一元二次重难点题型培优

1、一元二次方程解法、判别式和韦达定理.整数根问题题型一、一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定狡考查点有三个：二次项系数不为O ；最鬲次数为2;整式方程【例1】关于X的方程(a2+)x2+2ax-6 = O是一元二次方程，则的取值范围是()A. tz±lB.“hOC/为任何实数D.不存在【解析】/+1恒大于0【答案】C【巩固】已知关于兀的方程(u-2)x2-ax = x2 是一元二次方程，求的取值范围.【解析】整理方程得：-3)-r + l=0,当“h3时，原方程是一元二次方程.【答案t3【例2】若(m-3)xn2-3nx+3 = Q是关于X的一元二次方程，则加、"的取值范

2、围是()A.In0 X n = 3B？H3、n = 4C.In0 t /? = 4D加H3、z0【答案】B【例3】若严_3严+ 1 = 0是关于X的一元二次方程,求s b的值.【答案】分以下几种悄况考虑：(l)2a + b = 29u-b=2,4 此吋"=,b = -33(2)2a + b = 29u-b= 9此时a = l9b = 0;(3)2d + b = l,a-b=2,此时1 = 1,b = -l【巩固】已知方程2严一严_ab = 0是关于X的一元二次方程，求J b的值.【答案】a + h = 2a+ h = 2"+/?=1 “ < <:解得a-h =

3、2"一 b = 1a-h = 2本题有3种情况:a = 2b = 03"=2b = -23U =厅b = -2题型二：一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。(将根代入方程，这是很多同学撷容易忽略的一个条件)【例4】关于X的一元二次方程G-1)2+-1 = 0的一个根是0,则的值为()A.lB.-lC或一 1D 丄2【答案】B【例5】若加是方程3x2-2x-2 = 0的一个根，那么代数式h2-,h + 1的值为23【解析】Tm 是方程3'-2x-2 = (H勺一个根， 3-2,n-2 = 0 即-,-, =

4、l ,代数式-,-n + l = 2 (像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练)2【答案】2【巩固】若两个方程x2+ca+b = O和疋+加+ “ = 0只有一个公共根，则()A." = bB.u + b = OC.a + b = D.d + Z? = 1【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即町得0. 满足的关系式【答案】设两方程的公共根为I ,则nr +am + b = Qy m2 +bm + a = O®9得，(a-b)m + b-a = 0 , : (a b)m = a b ,解得m = 将 m = M弋入得 a + b+=O ' “

5、+ b = 1 选 D【例6】一元二次方程(< + l) x2-a + u2- = 0的一个根为0,贝IM =。【答案】1题型三：“降次”思想【例7】已知"是方程x2+3x- = 0的一个根，贝M弋数式a3-0a + 2的值为【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解 一元二次方程最根本的思想就是“降次"，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是 “降次“，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：根的 考查；恒等变形【答案】Vn <方程X2+3X-I = 0的一个根+ 3“

6、 一 1 = 0 ,即 / = 1 3". a = a a2 = “(1 3a) = a 3a2 = “ 一 3(1 一 3a) = “ 一 3 + 9“ = 10“ 一 3. / -10" + 2 = (10"-3) 10“+ 2 = -1【巩固】已知加是方程疋-2006卄I= 0的一个根，试求亦-2005加+上工7的值Ur +1【解析】本題方法很多，但基本思路一样【答案】川是方程-2-2006.v+1 = 0的一个根2006(2006加一 1) + 1m mI (2006加一1) + 1 1 =-1 = 2006-1 = 2005 m2 -2006/zz +

7、1=0 ,则=2006/?-1 原式=(2006加一 1) 一 2005W +【例8】已知/_° = 3,求 + 1)0 1)一(“一3)的值.=Cr - a+ 2【答案】解：(o + l)(d-1) (。一3) ='1 + 3【巩固】已知/+加=3,求代数式2(d-l)-(-2)2的值.【答案】解:2d(d-l)-(-2)2 = 2'-2-(Ir-4" + 4) = 2d'-2-'+4-4 -Cr +2<-4【例9】已知q2-2g-2 = 0,T Cr +2 = 3：原式=3-4 = -1求代数式(1-一 )÷ 一的值.a

