2019年高中必修五数学上期中试卷(及答案)(3)

1、2019年高中必修五数学上期中试卷（及答案）（3）一、选择题an 11 .已知数列an的首项al1,数列bn为等比数列，且bn若b10b112 ,则ana21（）A 29B. 210C. 211D. 2122 .周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A. 一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸3.已知等比数列an的各项均为正数，且a5a6 a4a718,则10g 3 a log 3 a2lOg3 a3lOg3

2、 a10()A. 10B. 12C. 1 log 3 5D. 2 log 3 54.已知数列 an的通项公式为ann 1log2 n N ,设其刖n项和为Sn则使n 2Sn5成立的自然数n（）A.有最小值63C.有最小值31B.有最大值63D.有最大值315.在ABC中，a,b,c分别是角A, B,C 的对边，若 bsin A J3acosB 0,且 b2则ac的值为（） bA. 2B. V2C 2 C.D. 4X 06 .已知x, y满足条件y x 2x y kk=( )A. - 16B. - 6（k为常数），若目标函数0z= x+ 3y的最大值为8,则D.7 .若函数f (x)A. 31x

3、 （x 2）在x a处取取小值，则 a等于（x 2B. 1.3C. 12D. 48 .已知锐角三角形的边长分别为 1,3, a,则a的取值范围是（A. 8,10B. 2 .2, . 10C, 2.2,10D. '10,8A9 .在 ABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c, cos2-2cABC的形状为A.直角三角形C.等腰直角三角形B.D.等腰三角形或直角三角形 正三角形10.在ABC 中,角A, B, C所对的边分别是a , b , c, A 60 , a 46,A.4,B30或B150B.150C.30D.60已知正项数列2。中，何 J02n(n 1)2(n* . . .

4、- _ .N ),则数列an的通项公式为(A. annB.2annC. anD. an12.数列an中,an 1n1 an2nan的前8项和等于(A. 32二、填空题13 .在 ABC 中,B.36C. 38D. 402 b sin A14 .设数列anx表示不超过内角A, B, C所对的边分别为sinB c b sinC ,则 ABC面积的最大值为n 1,n N 满足现2,a2 6 ,且 an 2 an 1an 1an2,若2019x的最大整数，则ai20192019L a2a2019一，1 215 .已知 a 0,b 0,- a b16 .某公司一年购买某种货物2, a 2b的最小值为60

5、0吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是17 .设 a b 2, b 0,则当 a18 .若等比数列an的各项均为正数，且1 |a|时，取得最小值.2|a| b胡布 a9a12 2e5,则ln a1 ln a2 Llna20 等于.-119.已知数列 an的通项an 方，则其前15项的和等于n 1 n1 420 .设x> 0, y> 0 , x y 4,则一 一的最小值为. x y三、解答题21 .在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知0 A B-4sin 4sin Asin B 2. 2

6、2(1)求角C的大小；(2)已知b 4, ABC的面积为6,求边长c的值.222 .已知数列an的刖n项和Sn3n 8n ,bn是等差数列，且anbnbn1.(i)求数列 bn的通项公式；. (a 1)n 1(II )令g 34-.求数列Cn的前n项和Tn . (bn 2)n23 . D 为 VABC 的边 BC 的中点.AB 2AC 2AD 2.(1)求BC的长；(2)若 ACB的平分线交 AB于E,求SVACE .24 .在 VABC 中，角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,且 73acosC2b J3c cosA(I )求角A的大小；(n )若a 2,求VABC面积的最大值.

7、25 .已知等差数列 an中，2a2 a3 a§ 20 ,且前10项和Sw 100.(1)求数列 an的通项公式；、4,1(2)右bn ,求数列 bn的前n项和Tn.anan 1an 1,n为奇数z*26 .已知数列an满足：a1 二 1,an14/中爪.n N设bna2n1 .2an,n为偶数(1)证明：数列 bn 2为等比数列； 3n (2)求数列的刖n项和Sn.bn+2【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. B解析：B【解析】【分析】由已知条件推导出 3n = b1b2-b n-1,由此利用b10b11=2,根据等比数列的性质能求出a21.an 1an【详解】 数

