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1、5. 1 二次根式专题一二次根式有意义的条件1.在实数范围内,代数式I I (X 4)2的值为()B.C.D .以上都不对2 .代数式 X . X 1 X 2的最小值是B.1 、2C.D .不存在3 如果 y 、2x 3、3 2x 2 ,那么2x求a+b的平方根.4若a.b为实数,且专题二二次根式的性质的应用5. 如果数轴上表示数 a的点在原点的左边,那么化简2a *a2的结果是()A. aB.3aC. aD. 3a6. 如图,若a,且a 1,数a对应数轴上M,N, P , Q四个点中的一个,那么这a个点是.MNPQ*I«_I*_I*> 0 17 .计算:.1999 2000

2、2001 2002 1.&已知等式a 2011 Ja 2012 a成立,求a 20112的值.专题三与二次根式有关的规律探究题9 将1. 2. 3. .6按如图方式排列L第排挖3JbL2餌3捽73517制排5 再 LQ * -f |1 B f « f t f若规定(m, n)表示第m排从左到右第n个数,则(4, 2)与(21, 2)的两数之积是()A. 1B. 2C. 2 . 3D.610.观察下列各算式: .2 4 6 8 16 , (2一8)2、花 16 4 20 ; -4一6一8一10一16, (4 10)2、1640 4 44; .6 8 10 12 166 12)2

3、 、花 72 4 76; 卫10一12一14一16, (8 14)2、16112 4 116 (1)根据以上规律计算:.2006 2008 2010 201216 (注意计算技巧哦!)(2)请你猜想:,2(2 2)(2n 4)(2n 6) 16的结果(用含n的式子表示)11阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2 2= (1+ 2 ) 2,善于思考的小明进行了以下探索:设a+b 2 = (m+n - 2 )2 2 2" 22(其中 a.b.m.n 均为正整数),则有 a+b 2 = m +2n +2 mn 2 ,' a= m +2

4、 n , b=2 mn.这样小明就找到了一种把部分a+b2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a.b.m.n均为正整数时,若a+b . 3 = (m+n . 3 ) 2,用含m.n的式子分别表示 a.b,得:a=, b= ;(2)禾U用所探索的结论,找一组正整数a.bmn填空: + .3=( +3 ) 2;(3)若 a+4 、3 :=(m+n3 ) 2,且a.m.n均为正整数,求a的值状元笔记【知识要点】1二次根式的概念:形如 、a(a 0)的式子叫做二次根式a (a 0)a(a 0)2二次根式的性质:(1)Ta(a 0)是一个非负数;(2)(Ja)2 a(a

5、 0). (3) JO2 a【温馨提示】1. ;a(a 0)的双非负性在解题过程中要善加利用解题过程中,不要只有其一,忘记其二.2. 数学中的三个非负数是常用的考点绝对值平方二次根式三个非负数的和若等于0,则每个数都等于0.3. , a2 a(a 0).【方法技巧】1 二次根式的定义中被开方数大于等于0是解题的关键2 .题目中如果出现一个方程两个未知数,求未知数的值时,常常构造几个非负数的和等于0的形式3 被开方数较大的二次根式的化简时,常利用换元法简化计算参考答案:1. C 解析:由二次根式的定义可知:(X 4)220 ,又因为 (X 4)20,所以(X 4)20 ,所以 J (X 4)2.

6、 B 解析:由二次根式定义可知:0 ,解得X02 ,当X 2 时,. X . X 1的值最小,最小值是.2、2 2/21,故选B.3.5解析:由题意得:2x 33 2x0 ,解得X0I ,所以2 ,所以2x y 5因为. 4 a22,bJa b . 95. A 解析:由题意知a 0,所以2a a2a1 a6. M 解析:由.a2a得a 0,又a所以aa ,故选A.所以a对应的数是点M.7.解:设 2000 a ,则原式=.,(a 1) a (a 1) (a 2) 1(1)a(1)a2) 1=, (a 1)a 2)a(a 1) 1. (a2 a)2 2(a2 a) 1I (a2 a 1)2a2a