8、+1 + 2(i +1【答案】原式"+V 一a +1 ( + 2a +1a (a + l )2+Tx 原式=当"2-2-2 = 0 时,Cr =2a + 2a + 2a + 2【巩固】已知2x2+7x-1 = 0求代数式(x+l)(3x-2)-(x-3)2+1的值.【答案】-9题型四：一元二次方程的解法【例10】解关于X的方程：(2x +3)2=(32)2【答案】 =1 , X2 =-1【巩固】解方程：-6 + 9 = (5-2a)2【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解.答案

9、 J .V1 = 2 , =-3【例11】用配方法解下列方程(1)x2-6-4 = 0(2)(y-l)(y + 3) - 5=0 (3)2+l-l = 063 2),-4y = -l (5)2x2-3x-5 = 4-6x答案(1)兀I =5 + 3 , x2=-713÷3; (2)j=-4, y2 = 2 ;、 212 + V2- /、(3) 1 =- , x2=- ; (4)y1 = > 儿=；旺=_3,【例12】用配方法把代数式-4x + 5变形，所得结果是（）A(x-2)'+lB. (x-2)2-9C. (x + 2)2-1D(x + 2)'-5【答案】A

10、【巩固】将方程X2-2X = 1进行配方，可得（）A. (/ + I)? =2 B. (x-2)2 =5C. GV-I)2 =2D. (X-I)2 =1【答案】C【巩固】若把代数式F-2x-3化为（x-02的形式，其中加、R为常数，则m + k =【答案】-3【例13】用公式法解下列方程(02x2+3-1 = 0 3x2=6x-2(3) x(6x +1) + 4x 3 = 2(2x + *)-3-7-l-97X,=- 12【答案】（I）X 土FZ 呼【例14】解关于X的方程：（4-1）2 -3（1 -4x）-4 = 0【解析】换元法【答案】设4v-l = ",则原方程町变形为+3&l

11、t;-4 = 0整理得(" + 4)("-I) = O “ + 4 = 0 或"一1=0 " = -4 或"=1 当 = -4 时，4x 1=4, 'jv = -二4131 t/ = 1 Q寸, 4AB 1 1 , " = "j = , X、=2 4 2【例15】解分式方程：21tl2+±!=7x+1 X2+1【答案】设U则原方程町变形为2/ + - = 7x + U整理得：2-7" + 6 = 0,解得“丄或“ =22经检验得/ = -或“ =2均为方程2 + - = 7的解2U当 u =-时，

12、则 il = -,整理得：22-3 -1 = 02x÷l 2解W呼,/呼经检验，X, =-317 , X2=- 均为原方程的解V- + 1当 t = 2t,则 =2 ,整理得：x2-2x-l = 0x + 1解得：x3=l÷ , x4 = 1-2 经检验，x5 = 1÷2, x4=1-均为原方程的解原方程的解为 Xi = P；丄,X2 =二匕,x3 = + 2 , x=-42【例16】解无理方程（换元法）2x* + 3x - 5y2x2 + 3x + 9 +3 = 0【答案】令竝+3x + 9m ,则 2x2+3x + 9 = a2 , 2x2+3x = a2-9

13、则原方程变形为/一9一5" + 3 = 0,整理得/-5g-6 = 0解得终=一1 , Ci2 =6I 2-2+3a+9 =a0：. a = 6则 J22+3 + 9=6 ,整理得2+3x-27 = 0,解得召=3, & =经检验x1 =3 ,99x2=-均为原方程的解原方程的解为x1=3 , 2 =-【例17】已知关于a的方程(-1)2÷2x-1 = O的根都是整数，那么符合条件的整数"有几个?【解析】对二次项系数进行分类讨论【答案】当G-I=O时，a = ,解得 = l,符合題意要求。当"一1 Ho 时，则 1,整理得(“ 一I)X + “

14、+1 (X 1) = 0解得a;=-, X2=I ,因为原方程的两个根均为整数 -1也为整敎，因此f-l=±l或“一1=±2综上所述，整数的值有5个，分别为一1, 0,1,2,3题型五：根的判别式/) A 4,、"定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 +丄)2= ,显然只有当h2-4ac 0吋，才能直 接开平方得：÷=±也就是说，一元二次方程ax2+bx + c = 0(a0)只有当系数a、b、C满足条件厶= b-4ac 0时才有 实数根.这里/72-4<c叫做一元二次方程根的判别式.b判别式与根的关系在实数范围内 一元二次方程a+加