8、列a n的首项a1=1,数列b n为等比数列，且bnb)= - a2；, 4=' , a3 bbz, 4=,，a4b)b2b3, aia2a3anbbbni,QMbii2,a2i岫2 b2。(bo)(b2b19)(bioDD210 .故选B .【点睛】本题考查数列的第 21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用.2. B解析：B【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为an ,可得an为等差数列，根据已知结合前n项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为an ,9 a aQSn是其前n项和，则S9

9、9a5 85.5尺，2所以 a5 9.5 尺，由题知 a1 a4 a7 3a4 31.5 ,所以a410.5 ,所以公差d a5 a41,所以配 a5 7d 2.5尺。故选：B.【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.3. A解析：A【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列an的性质求解。【详解】5因为 log3a log3a2 log3a3L log3ao = log3 aa2a3L a1o =log3 a1a10 ,又 a4a7a5a6 a1ao ,由ada?a§a618得 a1知 9,所以5一 log3a1 10g3a

10、2 10g3a3L 10g3a10 = log39 =10,故选 a。【点睛】本题考查了对数运算及利用等比数列an的性质，利用等比数列的性质：当m n p q,(m,n, p,q N )时，am an特别地 m n 2k,(m, n, k N )时，am anap aq ,2 ,一.，一 一， 一.、ak ,套用性质得解，运算较大。4. A解析：A利用对数运算，求得Sn,由此解不等式Sn5 ,求得n的最小值.【详解】 anlog 2 工一 Snaia2a3an,2 .log 2 3 log, n10g2 一 nlog,2log 2 ，n 2又因为Sn10g2 31221n 2 32n 62,故

11、使&5成立的正整数n有最小值：63.故选：A.【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题5. A解析：A【解析】【分析】由正弦定理,化简求得 sin B百cosB 0 ,解得再由余弦定理，求得24b a c2,即可求解，得到答案.在ABC中,因为bsin A由正弦定理得sin Bsin A73a cos B 0 ,且 b2V3sin AcosB 0 ，ac ，因为A (0,0,所以 sin B . 3 cos B由余弦定理得2ac cos B a2ac (ac)2 3ac (a c)2 3b2,【解析】 【分析】即 4b2a本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦

12、、余弦定理可以很好地解决三 角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键.通常当涉及两边及其中一边 的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运 用余弦定理求解.6. B解析：B【解析】【分析】【详解】1 zx 0 ,由z= x+3y得y= -x+ -,先作出 的图象，如图所不，12a4 3因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线 2x+y+k= 0,得 k= - 6.7. A解析：A【解析】【分析】1将函数y f x的解析式配凑为f x x 22 ,再利用基本不等式求出该函x 2数的最小

13、值，利用等号成立得出相应的x值，可得出a的值.【详解】2Vx 2 六 211当 x 2时，x 2 0,则 f x x x 2 2x 2x 24 ,a 3,故选A.，1， r ,，一当且仅当x 2 x 2时，即当x 3时，等号成立，因此，x 2【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题 8. B解析：B【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为 1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a的取值范围.【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3

14、或a所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到a2 12 3212 32 a2由于a 0,解得2" a 炳，故选C.【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形, 般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A为锐角 cosA 0； A为直角 cosA 0； A为钝角 cosA 0.9. A解析：A【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择【详解】因为COS2 -c ,所以 2 2c1 cosA b c,ccosA b,sinCcosA sinB

15、 sin A C ,sinAcosC 0,因此 2 2ccosC 0, C 3，选 A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题10. C解析：C【解析】【分析】1将已知代人正弦7E理可信sin B 一，根据a b ,由三角形中大边对大角可得:2B 60 ,即可求得B 30 . 【详解】解：Q A 60 , a 4V3, b 4由正弦定理得：sin Bbsin A 4 sin 60Q a bB 60B 30故选C.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力11. B解析：B【解析】【分析】先求出.an,并求出 百 的值，对 内的值验

16、证是否满足 点 的表达式，可得出数列 an的通项公式.【详解】由题意得.ann(n 1)2n(n-9n,( n 2),又 JO? 1 ,所以2、ann,(n 1)自 n2【点睛】给出Sn与an的递推关系求an,常用思路是：一是利用 an Sn Sn 1, n 2转化为an的递推关系，再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系，先求出 Sn与n之间的关系，再求an .应用关系式anS,n 1Sn Sn1,n2时，一定要注意分n 1,n 2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起12. B解析：B【解析】 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得an1an 1 2n 1 .并将原式两边同时

