连续函数的运算与初等函数的课件

1、1第九节第九节 连续函数的运算与初等函数连续函数的运算与初等函数的连续性的连续性教学内容教学内容 1 四则运算的连续性四则运算的连续性 2 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性 3 初等函数的连续性初等函数的连续性教学重点教学重点 初等函数的连续性初等函数的连续性本节要求本节要求 了解连续函数的性质和初等函数的连续性了解连续函数的性质和初等函数的连续性第一章 第九节2一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例

2、如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx第一章 第九节3二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. 1,2 yxxyf xIxfyIy yf x xI如果函数在

3、区间 上单调增加（或单调减少）且连定理续，则它的反函数也在对应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。第一章 第九节4证证,0, 0, 00时时使使当当对对于于 xx 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf uf u定理 设函数由函数与函数复合而成，若而函数在连续，则 0( ),f uuu在点连续000,0,( )().uuf uf u使当时恒有成立00lim ( ),xxg xu又第一章 第九节5将上两步合起来将上两步合起来:,0, 0, 00时时使使当当 xx.成立成立 00( ).g xuu u恒有成立00

4、( )( ) ( )( )f uf uf g xf u0lim( ).xxfg x00lim ( )()xxf g xf u第一章 第九节6意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;2.( )ug x变量代换的理论依据.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.第一章 第九节7三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的

5、定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对对数数函函数数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. .第一章 第九节8 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第一章

6、 第九节91. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间注意注意注意注意2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第一章 第九节10四 连续在极限运算中的应用 00000003 .lim,limlimf gxxxxuuyfg xug xyf uU xDg xuyf uuufg xf

7、uf u定理 设函数由函数与函数复合而成，若而函数在连续，则 将结论的形式改变则有：0lim ( ).xxfg x0lim ( )xxf g x这一公式给计算极限带来方便。这一公式给计算极限带来方便。理论依据：理论依据：第一章 第九节1110log11 lim 01lnxaxaaxa试证且01 2 limln 01xxaaaax且011 3 lim xxx为实数1例题第一章 第九节12 0,1v xu xu xu x 一般地，对于形如的函数常称为幂指函数。 lim0,lim,lim.v xbu xav xbu xa若则 ln000limln limlimv xu xxxv xv xu xxxx

8、xu xee 001 ,0 ,000v xu x若呈现为在求这一类幂指函数极限时的基本思路是通过对数恒等变换，将其变为，进而化为 或者来求解，即：第一章 第九节13 lim1,lim,xaxau xv x 特别地，则:lim1 limxauxv xv xxauxe例题例题11 200101)lim 1 3;2)lim3)lim , ,03xxxxxxxxxxxxxeabca b c第一章 第九节143012 cos4) lim1 3xxxx考研题2 cosln3301limxxxex原式202cosln3lim xxx20cos -1ln 13limxxx20cos-13limxxx2201132limxxx解：解：第一章 第九节15 1 13134 13 AxBxf xxxxxA B 设在点连续，试确定例，题。 32 0sin 1ln 1sin 014xxxxf xxxx求函数的间断点，并例题指出类型。第一章 第九节16五五 小结小结连续函数