15、+ e = 0("H0)的根由其系数a、b、(确定，它的根的情况(是 否有实数根)由厶=/一4心确定.设一元二次方程为ax2+bx + c = Q(aO)9其根的判别式为:A=Z-4心則A>0方程心2 +bx + c = 0(a0)有两个不相等的实数根.V12 = h i 4<-AvOO方程ax2+hx + c = 0(u0)没有实数根.【例18】不解方程，判别一元二次方程2F-6x=l的根的情况是(A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确左【答案】A【巩固】若方程(w + 2)x2 -2(m + )x + m = O只有一个实数根，那么方程

16、(m + l)x2-2mx + /n-2 = O ().A.没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定【答案】C【解析】方程(m + 2)-2(m + l)x + m = O只有一个实数根，.m + 2=0,得加=一2.方程("i + l)x' -2nx + /?/- 2 = O ,即为方程一疋 +4 -4 = 0 , = 42 一4x(-I)X (-4) = 0 方程(m + l)x2 一2zru +加一 2 = 0有2个相等的实数根故选C.特别注意方程伽+ I)XI-2(m + l)x + m = 0只有一个实数根若m+20,則方程要么

17、有2个根(相等或不相等)，要么没有实数根.条件指明，该方程只有1个实数根，所以h + 2 = 0,且w + l0【例19】如果关于X的一元二次方程kx2-6x + 9 = 0有两个不相等的实数根，那么代的取值范围是()A k<l B. Jt C jI<1J30 D k>【答案】C3 = 36 - 36k >0【解析】由题可得“0,所以<11O【巩固】若关于X的二次方程(m-)x2+2mx + m-2 = 0有两个不相等的实数根，则加的取值范围是【解析】注意二次项系数不为02【答案】m > 且H13【例20】关于X的一元二次方程-3x + h = 0有两个不相

18、等的实数根，则实数川的取值范用为9【答案】m<-4【巩固】若关于X的一元二次方程A -2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k范朗是 【答案】£>一1且k0【例21】关于X的一元二次方程(1-2約十-2T-1 = O有两个不相等的实数根，求k的取值范用解得T2且嗨【答案】心<2且叫4 + l) + 4(l-2)>0 【解析】由题意，得u + o1一2"0B【例22】当川为何值时，关于兀的方程On2 -4)x2+2(加+ l)x + l= 0有实根【解析】题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分nr -4 =0和-40两种 情形讨

19、论.当肿_4 =O即m = ±2时，2(m + l)0,方程为一元一次方程，总有实根：当 r-40即m±2 Btf 方程有根的条件是： = 2(n +1)1' 一4(一4) = Sm + 2O>0,解得 m - , /.当 m -?且 In ±2 时，方程有实根.L J 2 2综上所述：当n-时，方程有实根.2【答案n-2【例23】已知关于X的方程-(t + 7)A-l(r-2b + l) = 0有两个相等的实数根，且“、方为实数，贝U + 2? =【解析】TF -(" + b)才一+(，一功+ 1) = 0有两个相等的实数根. = O,即

20、(“ + /?)'+2(戻一2b + l) = 0( + "+2(b-1)，=0, a+b = O9 b-l=0. b = 9 6/ = -1,因止匕 3" + 27? = 1 【答案】-1例24】当U > b为何值时，方程X2 ÷2(1 +)x + 3' ÷ 4ab ÷ 4/?2 +2 = 0有实根？【解析】要使关于X的一元二次方程/+2(l + )x + 3'+4" + 4戻+2 = 0有实根，則必有 0,即4(1 + “)' -4(3 +4ab + 4lr +2)三0 ,得(“ + 对 +

21、(“ -0.又因为(d + %)'+(-l)'M0,所以( + 2b)'+(Q - I)'=。，得 “ =1, ZJ = -I .题型六：韦达定理【例25】若关于X的一元二次方程的两个根为召=1，x2=2,则这个方程是()A x2 + 3x-2 = 0B. x2 -3 + 2 = 0C. x2-2x + 3 = 0 D x2 +3x + 2 = 0【答案】B【巩固】已知加皿是方程X2-A-I= 0的两实数根，则丄+丄的值【答案】一1IU H【例26】方程X2-(/,7 + 6) +M2= O有两个相等的实数根，且满足X1+x2 =X1X2,则加的值是.【答案】-

