件若单位脉冲响应序列为中心偶对称或中心奇对称，系统具有线性相位响应第44页/共85页2021-11-26-45-()()()( )( )()( )( )()()()()()()()NNNNnnnnnnnnNNNNNmNNmNm mmmmmN NHzh n zh Nn zHzh n zh Nn zh mzzh mzh mzzh mzzHzzH

45、z-=- -=-=-轾犏= 犏臌= 邋邋11001111001111z11/z11/z1z2z5z51/z3z4z4z h(n)的中心对称性：( )( )( )()( )( )( )()()()NNNNnnnnnnnnHzh n zh nzHzh n zh nzHzHz*-*-*-=*轾犏=犏臌=邋1100 h(n)的实值性：第45页/共85页1031212031112122201212()()()()()( )()( )( )( )( )( )N Njj njj nn nN NN Nj jj njNnj njNnn nN NNNNNNNjjjjjjj njNnj njNnn nHeh n e

46、Heh n eN Nh neeheh neeheN Nehh neeeeehh neeeewwwww wwwwwwwwwwwwwww-=-骣 -桫=-骣骣骣-鼢珑-鼢珑鼢珑桫桫-桫-=骣 -轾=+犏臌桫轾骣 -犏=+犏桫犏臌3111222201201211222( )( )( )cos( )cosN NNNNNNNjjnjnjjnjnn nN Nj jn nN Nehh neeehh neeNNNNehh nnehh nnwwwwwww ww w-骣骣骣-鼢珑-鼢珑鼢珑桫桫桫=骣 -桫=镲镲镲睚镲镲镲铪禳镲轾镲骣 -镲犏=+睚犏桫镲犏镲臌镲铪轾骣骣-鼢珑犏=+-鼢珑鼢桫桫犏臌32N N-禳镲镲

47、镲睚镲镲镲铪Case 1： h(n)中心偶对称，N 为奇数h(n)n(N=7)线性相位线性相位FIRFIR系统的时、频域特点系统的时、频域特点或者先推导H(z)，再令z = ej第46页/共85页2021-11-26-47-A()22()-(N-1)这里A()并不是幅频响应，其值可正可负！A() = A(2-)注意：A()为符幅实函数！ |A()| = |H(ej)|( )( )( ), ( ), ,. . . ,( ), ( ), ,. . . ,()( )cos( )()( )cos( )( )( )cos( )( )cos( )( )N NN Nj jjjjjn nN Nn nNNNNN

48、Naha nhnnaha nhnnHeea nnAeHeea nnAeAa nnAa nnN Nw wwf wwf wwwwwwwwwf wwf ww-骣 -桫=-=骣骣-鼢珑=-=鼢珑鼢桫桫轾犏犏=犏犏臌=骣 -= -桫 11220120111021 222212定义一个 (N + 1)/2 点序列 a(n)：第47页/共85页00.81.82-2024600.81.82-202460246-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.520246-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5200.20.

49、40.60.81.82-20-15-10-5000.81.82-4-2024h(n)a(n)A()|H(ej)|()argH(ej)第48页/共85页00.81.82-20-15-10-5000.81.82-4-20240246012345602460123456h(n)a(n)00.81.820510152000.81.8205101520A()|H(ej)|argH(ej)-3-5(

50、)幅频响应：可实现 低通、高通、带通 带阻四种选频特性相频响应：线性相 位响应：特点()N Nw w-12第49页/共85页2021-11-26-50-Case 2： h(n)中心偶对称，N 为偶数B()22()-(N-1)B() = -B(2-)B() 0()()( )()( )( )( )( )cos( )cos( ), ( )( ), ( )N NjNnjNnjj njj nn nN NNNNNNNjjnjnjjnjnn nN NN Nj jn nHeh neeHeh neeeh neeeh neeN Neh nneh nnN Nbb nhnbb nhnw wwwwwwwwwwww ww

51、 w- -=-骣骣骣-鼢珑-鼢珑鼢珑桫桫桫=-骣 -桫=轾=+犏臌轾犏=+犏犏臌轾 骣犏=-桫犏臌=-12101111222201122012220022()()( )( ), ,. . . , ,. . . ,()( )cos()( )cosN NN Nj jj jn nB BN Nn nHeeb nnHeeb nnf wf ww ww ww ww w骣 -桫=桫轾骣犏=-桫犏臌12201 221214442444 314444444442 444444444 3定义一个 (N/2 + 1) 点序列 b(n)：第50页/共85页2021-11-26-51-Case 3： h(n)中心奇对称，

52、N 为奇数（中间项恒为零）2()-(N-3/2)/2C()2C() = -C(2-)C(0) = C() = C(2) 0()()()()( )()( )( )si n( )si n( ), ( ), ,. . . ,( ), ( ), ,. . . ,()()N NjNnjNnjj njj nn nN NN Nj jn nj jN Nj jHeh neeHeh neeN Neh nneh nnNNNNcc nhnncc nhnnHeHee ef wf ww wwwwwp pw ww wp pw ww w- -=-骣-桫=骣-桫轾=-犏臌禳镲镲轾骣 -镲犏=-睚桫镲犏臌镲镲铪骣 -=-=桫=3