7、 1 .又因为20 ,所以原式=a a 1200022000 14001999 .8. 解:由题意得a-20120 原等式变形为a 2011 a 2012 a.整理得-a 2012 2011.两边平方得 a 2012 20112 a 20112=2012.9. D解析:从图示中知道,(4,2)所表示的数是6.前20排共有1+2+3+4+ +20=210个数,( 21, 2)表示的是第210+2=212个数二这些数字按照12 3 V6的顺序循环出现,212÷ 4=53,( 21, 2)表示的数是v6 .( 4 , 2)与(21 , 2)表示的两数之积是v6 /66.10.解:(1)原式

8、=(2006 2012)2,16 2006 2012 4 4036076.(2)原式=.2n (2n 6) 22n (2n 6)4 4n2 12n 4.2 211.解:(1) m +3 n2mn(2) 4211 (答案不唯一)(3) 根据题意得,a m2 3n2,4 2mn2mn=4,且m.n为正整数, m=2 , n=1 或 m=1 , n=2. a=13 或 7.5.2二次根式的乘法和除法专题一二次根式的乘除运算1 计算 ,21)2°13(J21)2014 的结果是()A. 1B. 12.设 a<b<0 ,a2 b2 4ab ,则 aaA.、3B. . 3C. .21

9、D. ,2 1b的值为()3 .已知a 0,b0 ,化简a . ab的值.-X ,且X为偶数,求X 6x22-1,X2 15先化简说 J代(X 2),然后选择一个合适的X的值代入求值.专题二二次根式的化简6. 把 a b J化成最简二次根式正确的结果是() a bA.- b aB.a bC.a bD.b a()7 .若 n 12010220112 ,则.2n 1 =A. 2011B. 20108计算 2 3 2;2.17 12.2 等于C. 4022D. 4021( )A. 5 4 2B. 4、2 1C. 5D. 19 .已知m=2011.2012,求m512m432011m的值.10.阅读下

10、面的材料,解答后面给出的问题两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如 、a与' a, X 21与-、21.(1)请你再写出两个二次根式,使它们互为有理化因式:这样,化简一个分母含有二次根式的式子时,采用分子方法就可以了,例如:分母同乘以分母的有理化因式的22362.2(3 、3)、3,3 33 33(3. 3)(3. 3)(2)请仿照上面给出的方法化简下列各式:3 2 2; 1 b (b 1);3 2 21 b(3)化简时,甲的解法是:3( 5. 2)(、.5. 2)(. 5. 2)'.52,乙的解法是:3,52(.5

11、一 2)(. 5. 2)5 252,以下判断正确的是(A .甲的解法正确,乙的解法不正确C.甲乙的解法都正确B.甲的解法不正确,乙的解法正确D .甲乙的解法都不正确11:ZZ(4)已知a Ib 1则.a2 b27的值为()5252A. 5B. 6C. 3D. 4状元笔记【知识要点】1 .二次根式乘法:.a、. b ab(a 0,b 0),反过来 ab . a . b (a 0,b 0)也成立IaJaVaIa2二次根式的除法: Tb (a ,b 0),反过来& (a °,b °)也成立3 .最简二次根式:(1)被开方数不含分母.(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因

12、式【温馨提示】1二次根式的乘法公式中,被开方数大于等于0,记忆公式一定要连同符号一起.2二次根式的除法公式中,分子的被开方数大于等于0 ,分母的被开方数大于 03 化简后的结果中被开方数中不含分数或者小数【方法技巧】1 将二次根式括号外面的数移入括号内时,一定注意将括号外的数先转化为正数2 如果分母中含有二次根式时,将二次根式进行化简的三种类型:1bTb ;1Ja Vba Vb ;、b b Vb b . a . b . a . b . a . b a b1a 、ba . ba , b (a , b)(a 、b) a2 b参考答案:解析:2013(2 1) 、.2 1.解析:由 a2 b2 4a