22、2【例27】设方程4-7x-3 = 0的两个根为X2,不解方程求下列各式的值:(I)(Xl -3)(x2 -3):【答案】亠一+亠-XI +1 X2 +173由韦达定理得 + X2 = - , Xl X2 =-I 兀十 X _ 吃(入2+l) + x(X+1)_ (! +AT2)2 -21x2 +(xl +a2) _ 101 Xl +1*2 +1 (Xl + l)(x2 +1)X1X2 + j + X2 + 13273971 (3)(Xl -X2)2 =(Al +x2)2 -4xix2 =(-)2 -4x(-) = , ： xl-x2 =±-97【解析】不解方程，即利用韦达定理将xi

23、+2. xi2的整体构送出来【例28】已知&、0是方程+5x + 2 = O的两根，求酱+岛的值.【解析】注意, 0均为负敎，很多学生求出的结呆均为负值【答案】2=E + 2 + ±=+0'+2 妙一 (a + ©)' _25 a aa 2由韦达定理叮得， + 0 = -5, «/7 = 2【例29】若方程疋+ " + 1 = 0的一个根为l-2.则它的另一根等于,"等于【解析】部分学生喜欢x = I-2代入原方程，求”的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。LX, ÷(l-2) = -pLL【答案】设方程

24、的另一根为X” 根据题意得_,解得X. =-2-l , P = 22x,-(l-2) = l【例30】设西、勺是方程a2-2( + 1)x + 2+2 = 0的两个不同的实根，K(A1+1)(a-2+1) = 8,贝U的值 是.a; +x, =2(R + 1)【答案】由韦达定理得厂 r ，V (xi+1)(x2 + 1) = 8 ai x.+x1+,+1 = 8XA X. = K" +2即 2+2 + 2 + l) + l = 8,整理得疋+4 - 3 = 0,解得=-3 或 R = IF>0, = 1【例31】已知方程组k + x-2=o (兀为未知数)kx-y-k = O

25、(2)求证：不论斤为何实数，方程组总有两个不同的实数解ff设方程组的两个不同的实数解为v = Xl和二，求lit： (axJ2+(>-yj2是一个常数 y = Vl y = y2【解析】代入消元【答案】由得，y = kx-k®, 恠代入得，x2+(k,x-k)2-2x = O整理得,(k2 + )x2 - 2(k2 + )x+ k2 =O/ = 4伙2+ I)，-伙'+l)r4W+l)>0, 无论E为何实数，方程组总有两个不同的实数解/. yl =kx、_k、y2 =k2-kJ方程组的两个不同的实数解为<X=X，和二®Iy = >i Iy =

26、 >2x1 + x2 =2由韦达定理町得，: (x -X2)2 +(yl ->2)2 =(A -2xix2 +x22) + (x1 -k)-(kx2 -A:)2 =(F +l)(xl +x2)2 -4x1x2=(+1).(4-4×-i) = 4【例32】已知关于的方程x2-2nx + 3m = O的两个实根是召、"且(x1 - X2)2 = 16 o如果关于X的另一 个方程-2,zu +6n-9 = 0的两个实数根都在舛、心之间，求川的值【答案】解：T召、心是方程的两个实數根,e Xl +x2 = 2m , xl x2 = 3m又 V (Xl -X2)2 = 1

27、6：(XI +x2)2 -4xlx2 =16 > : 4m2 -12w = 16 ,解得加=一1、m2 =4当加=一1吋，方程为x2+2-3 = 0 ,解得i=-3, x2=1 ;方程为x2+2x-15 = 0 解得x = _5或 = 3,而一 5、3两数均不在一3与1之间，m = -1不符合题意，舍去 当加=4时，方程为x2-8a+12 = 0,解得x1 = 2 , X2 =6 ,方程为-2-8x + 15 = 0 解得x = 3或x = 5,由-f 2<3<5<6, 方程的两根和在方程的两个根之间， HI = 4 综合得J的值聂4【解析】韦达定理的应用与分类讨论的思