53、210312220122122110021 222144442( )( )( )si n( )si nN Nn nC Cc nnc nnw ww w-=禳镲镲镲睚镲镲镲铪1204 44444 314444444 42 4444444 4 3定义一个 (N + 1)/2 点序列 c(n)：第51页/共85页2021-11-26-52-()()()()( )( )si n()( )( )si n( ), ( ), ,. . . ,( ), ( ), ,. . . ,()( )si n()( )si nNNNNN Nj jjNnjNnjj njj nnnnnN Nj jj jN NHeh neeeh

54、 njnHeh neeeh njnNNNNdd nhnndd nhnnHeed nnHeed nnf wf ww ww wwwwwp pw ww ww ww w-骣 - -桫=骣-桫轾 骣轾犏=-=-犏臌桫犏臌骣=-=桫=-邋11122120012212220021 2221214444 4244444 3( )( )N Nn nD Dw w=禳镲镲轾镲犏睚镲犏臌镲镲铪2014444444444 42 4444444444 4 3Case 4： h(n)中心奇对称，N 为偶数2()-(N-3/2)/2D()2D() = D(2-)D(0) = D(2) 0定义一个 N/2 + 1 点序列 d(

55、n)：第52页/共85页A summary:How to derive H(ej) from h(n)?线性相位FIR滤波器的四种情况h(n) = h(N-n-1)h(n) = -h(N-n-1)1)2)3)4)()=-(N-1)/2()=/2-(N-1)/220-(N-1)20-(N-3/2)()()/2( ) ()/ ( ) ()/ ( ) ()/ ,()/( ) ()/ ,()/ah Nah Na nh NnnNa nh NnnN=-=-=-012212112 ( )( )( )/ ,/( )/ ,/b bb nh NnnNb nh NnnN=-=002212 ( )( )( ) ()/

56、 ,()/( ) ()/ ,()/c cc nh NnnNc nh NnnN=-=-00212112 ( )( )( )/ ,/( )/ ,/d dd nh NnnNd nh NnnN=-=002212 h(n)a(n)h(n)b(n)(N-1)/2N/2h(n)c(n)(N-1)/2h(n)d(n)N/22222()/()/( )( )si n()( )( )si n()N Nn nCc nnCc nnwwww-=120/ /( )( )si n (/ )( )( )si n (/ )N Nn nDd nnDd nnwwww=-201 2()/()/( )( )cos()( )( )cos(

57、)N Nn nAa nnAa nnwwww-=120/ /( )( )cos (/ )( )( )cos (/ )N Nn nBb nnBb nnwwww=-201 2奇数N奇数N偶数N偶数N 时域： 频域： 零点： 成倒数、共轭对出现( ( ) )( () )h h n nh h N Nn n= - 1( () )( ( ) )( () )( () )( () )( ( ) )L LN NL LN Nj jj jH Hz zz zH Hz zH H e eH He ep pw ww ww w-骣-桫=-=111221 H()为实函数 h(n) 偶对称：L = 0 h(n) 奇对称：L = 1

58、A(), B(), C(), D()第53页/共85页2021-11-26-54- 窗函数方法窗函数方法： Windowing Method 频率采样方法频率采样方法： Frequency-Sampling Method 窗函数方法： 在满足线性相位前提下，在时域舍弃一些不可实现的要求 频率采样方法： Frequency-Sampling Methodp 需要掌握低通、带通、带阻、高通四种选频特性FIR滤波器的设计p 若要求FIR数字滤波器具有线性相位响应，只考虑第一种情形，即 h(n)为奇点数中心偶对称p 需要掌握下述两种方法第54页/共85页EXAMPLE：ch(n)1 ,|1 ,|()(

59、)0 ,|0 ,|c cj jd dc cHeHew wwwwwwwpwwp= nn( ( ) )h h n n向右平移 (N - 1)/2N：window length-ccsi nsi n1 12 2( )( )c cc cc cn nj nj nn nd dhnedhnedw ww ww wp pp pw ww w-=N = 211020第55页/共85页EXAMPLE：ch(n)()1 12 21010,|,|()()0,|0,|N Nj jj jj jc cd dc ceeeeHeHew ww ww wwwwwwwpwwp-=nn( ( ) )h h n n-cc()()()()()

60、1 11 12 22 21 12 2si nsi n1 12 2si n10si n101010( )( )N NN Nc cc cN Nc cc cn nj jj nj nd dn nn nn nhneedhneedw ww ww ww wp pp pw ww wp pw w-轾-犏臌-=N = 211020()1 12 21 10 0si n(/2)si n(/2)()()si n( /2)si n( /2)N NN Nj jjj njj nR Rn nN NWeeeWeeew wwwwww ww w-=第56页/共85页l步骤一：根据给定指标确定理想低通数字滤波器的截止频率，并计算步骤一：根据给定指标确