13、b 得(a b)22ab,( a2b) 6ab ,又因为 a<b<0 ,所以a、2ab,a b.6ab ,所以、;6ab<2ab、.3 ,故选B.3. a ab解析:因为a0,b0 ,所以a abab ba a a baa, ab.ab-<ab.b b babbab4.解:由题意得X 060 ,即9 I X为偶数,. X 82X 2x 1X21=近=396 6 X(X 1)'.(X 1)(x 1)5.解:原式=倚代_=I =、X2 2x. X 2 , X(X 2)2X当X =5时,原式= 5 .解析:由题意得a b所以(ab (; b)27. D解析:由n 12

14、010220112 得 2n1 2(20102 20112) 122010220112 20102011 22010 2011 2010(20112010) 22010 22011 22 2010 2011 1所以.2n1 201120104021 ,故选D.2 3 22& D解析:(2011220112010) 2 ,.17 12 2 2 2 2 2 19 12 2 8 2 C 2 1丫 .(3 2 2)23 2.22( .2 1) 3 2&2.2 2 3 221 ,故选 D.9.解:m=2011.2qT2 1竺1(兀)莎1.(”2012 1)(,2012 1)当 m= 20

15、121 时,原式=m52m4 2011m3 m3(m2 2m 2011) m3(m2 2m 11 2011)=m3 (m1)2 2012 = m3 C. 20121 1)2 2012 = m3 G 2012)2 2012 =0.10.解:(1)化为有理化因式的二次根式为.5、2与5. 2 ,答案不唯一.(2) 33(3 2.2)22 22 2(3 2、2)(3 2 2)(Ib)(Ib) 1 b;17 12 12;(3)甲将分子分母中同乘以分母的有理化因式,正确,乙将分子分解因式,再约分,正确,这两种方法都适合于二次根式的化简,故选C.52(,52)(、52)b2(.52)2( 52)21、52

16、18则.a2 b27.52,b.52G 52)( . 52)52'.18 75故选 A.5. 3 二次根式的加法和减法专题一二次根式的混合运算1. 已知a .2 1 , b 2、2.6 , C .6 2 ,那么a.b.c的大小关系是()A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b22. 规定“早”和“父”分别是一种新的运算符号,a早b = a 2b , a b = ab b ,例如:3早5=32 2× 5=7, 3 5= 3× 5-5 = 10,那么(早 2) 4 = .3. 计算:G.3 2)2(

17、、3. 2)2(、5.6)2008C.5, 6)2009.专题二利用二次根式的混合运算求代数式的值4. 已知a 鼻,则2a 1的值为()2 3A.3 1B. 1.3C. 2.3D. 1 -1 35. 已知m 1、2 , n 1、2 ,求代数式.m2 n2 3mn的值.6.若a, b为实数,且b15 ,试求Y aJ a 2的值.7 .计算:1 121 r 23 2 2、31100 99 96 100专题三利用二次根式的运算进行计算或者证明8.若 X 3 ,则 X2XX .9 .已知 a, b, C ABC 的三边长,且有( a -、b -.C)23(. ab . ac . bc).试说明厶ABC

18、是等边三角形10.观察下列各式及验证过程:2 3 23验证:2 3 /3 .232鳥1)验证:22.1(11)的变形结果;4 5 61 .二次根式的混合运算常用到两个乘法公式(a b)(a b) a2 b2 ;(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路,猜想(2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n2的自然数)表示的等式,并进行验证状元笔记【知识要点】二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行加减【温馨提示】a b 2 a2 2ab b2.2 .两个最简二次根式,如果被开方数不同,则不可以合并【方法技巧】1.对新定义运算的题目,通常新定义符号的运算按照

19、指定的运算法则进行,没指定的运算则按照原有的运算法则运行,即通常所说的“一题两制”2.两个实数的大小比较,还可以采用倒数法平方法等.3 .式子(X 1)2X2 Jr (X -)2X ;XX2 2 A; (X -)XX(X -)24在解题中X常用到.参考答案:1 B解析:1 .2 12、2 2112,21 1 6 2> D A)十 I 丿 I a12b2、2.62C,622显然,a .b.e均大于0,F11又一-,所以a b,又11,所以ae ,所以ba e.a baC2 8解析斤:/'3早2= 1 ,(3早2) 4= ( 1) 4= 14 48.3.解:原式=5 2.6(5 2,6) (、5、6)2008(、5j6)

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