28、想作业3若一元二次方程(/H-Dx2 -5n2 -5/nx÷,n-l = O有两个相等的实数根，则匸 【答案】m4作业4已知小 兀是方程2-3x-4 = 0的两个根，不解方程，求主的值x【解析】韦达定理的应用【答案】根据题意得，x1 + x2 = 3 , xl x2 = -4 x2 xl _ x12 + x22 _ (Xl + x2 )2 - 2xlx2 _ 9 + 8 _ 17XI x2 x1x2xx244令乞=k、则k + - = ,整理得4疋+17R + 4 = 0Xlk 41X1解之得Zr1 =-4,匕=一一，：二的值为Y或一一4 ai4作业5.已知 x2+5÷4=

29、0.求代数式(2a-1)(- + 1)-(-2)2-2 的值.【答案】解：(2- 1)(- +1)-(x-2)2 -2 = 22 +1v-x-1 -(x2-4j + 4)-2 = 22 + x-1 -x2 +4x-4-2= +5x-7 .当 x2+5x+4=0时，原式=4一7 = 11.7 作业6已知加是方程x2-x-2 = 0的一个实数根，求代数式(加-加)(加-二+ 1)的值 m【答案* m 是方程 x'-x-2 = 0 的一个根, m2-m 2 = 0 m2 -m = 2 9 nr= m. 原式=(一加)( +1) = 2×(- + 1) =2×2=4mIn作

30、业7.已知“、b、C是三角形的三边长，求证：b2x2+(b2+c2-a2)x + c2=0没有实数根【答案】 = (Z>2+c2-)2- 4b2c2 = (2 +c2-a2 + 2bc)(b2 +c2-a2- 2bc)= (b + c)2 -a2(h-c)2 - a2 =(b + c + a)(b + c-a)(b-c-a)(b-c + a)/ a X b、C 是三角形三边长° (h + c + a)(b + c a)(b-C-a)(b-c + a)<0方程b2x2 + (r +c2 -)x + c2 =0没有实数根作业8.已知加、“是一元二次方程-3a + 1 = 0的

31、两根，那么代数式2+-6 + 1999值为【答案】原式=2(m2 + n2) + 2(n2 一 3n) + 1999 = 2(m + n)2 一 2mn + 2(n2-3n) +1999 = 2011作业9.在斜边为10 RtMBC中，ZC = 90o,两直角边b是方程x2-nx + 3m + 6 = 0的两个根，求加值【答案】由勾股定理得/+F=IOO又/ a > b 是方程十nix + 3m + 6 = 0 的两个根' a + b = n , Ub = 3n + 6 Cr + b2 = (U + b)2 一 2ah = m2 一 2(3加 + 6) = 100 ,整理得M _

32、6m-112 = 0解得加=14或m = 8 *. a >0 > h>0 ' m>O' ？ = 14作业10.若关于X的方程2 -2(“-I)X-(b + 2)2 =O有两个相等实根求d,998 +/的值；求作以Q、为根的一元二次方程【答案】(I)T关于兀的方x2-l)x-0 + 2)2= O有两个相茅实根 = 4(“ 一 1)2 + 4(b + 2)2=0. = l , b = 2 N998 + = 1-8 = -7(2)由题意得(-)(-b) = o,将“ =1, b = -2代入整理得，x2+x-2 = 0作业11已知片，是关于X的一元二次方程t2

33、-2(h + 1) x+m2+5 = 0的两实数根.(1) 若 CVl l)(x2 1) = 28,求 的值；(2) 已知等腰A8C的一边长为7,若旺，厂恰好是A3C另外两边的边长，求这个三角形周长.【答案】解:(1) .X,吃是关于X的一元二次方程2-2( + l) x+2+5 = 0的两实数根， x1 +x2 = 2(+ 1) , Xl ?x2 =m2 +5 , (Xj 1)(,7 I) = Xl ?不一Ct + ) +1 = 广 + 5 2( ? +1) +1 = 28 ,解得：Hl = 4或? = 6：当HJ = -4吋原方程无解， In = 6:(2)当7为底边时，此时方程2-2(w