17、乘以1 n后与变形后的式子相加，即可求得an 2an,即隔项和的形式.进而取n的值，代入即可求解.【详解】由已知an 1n1 an2n 1,得an 21an 1n得an 2 an 12n 1取 n 1,5,9 及 n 2,6,10 ,易得 ai a3a§ a7 2, a? a4 8, a6 as 24,故S8aia?a3a4as 36.故选：B.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中 档题.、填空题13 .【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式 法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理

18、得 因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要解析：、3【解析】【分析】根据正弦定理将2b sin A sin Bc b sinC转化为b c,即 b2 c2 b2 c2 a21bc ,由余弦定理得cosA ,2bc 2再用基本不等式法求得bc 4 ,根据面积公式C1，.S ABC -bcsinA 求解.2根据正弦定理 2 bsin A sin Bb sinC可转化为a b a b c b c,化简得 b2a2 bc由余弦定理得cosA sin A 12cos A22c a 12bc 232因为,22b ca2 bc所以bc 4,当且仅当所以-1，. AS abc- b

19、csinA22bcb c时取""屋 3bc .3则ABC面积的最大值为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14 . 2018【解析】【分析】数歹!J an满足a1 = 2a2=6且(an+2 an+1) ( an+法可得an = n (n+1)利解析：2018【解析】利用等差数列的通项公 .利用裂项求和方法即【分析】数列an满足 a1 = 2, a2= 6,且(an+2 - an+1) - ( an+1 - an) = 2,(n+1)式可得：an+1 - an = 2n+2.再利用累加求和方法可得an= n可得出

20、.【详解】an 2an 1an 1an2,.数列an+1-an为等差数列，首项为 4,公差为2.an+1 an= 4+2 (n-1) = 2n+2.an= ( an an= 2n+2 (n 1)1)+ ( an -1 an+ +2X 2+22)+ + (a2 a1)+aiaia2a20i912019120201 ,202020192019 L2019a?a201920192019 -2020201812020= 2018.故答案为:【点睛】2018.本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法与裂项相消求和方法，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题.15.【解析】【分析】先化简再

21、利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换 . ,一 9 解析：-2【解析】【分析】先化简a2b 1 (a212b) 2 (a212b)(一 a2),再利用基本不等式求最小值 b由题得a12b 一 (a212b) 2 - (a212b)(一 a2)1(5 2a当b 2 b a1 年 0 2a 2b、T(5 2 u )2.ba1 2 c 23当且仅当 a b 即a b 时取等.2a2 2b22.9故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水

22、平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.16 .【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母为正数）定（不等式的另一边必须为定值）等（等号取得解析：30【解析】【详解】600900900 -总费用为4x 6 4（x ）4 2V900 240,当且仅当x ，即x 30时 xxx等号成立.故答案为 30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数卜“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得白条件）的条件才能应用，否

23、则会出现错误.17 .【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归解析：2【解析】-b- 回，再对a分a 0, a 0并结合基本不 4 | a | b【分析】利用a b 2代入所求式子得4|a|等式求最小值.【详解】因为a b 2,|a| a_1所以2|a|又因为b 0, |a| 0,所以上回2_a14|a| b 4|a| b '1I a I15因此当a 0时，的最小值是-15；2|a| b44当a 0时，回的最小值是 1 1 3.2

24、|a| b44_b_工4 a b，1 |a |3故的最小值为工此时 a b 2,即a 2.2|a|b4na 0,故答案为：2. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.18. 50【解析】由题意可得=填50解析：50【解析】5由题思可得a10ali a9a12 e ,10 50lna1 lna2lna20 = ln(aaL 49a20) ln(aiaw)In e 50,填 50.19.【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前 15 项的和【详解】

25、利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前 15项的和为：即:故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解析：3【解析】 【分析】1 将an -j=一产通过分母有理化，化简得出 "7 Jn ,再利用裂项相消法求出前 ,n 1 . n15项的和. 【详解】1n 1 、. n _利用分母有理化得 an -n=一尸 一尸一=-n- Jn 1 Jn , n 1- n % n 1. n 丫 n 1 、n设数列an的前n项的和为Sn,所以前15项的和为:SI5a1a2La15.2 1 、,3 .2 L .15.14 .16.15.16 14 1 3即：§5 3.故答案为