34、7÷l) + n2+5 = 0有两个相等的实数根， =4(m+D2 -4(n2 +5) = 0 ,解得:In = 2 ,方程变为x2-6x + 9 = 0,解得：-Vl=X2 = 3 , V 3+3 <7, 不能构成三角形；当7为腰时，设X1 =7,代入方程得：49-14( + 1) + 72+5 = 0,解得：加=IO或4,当In = 10吋方程变为x2-22 + 105 = 0,解得：X = I或15T7+7V15,不能组成三角形；当加=4时方程变为2-10x + 21 = 0,解得：兀=3或7, 此吋三角形的周长为7+7+3=17.题型七：有理数根问题方程cx2+bx +

35、 c = O (t0, “、b、C均为有理数)的根为有理数的条件是：矩为有理数131【例1】已知关于X的一元二次方程丄F+皿-伙+ 1)决-/-二代+丄=0有有理根，求k的值。44 4【答案】原方程的根为有理根13131 = nr -4×-×-(k + )rn-k2 -二«+ = m2 + 伙 + l)w + 2 + 二£ + 44444所以为完全平方式，因此整理得3k+=0,解得k=0或2443【例2】加为给泄的有理数，k为何值时，方程+4(l-H)A÷3,n2-2H÷4Zf = 0的根为有理数？【解析】V = 4(l-)2 -4(

36、 W 一 2w + M) = 22 (m2 一 6？ 一 4« + 4)要使得方程十+4(1-i) + 3"F - 2】 + 4k =0的根为有理数，须m2 - 6m -4/:+4为完全平方式,故关于m的方程m2 -6/7/-4Jt + 4 = 0的判别式为0 .即上=(_6_4(-4£ + 4)= 0 , .k= ,4当k=2时，原方程的根为有理根.4题型八：整数根问題【例3】已知12<,n<40,且关于兀的二次方程2-2(n + l) + = 0有两个整数根，求整数加.【解析】由原方程由整数解可知，A = 4伽+ 1)2-4/=4(2加+ 1)必然

37、是一个完全平方数.又 12</?<40可知，25<2tn +1 <81,又 2r +1 为奇数，故 2zz +1 =49=> = 24 .此时原方程的两个实数根为:2(n + l)± 50±14 Z= 2 22不妨设 x1 > X2,则 xl = 32 , X2 =18 故川=24满足为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引担注意.【答案】匸24【巩固】一直角三角形的两宜角边长均为整数，且满足方程疋-(加+ 2)x + 4加=0,试求加的值及此直角三角形的三边长【答案】由题意得， = w2 12m+ 4.*(加+ 2)&

38、#177;wTH该方程的根均为整数z-12m + 4必为平方数，令m2-2m+4 = n2 ("为正整数)整理得(加一6)2 -n2 = 32 , ： (W-6 + n)(m-6-n) = 32 m 6+n与m_6_H同奇同偶或加一 6 + = 8加一 6 = 4»m = 14加=15当仁7时,方程宀伽+ 2*4”Ao为-17x+60 = 0,解得"5或E2直角三角形斜边为13/? = 12 = 2时,方程 X，(“? + 2) + 4m = 0 为 X2 -14 +48 = 0 ,解彳寻 x = 6 或 x = 8 9直角三角形斜边为10【例4】若关于X的方程(

39、6 7)(9-灯/-(117-15約尤+ 54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有个.【解析】当代=6时，彳寻x = 2:当k=9时，彳寻 = -3,当&工9日寸，解得Xl= -, X,=-,6_k-9_k当 6-k=±l,±3,±9 时，旺是整数，这吋 k = 7,5,3,15-3;当 9-k=±l,±2,±3,±6 时，心是整数这时代= 10, 8,11,7,12,15,3综上所述，k =3, 6,7,9,15时原方程的解为整数.【巩固】若斤为正整数，且关于k的方程(疋-1)/-6(3£-1口

40、 + 72 = 0有两个相异正整数根，求R的值.【解析】原方程变形、因式分解为伙+ 1)伙一l)x2 -6(3-l)x + 72 = 0,伙+ l)x-12(k-l) -6 = 0 即召=,X,=k + 1 k -1由为正整数得k=X 2, 3, 5,11 ;由上为正整数得R = 2. 3, 4. 7 k+1k-所以k=2,3使得- "同时为正整数，但当 = 30寸，xi=-2=3,不符，只有k = 2为所求.【例5】已知关于X的方程x2+-6)x + < = 0的两根都是整数，求的值.【解析】本题的难点在于d并不是整数，如果在釆用求根公式，然后讨论是否为完全平方数，难度不小,

41、因此本題采用韦达定理来求解【答案】设方程-V2 + (U - 6) + a = 0的两个根为根据题意得N+心=6-甥，将代入，整理得1+=6-16-x27 I. X = =一 1l + x2 1 + 2I舛、兀均为整数. x2 +1的值为±1或±7当七 +1 = 1 时，X2 = O , A1 = 6 , U = O当 x2 +1 =1 时，x2 = 2 , x1 = 8 , U = 16当 x2 +1 = 7 , x2 = 6 , A1=O, “ = 0当 x2 +1 = 7 时， = -8 , Xx = 2 , “ = 16综上所述，"=0 或 = 16【巩固

42、】已知关于X的方程F+(" -6)x + "=0的两根都是整数，求的值.【解析】设两个根为xl-2,由韦达定理得x1 + X2 = 6 - ' x1 +I = -I a +1 = 一 7X1JT2 = U, + = 7 从上面两式中消去得JlX +x +x =6 O (X + 1)( +1) = 7 O或<1x2 +1 = 1T= 6Y 一2即I 或 所以t/ = x.x, =0 16X. =0 X. =-8I-J点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于看，"的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.【答案】0或16【例6】已知关

43、于X的一元二次方程 +(/n + 3)x + n + l = 0.(1) 求证：无论加取何值，原方程总有两个不相等的实数根：(2) 当加为何整数时，原方程的根也是整数.【答案】(IH正明：二(n + 3)' 4(,H +1) = /?r + 6m + 9 4/? 4 = m2 + 2m + 5 = (/ +1)2 + 4 / (n + l)2 0,' On+ I)2 ÷4>0.无论加取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根.(2) 解关于X的一元二次方程疋+ (加+ 3)x +加+ 1 = 0 ,得要使原方程的根是整数，必须使得(AH+ D2+ 4是完全平方数.

44、3殳(m +1)2 +4 = a19 则(“ + m + )(a-m-1) = 4./ " + ? + 1和"一加1的奇偶性相同,可得“ + 加 +1 = 2.a+ m + = 一 2 "一？ 一 1 = 一2解得S将匸一 1代入* l3±J(宀厅+4 ,得Xl =-2,x2 = O符合题意.当/H = -I时，原方程的根是整数.题型九：一元二次方程的应用【例7】某个体户以50000元资金经商，在第一年中获得一泄的利润，已知这50000元资金加上第一年利润在第二年共获利润2612.5元，而且第二年的利润率比第一年多0.5%,则第一年利润是多少元？ 【答案

45、】设第一年的利润为X元，根据题意得(50000 + a)-( + 0.5%) = 2612.550000解得Xl = 2250 , 2 = -52500 (舍)答：第一年的利润为2250元【巩固】某商品两次价格下调后，单价从5元变成4.05元，则平均每次调价的百分率为()A. 9%B. 10%C. 11%D. 12%【答案】B【例8】两个农妇一共带100个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对 第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板。”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋 2如果换给我，我就只能卖得个铜板。”试问，这两个农妇各有多少个鸡蛋？【答案】解：设第一个

46、农妇有X个鸡蛋，则第二个农妇有(IOO-X)个鸡蛋，根据题意得，第一个农妇卖鸡蛋得到X个铜板第二个农妇卖癌蛋得到-(1-X)个铜板一 ，. x2+160x-80 = 0,40, x2 =-200 (舍)【例9】一个六位自然数,把它的左端的第一个数字移到它的右端所得到的新的六位数是原六位数的3倍, 求原六位数【答案】设原六位数的左端的第一个数字为X ,后五位数为y,则原数为X-IOS + y ,新六位数为>-10 + -根摇题意，y lO÷x = 3( 105 + y) , .y = 42857x/. 104y<10 而 19, x 只能取 1 或 2,当 X = I 时，