26、：3.【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.20.【解析】【分析】变形之后用基本不等式：求解即可【详解】原式可变形 为：当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基 础题在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等 9解析：94【解析】【分析】、“x y 1 4变形-4 x y【详解】1y 4x 14) 之后用基本不等式：求解即可4x yx y 1 41y 4x-54原式可形为： -1 4 4 x y4x y48当且仅当x ，y 一时取等.33.9故答案为：94【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用，属

27、基础题.在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中芷”即条件要求中字母为正数)、罡”不等式的另一边必须为定值 卜 等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .三、解答题21.(1) ； (2)行.4【解析】【分析】2 A B(1)由一倍角的余弦公式把 4sin 4sin Asin B 2 v2降次，再用两个角的和2的余弦公式求cos(A B),由三角形三内角和定理可求得cosC ,从而求得角C ；(2)根据三角形的面积公式求出边 a ,再由余弦定理求 E边.【详解】试题分析：(1)由已知得 21 cos(A B) 4sin Asin B 2 叵,化简

28、得 2cosAcosB 2sin Asin B 22，故 cos(A B)因为A B C ，所以C =.41 . . -一 ，372，(2)因为 SabsinC ,由 Svabc6,b 4, C=一,所以 a2 4由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC ,所以c JT0.本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题22. (I)=3 制+ l；(n)心=3E 2"试题分析：(1)先由公式anSnSn 1求出数列an的通项公式；进而列方程组求数列bn的首项与公差，得数列bn的通项公式；(2)由(1)可得Cn用错位相减法”求数列cn的前n项和Tn.试题解析：(

29、1)由题意知当n 2时，an SnSn16n 5,当n 1时,a1 S111 ,所以 an设数列bna1 由a?bib211即172bl2bl3d可解得bi4,d3,所以bn3n 1(2)(1)知6nn3n 32n 1，又 Tnc1c2c3Cn,得Tn2 22234 242n 12Tn23244 252n 2,两式作差，得Tn2223242n2n4 2n 14 2 12n 23n 2n 2所以Tn3n2n 2考点1、待定系数法求等差数列的通项公式;2、利用错位相减法”求数列的前n项和.错位相减法”求数列【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用的前n项和，属于难题.错位相减法

30、”求数列的前n项和是重点也是难点，利用错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用 错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积)；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1 q.23. (1) BC 氓(2) 3M 5520【解析】 【分析】(1)由题意知 AB 2, AC AD 1 .设 BD DC m ,在 ADB 与 VADC 中，由余弦定理即可解得 m的值.(2)在4ACE与VBCE中，由正弦定理，角平分线的性质可得AE 殷 Y6 .可求be J6ae , AE 2( J6 1).利用余弦定理可求BE BC 65cos B

31、AC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC的值，利用三角形的面积公式即可计算得解.【详解】解：（1）由题意知 AB 2, AC AD 1 .设 BD DC m.在 VADB 与 VADC 中，由余弦定理得：AB2 AD2 BD2 2AD BDcos ADB, AC2 AD2 DC2 2AD DCcos ADC .即：1 m2 2mcos ADB 4,1 m2 2mcos ADB 1 ._c 3由+，得：m 2所以m ,即BC坛. 2（2）在VACE与VBCE中，由正弦定理得：AEEC BEEC,sin ACE sin EAC sin BCE sin CBEsin CBA由于ACEB

32、CE，且 sin BAC22 12、6142AB AC2 2 1所以蛆股植 BE BC 6 所以 BE V6Ae , 所以AE 2（而1）. 5又 cos BAC222AB2 AC2 BC2所以sin BAC?,1所以 Svace AC AE sin2BAC 1 1 -( .6 1)25202Sn2 20L2n2【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角 形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.24. (I) 6; (n) 2 B 【解析】分析：(1)由正弦定理进行边角互化得J3sinB 2sinBcosA .(2)由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA结合基本不等式进行求解.详解：(I)由正弦定理可得：、,3sinAcosC 2sinBcosA 、, 3si