47、y = 42857;当 x = 2 时，y = 85714 答：原六位數为142857或285714【解析】题中要移动的仅是原六位數左端的第一个数字，其余不动，所以我们应该把六位数分为两部分， 即左端第一位为一部分，其余为第二部分，并分别设出这两部分【例10】现有男、女工IlOO人，英中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作，若将男工人和女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，让全体女工去做需36天才能完成，问男、女工各有多少人？【答案】解法一：设另工人X人，则女工人为(IlOo-X)人；有设全体男工人和全体女工人各用y天完成此项工作，則男工人每天完成工作的丄，而女工人毎天完成

48、工作的!；交换人救后，全 AT(1 IOO-X)V体另工人每天完成工作的HOo一人 全体女工人毎天完成工作的-(IlOO-X)J25 HOOzI = _X36(1100-x)y 36宀25(1 Ioo-X)2 ,即 X2 =(11OO-x)236 X = ?(IloO-A)或X = -I(IlOO-X)(舍去)6 6x = 500> IlOO-=6(X) 答：男工人有500人，女工人有600人 方法二：设男工人有X人，女工人则有(IlOO-X)人，又设同一工作男工人需做y天，女工人需做Z天，这样，一个男工人，一个女工人一天各完成全部工作的丄，Z _11OO-Xy XZ _36x亍一 25

49、(1100 - a)V ZIx=I(Iioo-X)>, Z丄(IIOO-X) 25 = l.v.36yZIloO-X _36x25(1100 - X)【例11】某电厂规左，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这戸居民只需 交10元电费，如果第一个月的用电量超过A度，则这个月除了仍要交10元电费外，超过部分还A要按每度佥元缴费该厂某户居民2月份用电90度，超过规立的A度，则超过部分应交电费元（用A表示）下表是这户居民3月份、4月份的用电情况和缴费情况：月份用电量（度）交电费总数（元）3月80254月4510根拯上表的数据，求电厂规左的A度为多少A【答案】仕）由于90

50、>A,所以该户居民2月份超过部分应缴电饬（90-A）元100（2）从表中町知，3月份缴电费25元，超过10元，所以町以知道3月份用电超过A度；而4月份交 A电费10元，町知4月份用电未超过A度3月应缴费10 + -（80-A） = 25整理得2-80 + 15 = 0、解得A = 30或A = 50 T 4月份用电未超过A度，所以45A /. = 50【例12】甲、乙两人分别从A、B两地到C地，甲从A地到C地需3个小时，乙从3地到C地需2小时40分。已知A、C两地之间距离比3、C两地间的距离远10千米，每行1千米，甲比乙少用10分钟。求人、C两地间的距离假设AC、BC、AB这三条道路为直

51、的，试判断A、B两地之间距离的取值范囤【答案】（1）设A、C两地间的距离为X千米，则3、C两地的距离为（X-IO）千米，甲从A到C每行1千米2 2-3 2需时二小时，乙从3到C每行1千米需吋一 小时x-1032|1根据题意得：-= 一，化简为疋一张一180 = 0 X-IO 6解得召=18, x2=-10 （不符合题意，舍去）即A、C两地之间的距离为18千米 AC = I8千米，BC = S千米由三角形三边之间的关系町得AC-BC<AB<AC+BC 即 18-8<AB<18 + 8 A 10<AB<26 即 10 千米 V d<26 千米例13】200

52、3年比2002年又上升10% ,而2004年和25年连续两年比上一年降低10% ,那么2(X)5年 的营业额比2001年的营业额()A.降低了 2%B.没有变化C.上升了 2%D.降低了 1.99%【解析】注意题目矣求，还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额”【答案】设2001年的营业额为元，则2002年的营业额为1.1“元，2003年的营业额1.21“元，所以2005年 的营业额为 1.2 k/ ×(1-10%)2 = 0.980 L/因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了 'z°,98°k/ × 100% = 1.99%所以选择DU作业1 当/ = 2或f=4秒时，APBQ的而积等于8 C肿某市1"8年年底人口 20万，人均住房而积为9平 方米，计划在1999年，2000年两年内平均增加人口 I万人，为了使2000年底人均住房而积达10平方 米，问该市两年内住房平均增长率必须达到百分之几？(I3u3162, TT3.317)【答案】设该市两年内住房平均年增长率为. 则20×9×(l + x)2 =10x(20 + 2)彳匕简得9F+18-2 = 0解得入=卫1一1,禺=